變形蟲的奇遇
有一種很微小微小的單細胞生物名叫阿米巴（ameba），由于它的身體會不斷的變化，生物學家給它取名為“變形蟲”，這小蟲在臟水生長，有時會鉆進人的肚子里去，使到人們腹瀉，嚴重時還能令人死亡。有一次，有一個生物學家把一滴臟水放到顯微鏡底下觀察，他看到這滴水的世界真是神奇萬千：有含葉綠素的藻，有長著鞭毛迅速游泳的一些鞭毛蟲，他還看到兩只變形蟲。
這生物學家童心大起，拿了一個很小很小的線圈放到玻璃片上把這變形蟲圍起來。于是從顯微鏡下，他看到其中一只變形蟲左沖右撞，想要從圈子過去，另外一只變形蟲卻是像在練瑜珈術的老僧在坐定一動也不動。（見圖一）
這生物學家的顯微鏡是有安裝最新式的“細菌語言播音機”，因此他能聽到這兩只變形蟲的對話。
“我的老天爺，這是什么墻把我關起來，我要出去，我不愿意在一個狹小的天地里�！蹦侵患痹瓴话驳男∽冃蜗x在叫喊。
“碰！碰！碰！”小變形蟲把身體往墻上撞（事實這墻在大人的眼中只不過是一個小線圈），它的身體撞痛了，因而扭曲得很厲害。
小變形蟲用身體去撞那個如老僧坐定的變形蟲，對它喊叫：“喂！我們被關起來了，為什么你還不想出去？你究竟是什么變形蟲？難道不知道‘不自由、毋寧死’的道理嗎？”
那只不動的變形蟲伸伸懶腰，開口說話：“為什么吵吵鬧鬧，把我從我的數(shù)學思考中吵醒？我是阿米巴數(shù)學家，我在研究微妙的數(shù)學真理，你不該來吵我──當我在研究世界上最艱深最美妙的學問時�！�
小變形蟲說：“我們已經(jīng)失去自由了，你還在研究那什么都看不見的數(shù)學，你快想個妥善的方法，使我們能脫離困境�！�
阿米巴數(shù)學家說：“你別急躁！我對你講一個故事�！彼幻媛匕阉纳眢w一部份拉長變成手指，然后在沉積一些薄薄的污泥的玻璃面上劃了一條線。
“你看：這一條線是可以互相向左右兩端無限延長，這上面生活了兩個小點，它們只能在這線上自由跑動，向左移動或者向右移動，我現(xiàn)在把它們活動的空間切斷。你看！這是用劃兩條線把這線截下來，讓我們聽聽這兩個小點的對話吧！”
只見一個小圓點正在焦急不安地不斷撞那墻。（事實上，在變形蟲的眼中，那只不過是一截小線段。）它把頭撞得腫痛，于是倒轉(zhuǎn)回來，撞那個好像“天塌下來，什么事也和我無關”的小圓點。
“你怎么撞我呢？”懶得動一動的小圓點責怪那位不安心的小圓點�！拔艺谘芯繑�(shù)學，你把我從那美妙的世界帶回現(xiàn)實世界，破壞了我的玄想，實在豈有此理！”
“唉呀呀！我們被關閉起來了！現(xiàn)在我把你喚醒，希望我們可以想一個方法跑出牢籠，你怎么能隨便怪我呢？”
小圓點數(shù)學家被那個緊張兮兮的小圓點推到墻面前，要他研究出去的方法，小圓點數(shù)學家沉思片刻回答：“有什么難呢？我們是生活在一維空間里 （1 dimension），實際上還有一個叫二維空間的世界，只要你跑進二維空間的世界，你的自由度（degree of freedom）就增加，你可以繞過障礙回到我們原來的世界�！�
小變形蟲呱呱喊叫說：“這有什么了不起的大道理！非常明顯。小圓點真笨，還要小圓點數(shù)學家解釋才明白�！保ㄒ妶D二）
變形蟲數(shù)學家嚴肅地說：“不要譏笑比你差的人！嘲笑人家的人，總有被人嘲笑的時候。我們是二維空間的生物，還有一個三維世界。我們的世界，只有東南西北的方向，在那個世界有一種叫‘上、下’的區(qū)分，就像小圓點的世界只有‘左、右’的方向，而沒有我們的‘東南西北’，因此你只要進入三維世界，把身體向上伸，你就可以越過障礙，回到你的世界去�！保ㄒ妶D三）
以上的故事是我編出來回答一位學生物的朋友的問題。他問我為什么有一些數(shù)學家在遭受打擊或關在牢籠時（這是他看過我的書有關被迫害的數(shù)學家的事提出的問題）還能做研究？
