問(wèn)題1：甲、乙兩個(gè)教堂的鐘聲同時(shí)響過(guò)之后，分別每隔4/3秒和7/4秒再響一聲，如果因?yàn)樵?/2秒內(nèi)敲響的兩聲無(wú)法區(qū)分而被視為同一聲，問(wèn)在15分鐘內(nèi)可以聽(tīng)到多少聲響？
在15分鐘內(nèi)，甲、乙兩個(gè)教堂的鐘聲分別敲響了60×15÷4/3 = 675聲和 60×15÷7/4 = 514聲。
假設(shè)以聽(tīng)甲教堂的鐘聲為主，即甲教堂的鐘聲都能聽(tīng)到，乙教堂的鐘聲與甲教堂的鐘聲間隔在1/2秒內(nèi)者聽(tīng)不到，又設(shè)這些聽(tīng)不到的鐘聲數(shù)目為x，則在15分鐘內(nèi)可以聽(tīng)到的鐘聲數(shù)為675+514－x.
設(shè)n、m分別是甲、乙兩個(gè)教堂的鐘聲敲響的次序數(shù)，則1n675，1m514. 由實(shí)際意義可知滿足不等式組0|（4/3）n－（7/4）m |1/2的正整數(shù)n和m的個(gè)數(shù)相等，而這個(gè)相等的個(gè)數(shù)就是x.
0|（4/3）n－（7/4）m |1/2 0|16n－21m |6 －616n－21m 6.
設(shè)16n－21m = k（－6k 6），解之可得
由1n675，1m514可得
給k（－6k 6）的各允許值，分別解上述不等式組，求得t的允許值個(gè)數(shù)，即前述方程組解的個(gè)數(shù)，就是n（或說(shuō)m）的個(gè)數(shù)，也就是x.
當(dāng)我們給k的13個(gè)允許值，分別解不等式組時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，除了當(dāng)k取－5和6時(shí)t都有33個(gè)對(duì)應(yīng)的允許值之外，k的其余11個(gè)取值t都有32個(gè)允許值與之對(duì)應(yīng)，所以共有418個(gè)t的允許值，即x = 418.
所以，15分鐘內(nèi)若不算開(kāi)始的一聲，可聽(tīng)到675+514－418= 771聲鐘響。
問(wèn)題2：任意9個(gè)連續(xù)正整數(shù)之積記作P，它們的最小公倍數(shù)記作Q，試確定R = P/Q的最大可能值和最小可能值。
先由小到大試驗(yàn)連續(xù)正整數(shù)的個(gè)數(shù)：
1. 當(dāng)個(gè)數(shù)為2時(shí)，設(shè)2個(gè)連續(xù)正整數(shù)從小到大依次為，b，則
b / [，b] =（，b）= 1.此時(shí)，R的最大、最小可能值都是1.
2. 當(dāng)個(gè)數(shù)為3時(shí)，設(shè)3個(gè)連續(xù)正整數(shù)從小到大依次為，b，c，則
bc / [，b，c] =（b，b，b c）= (（b，b），b c)
= (，b c) = (，c)
設(shè) (，c) = h，則h|，h| c，h| c-= 2，h = 1，或h = 2.
此時(shí)，R的最大、最小可能值分別是1和2.
3. 當(dāng)個(gè)數(shù)為4時(shí)，設(shè)四個(gè)連續(xù)正整數(shù)從小到大依次為，b，c，d，由
=（）=（（），（））
=（（c,d），cd（,b））= （，cd）
知，只要討論（，cd）即可。
試驗(yàn)會(huì)發(fā)現(xiàn)，按被2或3除分類不便推理，而按被6除分類方便。
故設(shè)= 6n，則b = 6n＋1，c = 6n＋2，d = 6n＋3，所以
（，cd）=（6n（6n＋1），（6n＋2）（6n＋3））
= 6（n（6n＋1），（3n＋1）（2n＋1））
= 6（6 n2＋n，6 n2＋5n＋1）
= 6（6 n2＋n，4n＋1）
= 6（n（6 n＋1），4n＋1）
= 6（n，4n＋1）
= 6（n，1）
= 6.
其中，第四個(gè)等號(hào)用了展轉(zhuǎn)相減法，第六個(gè)等號(hào)用了最大公約數(shù)的性質(zhì)：
因?yàn)椋?（6n＋1）＋3（4n＋1）= 1，所以（6n＋1，4n＋1）= 1等。
同理，當(dāng)= 6n＋1，= 6n＋2，= 6n＋4，= 6n＋5時(shí)，（，cd）= 2；
當(dāng)= 6n＋3時(shí)，（，cd）= 6.
總之，當(dāng)3整除時(shí)，= 6；當(dāng)3不能整除時(shí)，= 2.
所以，此時(shí)R的最大和最小可能值分別為6和2.
4. 當(dāng)個(gè)數(shù)為9時(shí)，上述推理方法已很難進(jìn)行，我們改換一個(gè)思路。
考慮將這9個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：因?yàn)檫B續(xù)9個(gè)正整數(shù)不可能兩兩互質(zhì)，所以至少有兩個(gè)數(shù)A、B有公有質(zhì)因數(shù)C，即C | A，C | B，所以C |（A－B），A、B是連續(xù)9個(gè)正整數(shù)之中的兩個(gè)，所以| A－B | ＜9，所以C只可能取2、3、5、7，下面逐個(gè)考察它們出現(xiàn)的次數(shù)：
考察7出現(xiàn)的次數(shù)：兩個(gè)不同的7的倍數(shù)至少差7，故這9個(gè)數(shù)中有1個(gè)或2個(gè)7的倍數(shù)。當(dāng)有兩個(gè)7的倍數(shù)時(shí)，其中可能1個(gè)是72的倍數(shù)而另1個(gè)不是，也可能兩個(gè)都不是72的倍數(shù)，此時(shí)，R = P/Q的分解式中7的次冪只能是1；當(dāng)有1個(gè)7的倍數(shù)時(shí)，無(wú)論7的次冪是幾，含7的冪必同時(shí)出現(xiàn)在P、Q中，此時(shí)，R = P/Q的分解式中不含7；總之，R = P/Q的分解式中7的次冪至多是1。
同理R = P/Q的分解式中5的次冪至多是1。
考察3出現(xiàn)的次數(shù)：這9個(gè)連續(xù)數(shù)中必恰有三個(gè)3的倍數(shù)，其中一個(gè)是9的倍數(shù)；另兩個(gè)僅能被3整除，所以R = P/Q的分解式中3的次冪必是2.
考察2出現(xiàn)的次數(shù)：這9個(gè)連續(xù)數(shù)中必有五個(gè)或四個(gè)偶數(shù)。當(dāng)有五個(gè)偶數(shù)時(shí)，除含2的最高次冪同時(shí)出現(xiàn)在P、Q中之外，另四個(gè)含2最多的情況是“兩個(gè)只能被2整除，一個(gè)只能被4整除，一個(gè)只能被8整除”，此時(shí)，R = P/Q的分解式中2的次冪最大是1+1+2+3 = 7；當(dāng)有四個(gè)偶數(shù)時(shí)，除含2的最高次冪同時(shí)出現(xiàn)在P、Q中之外，另三個(gè)含2最少的情況是“兩個(gè)只能被2整除，一個(gè)只能被4整除”，此時(shí)R = P/Q的分解式中2的次冪最小，是1+1+2 = 4.
總之，由上述分析可知：R的最大可能值為：7×5×32×27 = 40320（如560開(kāi)頭的9個(gè)數(shù)）；R的最小可能值為：32×24 = 144（如1至9九個(gè)數(shù)字）。
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/146852.html
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