高中數(shù)學(xué)必修一典型例題分析之?dāng)?shù)列

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高中數(shù)學(xué) 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

對于即將升入高中的同學(xué)來說,高中數(shù)學(xué)是一個讓人比較頭疼的科目,下面是小編為大家整理的高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)列經(jīng)典例題及解析,希望能對大家有所幫助。

高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)列經(jīng)典例題

【例1】 在100以內(nèi)有多少個能被7個整除的自然數(shù)?

解 ∵100以內(nèi)能被7整除的自然數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列,其中a1=7,d=7,an=98.

代入an=a1+(n-1)d中,有

98=7+(n-1)·7

解得n=14

答 100以內(nèi)有14個能被7整除的自然數(shù).

【例2】 在-1與7之間順次插入三個數(shù)a,b,b使這五個數(shù)成等差數(shù)列,求此數(shù)列.

解 設(shè)這五個數(shù)組成的等差數(shù)列為{an}

由已知:a1=-1,a5=7

∴7=-1+(5-1)d 解出d=2

所求數(shù)列為:-1,1,3,5,7.

插入一個數(shù),使之組成一個新的等差數(shù)列,求新數(shù)列的通項.

【例3】 在[1000,2000]內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)共有多少個?

解 設(shè)an=3n,bm=4m-3,n,m∈N

得n=4k-1(k∈N),得{an},{bm}中相同的項構(gòu)成的數(shù)列{cn}的通項cn=12n-3(n∈N).

則在[1000,2000]內(nèi){cn}的項為84·12-3,85·12-3,…,166·12-3

∴n=166-84+1=83 ∴共有83個數(shù).

高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)列經(jīng)典例題

【例4】 三個數(shù)成等差數(shù)列,其和為15,其平方和為83,求此三個數(shù).

解 設(shè)三個數(shù)分別為x-d,x,x+d.

解得x=5,d=±2

∴ 所求三個數(shù)為3、5、7或7、5、3

說明 注意學(xué)習(xí)本題對三個成等差數(shù)列的數(shù)的設(shè)法. 

【例5】 已知a、b、c成等差數(shù)列,求證:b+c,c+a,a+b也成等差數(shù)列.

證 ∵a、b、c成等差數(shù)列

∴2b=a+c

∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c

=a+(a+c)+c

=2(a+c)

∴b+c、c+a、a+b成等差數(shù)列.

說明 如果a、b、c成等差數(shù)列,;2b=a+c的形式去運用;反之,如果求證a、b、c成等差數(shù)列,常改證2b=a+c.本例的意圖即在讓讀者體會這一點.

可能是等差數(shù)列.

分析 直接證明a、b、c不可能是等差數(shù)列,有關(guān)等差數(shù)列的知識較難運用,這時往往用反證法.

證 假設(shè)a、b、c是等差數(shù)列,則2b=a+c

∴2ac=b(a+c)=2b2,b2=ac.

又∵ a、b、c不為0,

∴ a、b、c為等比數(shù)列,

又∴ a、b、c為等差數(shù)列,

∴ a、b、c為常數(shù)列,與a≠b矛盾,

∴ 假設(shè)是錯誤的.

∴ a、b、c不可能成等差數(shù)列.

高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)列經(jīng)典例題

【例6】 解答下列各題:

(1)已知等差數(shù)列{an},an≠0,公差d≠0,求證:

①對任意k∈N,關(guān)于x的方程

akx2+2ak+1x+ak+2=0有一公共根;

分析與解答

(1)akx2+2ak+1x+ak+2=0

∵{an}為等差數(shù)列,∴2ak+1=ak+ak+2

∴akx2+(ak+ak+2)x+ak+2=0

∴(akx+ak+2)(x+1)=0,ak≠0

∵{an}為等差數(shù)列,d為不等于零的常數(shù)

(2)由條件得 2b=a+c

∴4RsinB=2RsinA+2RsinC,2sinB=sinA+sinC

分析至此,變形目標(biāo)需明確,即要證

由于目標(biāo)是半角的余切形式,一般把切向弦轉(zhuǎn)化,故有

【例7】 若正數(shù)a1,a2,a3,…an+1成等差數(shù)列,求證:

證明 設(shè)該數(shù)列的公差為d,則

a1-a2=a2-a3=…=an-an+1=-d

∴a1-an+1=-nd

∴ 原等式成立.

高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)列經(jīng)典例題

【例8】已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),那么數(shù)列{an}.

[ ]

A.是等比數(shù)列

B.當(dāng)p≠0時是等比數(shù)列

C.當(dāng)p≠0,p≠1時是等比數(shù)列

D.不是等比數(shù)列

分析 由Sn=pn(n∈N*),有a1=S1=p,并且當(dāng)n≥2時,

an=Sn-Sn-1=pnpn-1=(p-1)pn-1

但滿足此條件的實數(shù)p是不存在的,故本題應(yīng)選D.

說明 數(shù)列{an}成等比數(shù)列的必要條件是an≠0(n∈N*),還要注

【例9】 已知等比數(shù)列1,x1,x2,…,x2n,2,求x1·x2·x3·…·x2n.

解 ∵1,x1,x2,…,x2n,2成等比數(shù)列,公比q

∴2=1·q2n+1

x1x2x3…x2n=q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n

式;(2)已知a3·a4·a5=8,求a2a3a4a5a6的值.

∴a4=2

【例10】 已知a>0,b>0且a≠b,在a,b之間插入n個正數(shù)x1,x2,…,xn,使得a,x1,x2,…,xn,b成等比數(shù)列,求

證明 設(shè)這n+2個數(shù)所成數(shù)列的公比為q,則b=aqn+1

高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)列經(jīng)典例題

【例11】 設(shè)a、b、c、d成等比數(shù)列,求證:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.

證法一 ∵a、b、c、d成等比數(shù)列

∴b2=ac,c2=bd,ad=bc

∴左邊=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2

=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)

=a2-2ad+d2

=(a-d)2=右邊

證畢.

證法二 ∵a、b、c、d成等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,則:

b=aq,c=aq2,d=aq3

∴左邊=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2

=a2-2a2q3+a2q6

=(a-aq3)2

=(a-d)2=右邊

證畢.

說明 這是一個等比數(shù)列與代數(shù)式的恒等變形相綜合的題目.證法一是抓住了求證式中右邊沒有b、c的特點,走的是利用等比的條件消去左邊式中的b、c的路子.證法二則是把a、b、c、d統(tǒng)一化成等比數(shù)列的基本元素a、q去解決的.證法二稍微麻煩些,但它所用的統(tǒng)一成基本元素的方法,卻較證法一的方法具有普遍性.

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