我的故事是對數(shù)學家的開玩笑，也包括對我自己的自嘲。但是里面卻有一些哲理，讀者只要把它當作禪宗里的老和尚的偈語看待，去滲透滲透，總會悟到一些道理�！疤鞕C不可泄漏”，我不想多說。
小王子和傷腦筋的國王
法國有一本著名的兒童故事書叫 《小王子》（Le petit prince，上海書局有中譯本出版），這里面有一個天真無邪的小孩子名叫“小王子”，在許多國家的兒童都知道他的故事�？上ё髡邉�(chuàng)造這故事之后，卻因喜歡駕飛機而失事，從此沒有新的“小王子”的故事出現(xiàn)。
有一次，我生病孤寂地躺在床上，我聽到一個微弱的聲音：“對不起！對不起！讓我自由�！保⊿'il vous plalt! sil vous plait! Liberez moi!）
我循著聲音傳來的方向找去，在書架上看到有一個像小蜻蜓的小東西，正在掙扎地要從一本書里爬出來�！鞍ρ�！你不是小王子嗎？！”我驚異地喊起來。
我連忙把書從書架抽出打開書本，小王子就從書上跳到我的手上�！斑@樣是比較的舒服�！毙⊥踝訉ξ艺f。
我躺回床上，把小王子放在我的被上，我問他：“告訴我小王子！你以后還有什么奇異的經(jīng)歷？請你告訴我，我很想知道一下。我很高興你能來找我�！�
“唉！我走了很多星球，看了各種各樣的生物，我可以告訴你一些�！毕旅媸撬v的一個故事：
“有一天，我來到一個星球，這星球只有一個國王。”
“這國王有一個美麗的王后，她正在懷孕。國王說：‘如果我們有一個王子，這王子就繼承我的星球。如果生下二個王子，我就把星球分成南半球和北半球，由他們分管�！鹾髥枺骸f一我生下是三個王子，你怎么分給他們呢？’國王說：‘很容易。我只要站在北極上，往南極劃三條線，這星球的土地就被分成三塊，他們能互相來往而不需要通過第三者的國土。’王后再問：‘如果我是生下四個王子，你能不能再把領土分配，使他們兄弟能直接來往，而不必通過第三者的國土呢？’國王說：‘很容易，你看我這樣分配國土。’國王一面說一面在桌上劃了一個圓，然后就在圓形上劃�。ㄒ妶D四）�！抑灰牙洗�，老二、老三、老四照圖上的安排法，他們就能互相往來，不必經(jīng)過第三者的國土了�！�
“我去到那里的時候，王后卻是一生就生下五個小王子，全國人民都很高興，國王也是高興。國王在給這些孩子取名之后，就想早一點安排他們以后應有的領地，可是他在書房里不斷的安排卻一直安排不出，他召了幾個大臣及最有智慧的老人來商量，也沒有人能安排使每個孩子的領地都能和其他的兄弟接壤，這樣他們可以直接來往，不經(jīng)過其他人的領土�！�
“我看國王畫的圖，真是多種多樣，的確是沒有一個能符合要求，我?guī)Щ亓藥讉�國王和大臣們設計的圖。（見圖五）”
我現(xiàn)在拿了這些圖來告訴您，您能不能幫忙國王呢
我把小王子給我看的圖來一個變化。（見圖六）
我把領土用一個包含數(shù)字的小圓圈表示，如果兩個領地有接壤，我就用一條弧線連結(jié)代表這領土的小圓圈，結(jié)果我得到了圖六，的確這些圖都反映國王的愿望不能達到，圖六的（a）只有老五能和所有的哥哥的領地連通，其他的兄弟卻少了一個連通。（b），（c）都是。
“為什么（c）有兩個圖呢？”小王子詢問。
“哦！這兩個圖是一樣，只不過是左邊的圖有老三和老四的連線會和老二及老五的連線相交，我在右邊把老五的位置稍微改變，這樣我畫的圖就沒有連線相交的現(xiàn)象。”
��！我突然想起了國王的問題是應該可以解決的。我在第一集的《數(shù)學和數(shù)學家的故事》里，就介紹過一個波蘭數(shù)學家在50年前發(fā)現(xiàn)一個判別圖是否能畫在平面上而沒有連線相交的方法。
“小王子！請你把我?guī)ヒ妵酰乙呀?jīng)知道這個問題的答案了�！�
“是嗎？這樣好，您現(xiàn)在閉上眼睛不動，我就把您帶上那個國王的星球去�！�
只有一個國王的星球
小王子握住我的手，在我的頭上摸一下，我整個身體就縮小了，最后我的身子只是像他的小姆指那樣，他就把我放在他的上衣口袋，于是我們從窗口飛出直上云霄。
