1.數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位,其“數(shù)”與“形”結(jié)合,相互滲透,把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合,使代數(shù)問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化,使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合. 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,就是充分考查數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義,將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合,來尋找解題思路,使問題得到解決. 運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想,要熟練掌握一 些概念和運(yùn)算的幾何意義及常見曲線的代數(shù)特征.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想,應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化:
(1)集合的運(yùn)算及韋恩圖;
(2)函數(shù)及其圖象;
(3)數(shù) 列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象;
(4)方程(多指二元方程)及方程的曲線.
以形助數(shù)常用的有:借助數(shù)軸;借助函數(shù)圖象;借助單位圓;借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征;借助于解析幾何方法.以數(shù)助形常用有:借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系;借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合.
2.分類討論思想
分類討論思想就是根據(jù)所研究對(duì)象的性質(zhì)差異,分各種不同的情況予以分析解決. 分類討論題覆蓋知識(shí)點(diǎn)較多,利于考查學(xué)生的知識(shí)面、分類思想和技巧;同時(shí)方式多樣,具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性,樹立分類討論思想,應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到“確定對(duì)象的全體,明確分類的標(biāo)準(zhǔn),分層別類不重復(fù)、不遺漏的分析討論”.應(yīng)用分類討論思想方法解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵是如何正確分類,即正確選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn),確保分類的科學(xué),既不重復(fù),又不遺漏. 如何實(shí)施正確分類,解題時(shí)需要我們首先明確討論對(duì)象和需要分類的全體,然后確定分 類標(biāo)準(zhǔn)與分類方法,再逐項(xiàng)進(jìn)行討論,最后進(jìn)行歸納小結(jié).常見的分類情形有:按數(shù)分類;按字母的取值范圍分類;按事件的可能情況分類;按圖形的位置特征分類等. 分類討論思想方法可以滲透到高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié),它依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn),對(duì)問題分類、求解,要特別注意 分類必須滿足互斥、無漏、最簡(jiǎn)的原則.
3.函數(shù)與方程思想
函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想,高考中所占比重較大,綜合知識(shí)多、題型多、應(yīng) 用技巧多. 函數(shù)思想簡(jiǎn)單,即將所研究的問題借助建立函數(shù)關(guān)系式亦或構(gòu)造中間函數(shù),結(jié)合初等函數(shù)的圖象與性質(zhì),加以分析、轉(zhuǎn)化、解決有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題;方程思想即將問題中的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為方程模型加以解決.運(yùn)用函數(shù)與方程的思想時(shí),要注意函數(shù),方程與不等式之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化,應(yīng)做到:
(1)深刻理解函數(shù) f(x)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值和圖象變換),熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì),這是應(yīng)用函數(shù)思想解題的基礎(chǔ).
(2)密切注意三個(gè)“二次”的相關(guān)問題,三個(gè)“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等 式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系. 掌握二次函數(shù)基本性質(zhì),二次方程實(shí)根分布條件,二次不等式的轉(zhuǎn)化策略.
4.轉(zhuǎn)化與化歸思想
化歸與轉(zhuǎn)化的思想,就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種方式,借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將,問題通過變換加以轉(zhuǎn)化,進(jìn)而達(dá)到解決問題的思想. 轉(zhuǎn)化是將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式的變換過程,化歸是把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題. 轉(zhuǎn)化與化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想方法,堪稱數(shù)學(xué)思想的精髓,它滲透到了數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的各個(gè)領(lǐng)域和解 題過程的各個(gè)環(huán)節(jié)中. 轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與不等價(jià)轉(zhuǎn)化. 等價(jià)轉(zhuǎn)化后的新問題與原問題實(shí)質(zhì)是一樣的. 不等價(jià)轉(zhuǎn) 化則部分地改變了原對(duì)象的實(shí)質(zhì),需對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行必要的修正.
應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題的原則應(yīng)是化難為易、化生為熟、化繁為簡(jiǎn),盡量是等價(jià)轉(zhuǎn)化. 常見的轉(zhuǎn)化有: 正與反的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、相等與不等的轉(zhuǎn)化、整體與局部的轉(zhuǎn)化、空間與平面相互轉(zhuǎn)化、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)相互轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化.
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