對(duì)于即將升入高中的同學(xué)來(lái)說(shuō)，高中數(shù)學(xué)是一個(gè)讓人比較頭疼的科目，下面是小編為大家整理的高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)列經(jīng)典例題及解析，希望能對(duì)大家有所幫助。
高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)列經(jīng)典例題【例1】 在100以?xún)?nèi)有多少個(gè)能被7個(gè)整除的自然數(shù)?
解 ∵100以?xún)?nèi)能被7整除的自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，其中a1=7，d=7，an=98.
代入an=a1+(n-1)d中，有
98=7+(n-1)·7
解得n=14
答 100以?xún)?nèi)有14個(gè)能被7整除的自然數(shù).
【例2】 在-1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，b使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列.
解 設(shè)這五個(gè)數(shù)組成的等差數(shù)列為{an}
由已知：a1=-1，a5=7
∴7=-1+(5-1)d 解出d=2
所求數(shù)列為：-1，1，3，5，7.
插入一個(gè)數(shù)，使之組成一個(gè)新的等差數(shù)列，求新數(shù)列的通項(xiàng).
【例3】 在[1000，2000]內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)共有多少個(gè)?
解 設(shè)an=3n，bm=4m-3，n，m∈N
得n=4k-1(k∈N)，得{an}，{bm}中相同的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列{cn}的通項(xiàng)cn=12n-3(n∈N).
則在[1000，2000]內(nèi){cn}的項(xiàng)為84·12-3，85·12-3，…，166·12-3
∴n=166-84+1=83 ∴共有83個(gè)數(shù).
高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)列經(jīng)典例題【例4】 三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為15，其平方和為83，求此三個(gè)數(shù).
解 設(shè)三個(gè)數(shù)分別為x-d，x，x+d.
解得x=5，d=±2
∴ 所求三個(gè)數(shù)為3、5、7或7、5、3
說(shuō)明 注意學(xué)習(xí)本題對(duì)三個(gè)成等差數(shù)列的數(shù)的設(shè)法.
【例5】 已知a、b、c成等差數(shù)列，求證：b+c，c+a，a+b也成等差數(shù)列.
證 ∵a、b、c成等差數(shù)列
∴2b=a+c
∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c
=a+(a+c)+c
=2(a+c)
∴b+c、c+a、a+b成等差數(shù)列.
說(shuō)明 如果a、b、c成等差數(shù)列，�；�2b=a+c的形式去運(yùn)用;反之，如果求證a、b、c成等差數(shù)列，常改證2b=a+c.本例的意圖即在讓讀者體會(huì)這一點(diǎn).
可能是等差數(shù)列.
分析 直接證明a、b、c不可能是等差數(shù)列，有關(guān)等差數(shù)列的知識(shí)較難運(yùn)用，這時(shí)往往用反證法.
證 假設(shè)a、b、c是等差數(shù)列，則2b=a+c
∴2ac=b(a+c)=2b2，b2=ac.
又∵ a、b、c不為0，
∴ a、b、c為等比數(shù)列，
又∴ a、b、c為等差數(shù)列，
∴ a、b、c為常數(shù)列，與a≠b矛盾，
∴ 假設(shè)是錯(cuò)誤的.
∴ a、b、c不可能成等差數(shù)列.
高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)列經(jīng)典例題【例6】 解答下列各題：
(1)已知等差數(shù)列{an}，an≠0，公差d≠0，求證：
①對(duì)任意k∈N，關(guān)于x的方程
akx2+2ak+1x+ak+2=0有一公共根;
分析與解答
(1)akx2+2ak+1x+ak+2=0
∵{an}為等差數(shù)列，∴2ak+1=ak+ak+2
∴akx2+(ak+ak+2)x+ak+2=0
∴(akx+ak+2)(x+1)=0，ak≠0
∵{an}為等差數(shù)列，d為不等于零的常數(shù)
(2)由條件得 2b=a+c
∴4RsinB=2RsinA+2RsinC，2sinB=sinA+sinC
分析至此，變形目標(biāo)需明確，即要證
由于目標(biāo)是半角的余切形式，一般把切向弦轉(zhuǎn)化，故有
【例7】 若正數(shù)a1，a2，a3，…an+1成等差數(shù)列，求證：
證明 設(shè)該數(shù)列的公差為d，則
a1-a2=a2-a3=…=an-an+1=-d
∴a1-an+1=-nd
∴ 原等式成立.
高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)列經(jīng)典例題【例8】已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn=pn(p∈R，n∈N*)，那么數(shù)列{an}.
[ ]
A.是等比數(shù)列
B.當(dāng)p≠0時(shí)是等比數(shù)列
C.當(dāng)p≠0，p≠1時(shí)是等比數(shù)列
D.不是等比數(shù)列
分析 由Sn=pn(n∈N*)，有a1=S1=p，并且當(dāng)n≥2時(shí)，
an=Sn-Sn-1=pnpn-1=(p-1)pn-1
但滿(mǎn)足此條件的實(shí)數(shù)p是不存在的，故本題應(yīng)選D.
說(shuō)明 數(shù)列{an}成等比數(shù)列的必要條件是an≠0(n∈N*)，還要注
【例9】 已知等比數(shù)列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n.
解 ∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比數(shù)列，公比q
∴2=1·q2n+1
x1x2x3…x2n=q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n
式;(2)已知a3·a4·a5=8，求a2a3a4a5a6的值.
∴a4=2
【例10】 已知a>0，b>0且a≠b，在a，b之間插入n個(gè)正數(shù)x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比數(shù)列，求
證明 設(shè)這n+2個(gè)數(shù)所成數(shù)列的公比為q，則b=aqn+1
高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)列經(jīng)典例題【例11】 設(shè)a、b、c、d成等比數(shù)列，求證：(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.
證法一 ∵a、b、c、d成等比數(shù)列
∴b2=ac，c2=bd，ad=bc
∴左邊=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2
=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)
=a2-2ad+d2
=(a-d)2=右邊
證畢.
證法二 ∵a、b、c、d成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則：
b=aq，c=aq2，d=aq3
∴左邊=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2
=a2-2a2q3+a2q6
=(a-aq3)2
=(a-d)2=右邊
證畢.
說(shuō)明 這是一個(gè)等比數(shù)列與代數(shù)式的恒等變形相綜合的題目.證法一是抓住了求證式中右邊沒(méi)有b、c的特點(diǎn)，走的是利用等比的條件消去左邊式中的b、c的路子.證法二則是把a(bǔ)、b、c、d統(tǒng)一化成等比數(shù)列的基本元素a、q去解決的.證法二稍微麻煩些，但它所用的統(tǒng)一成基本元素的方法，卻較證法一的方法具有普遍性.
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