我實在好奇，想要知道外面是什么樣子？我把頭從口袋中伸出，只見到處都是美麗的星，那銀河像是由鉆石綴滿的項鏈，高掛在天幕上。
我們來到一個小星球，那上面到處有美麗的公園，公園有許多國王和王后的雕塑像。我們進入皇宮，小王子把我介紹給國王。
我對國王說：“至高尊貴的國王，在我所生活的地球上有一個著名的戲劇家，他的名叫莎士比亞。他曾經(jīng)這么說：‘我可以局限在一個小房子里，而認為自己是無窮空間的國王’。”（I could be bounded in a nutshell and count myself a king of infinite space.）
“每個人由于生活環(huán)境的限制，他所看到的和所理解的空間及事物往往不一樣，主觀看法不一樣對同一事物就會有不同的爭論�！�
“我的祖先最初視界不大，以為他們生活的地球表面是平的。有一天，有一個人要到南方的地方，他的馬車卻往北跑，人們笑他是：‘南轅北轍’一定不會到達目的地，其實很可能這個人早知道地球是圓的，只要往北走是可以走到他所要到的南方的地方�！�
“是的，我們這里以前的人也是以為我們的星球是平面。”國王對我說。
“這是不奇怪的事。我現(xiàn)在剪下三個很薄的紙（見圖七），我把它們的邊緣黏起來。你可以看到我得到三個不同的曲面。
您知道第一個曲面是像一個橢圓球，第二個曲面是圓柱，第三個是一個環(huán)面。我們現(xiàn)在看它們是可以看出它們是不一樣的。假定我們是生活在這些曲面上，而且我們的身體不斷的縮小，小到平貼在表面上。這時我們在這表面上舉目四望，我們覺得我們是生活在一個平面上，而不知道它是橢球面，圓柱形面，還是環(huán)面�！�
“我是同意你的講法，因為當我們變成渺小的生物，我們的眼界只能看很小的一個范圍，我們不知道我們生活的空間真正是什么樣子�？墒沁@和我的問題有什么關系呢？”
“國王陛下，在不同的條件下，一些事物就可能有不同的發(fā)展和結(jié)果。好像說，在我的古老的國家有一個傳說是一個老人要把擋在他家門前的一座大山移走，他帶領著全家老少每天去挖山，他認為一天挖一些，山不會增高，就算他在世時見不到山被移走，他的子子孫孫萬代不竭地去挖這山總會被挖走。
“可是如果我現(xiàn)在不是叫老人去移山，而是叫他移一條弧線，擺在他面前的是下面這樣的一個圓（圖八）：
連結(jié)頂點2和頂點6的弧是會和連結(jié)頂點3，8及頂點4，7的弧相交。想像這些弧都是橡皮圈做成，我是否能把弧2和6適當移動，使到它保留在表面上又不和任何其他的弧相交？
“我可以告訴您，這老人再加上他的萬代子孫是不能在平面上解決這問題，因為不管他們怎樣移動，都是沒法子完成我的要求。”
我說完了就站在一邊，讓國王和他的臣子們?nèi)ビ懻�，他們在那里爭論了差不多半個鐘頭之后，國王最后說：“我相信你的話，我們是沒法子解決這樣的問題�！�
“現(xiàn)在你們經(jīng)過各種嘗試，得到經(jīng)驗，知道這問題是不能解決，可是在環(huán)狀星球的人民看到這個問題時會哈哈大笑說：‘這是一個很簡單的問題，我們?nèi)龤q的兒童都能解決。’因為他們的生活環(huán)境和我們的不一樣，對我們來說不能解決的問題，很可能就會變成可以解決的事了�！�
“學數(shù)，你能不能告訴我他們是怎么解決？我想知道這結(jié)果�！�
“好！現(xiàn)在你們看我在這兩張長方形的白紙上把剛才的圖重畫一遍。我先畫頂點，然后畫弧線（圖九）。再把長方形的邊相對的黏合起來，這樣我們的圖是變成在環(huán)面上了。頂點1和5，及頂點2和6在這兩個面上有不同的弧線連接，這些弧在環(huán)面上并不互相相交�！�
小王子說：“這就是說在平面上生活的人們不能解決的問題在環(huán)狀面生活的人卻是能解決的�！�
國王的問題的解決
“是的，你說的很對。我就是要說明一個很簡單的道理：任何人處在不同的環(huán)境和不同的時間，對一些事物的處理方式
或了解就不一樣。對于一些人看來是簡易的東西，對另外的人可能就是深奧不可理解。對于一些看來是不能解決的問題，如果我們把我們考慮的立足點換一換，很可能就可以解決了�！�
“那么我的王子分配領土的問題是否可以解決嗎？”國王焦急地問。
“國王，您的孩子領土的問題是可以這樣看，如果把每個王子的領地用標有1，2，3，4，5的小圓圈來表示，如果兩個領地有接壤，我就用一個弧線連結(jié)起來。先看在平面上是否可能把任何一個頂點和其他頂點用弧相連而不相交？我們的地球上有一位名叫庫拉托斯基（Kuratowski）的數(shù)學家在50年代后就證明是不可能。不管你怎樣畫和安排這些圖是會和圖十（a）一樣，它們總是有弧會相交，可是我卻可以在環(huán)面上安排，使到這些弧不相交，請您看圖十（b）：
因此你們?nèi)绻幌朐趯@問題傷腦筋，做不可能做的事。我提出一個卑微的建議，請你們找一個環(huán)狀的星球，然后把你們的國土放棄，全部移民到那環(huán)狀星球上去，這樣你們領土分配的問題就可以解決了�！�
“等一等！學數(shù)先生，你只說這問題在平面上不能解決，或許在圓球面上是可以解決呢？”國王說。
我這時就拿起筆在圖十（a）上邊畫兩條像在圖最左邊的有箭頭的弧線。然后拿剪刀沿著弧線剪，最后用漿糊把它黏起來，就像（圖十一）所表示那樣：
“你看，我得到的是在圓球面上的圖，它的頂點的相對位置不變，因此，在圓面上這問題仍然是不能解決�！�
“這真是奇妙的事，你能不能再告訴我一些關于曲面的新鮮事呢？”
只有一個面的扭帶
看到國王和幾個臣子及小王子的興致這樣高，我于是繼續(xù)講下去。
“請你們看我手上的長方形紙條，你們知道它有四個邊、有兩個面：如果我把紙條正對你們，你們可以說一個面是前面，另外一個面是后面；如果平放在桌上，你們可以說一個面是上面，另外一個面是下面�！�
“如果我手上拿的是圓球或是一個玉環(huán)，你們也可以說是有兩個面，一個在里面，一個在外面。因此我們會以為所有的曲面都有兩個面，對不對？”
大家都點點頭。我把手上的紙條扭了一下，然后把頭尾兩端黏好，我得了像圖（十二）的曲面：
“現(xiàn)在你們可以看到這個曲面只有一個邊，你們?nèi)绻幌嘈趴梢杂檬置�，它不像圓柱曲面是有兩個邊。還有更巧妙的事是這個曲面只有一個面！”
國王搖搖頭：“我看到是兩個面�！�
“這是你的眼睛在欺騙你，以及你以前固有的看法認為曲面應該是有兩個面而使你不容易接受事實。你怎樣證明圓柱形的面有兩個呢？你會說很容易，我可以在一面上涂上紅色，另外一面上涂上藍色的色彩，這樣就很明顯的看出兩個面來。好！現(xiàn)在請你用紅色彩筆把我這個扭帶涂彩一下，你會看到不同的結(jié)果。”
國王涂彩之后說：“唉呀！果然是只有一個面，我現(xiàn)在得到一個全紅的扭帶！”
我拿了我原先做好的圓柱紙圈，沿著中間平行兩個邊的大圓剪去，我得了兩個圓柱。
“你們能不能猜想：當我用剪刀把這個只有一面的扭帶，順著平行一邊的紙條的中間剪去，我會得到多少個扭帶？”
其他的人都異口同聲的說：“兩個！”
我把剪刀交給國王去剪扭帶，他剪完之后以為可以分成兩個扭帶，實際上卻沒有剪開，得到的是一個長條扭帶。
國王看了目驚口呆，喃喃自語！“這是怎么一回事？”
我再做了一個扭帶，然后對國王說：“如果你現(xiàn)在是沿著邊的紙條寬的三分之一的一個平行邊剪，你會得到不同的結(jié)果。我就讓你們?nèi)ピ囼灪脱芯�，我已�?jīng)很疲倦了，我想回去我的小房子做我的無窮空間國王的夢。再見了國王和大臣先生們！再見了你們這些可愛天真的人民！”
我于是回到地球上
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