談到古代數(shù)學的無窮小分割思想，人們便把目光投向古希臘的窮竭法。實際上，古希臘的數(shù)學家并沒有使用無窮小分割和極限思想，他們的分割總是有一個剩余，最后用雙重歸謬法證明已知的命題。在微積分孕育時期的面積元素法產(chǎn)生之前，真正在數(shù)學證明中使用無窮小分割和極限思想的是中國數(shù)學家，首先是劉徽，后來是祖沖之父子。
無窮小分割思想的萌芽
像古希臘思想家提出了物質(zhì)無限可分的若干命題一樣，中國在先秦也產(chǎn)生了無窮小分割的若干命題。如《莊子·天下篇》引用名家的命題：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭�！蹦抑鳌赌印そ�(jīng)下》：“非半弗■則不動，說在端�！薄督�(jīng)說下》解釋道：“非，■半，進前取也，前則中無為半，猶端也。前后取，則端中也。■必半，毋與非半，不可■也�！憋@然，墨家和名家的命題是不同的。名家認為無限分割的過程永遠不會完結(jié)，類似于古希臘的潛無限；墨家認為無限分割的結(jié)果終究會達到一個不可再割的端，是一種實無限思想。《莊子·秋水篇》借河神和北海神的對話也闡述了無窮小分割思想。“河伯曰：‘世之議者皆曰：“至精無形，至大不可圍。”是信情乎？’北海若曰：‘夫自細視大者不盡，自大視細者不明。夫精，小之微也；?，大之殷也；故異便。此勢之有也。夫精粗者，期于有形者也；無形者，數(shù)之所不能分也；不可圍者，數(shù)之所不能窮也。’”這里說的至精無形、無形不能分的思想，和墨家不可■的思想接近。
漢司馬遷《史記·酷吏列傳》以“破觚而為圜”比喻漢廢除秦的嚴刑苛法。破觚為圓含有樸素的極限思想，大約是司馬遷從工匠加工圓形器物化方為圓、化直為曲的實踐中總結(jié)出來的。這些命題對后來數(shù)學中的無窮小分割思想有深刻影響。
劉徽的割圓術(shù)
漢代《九章算術(shù)》提出了正確的圓面積公式：“術(shù)曰：半周半徑相乘得
內(nèi)接正6邊形的周長代替圓局長L，以圓內(nèi)接正12邊形面積代替圓面積S，把正12邊形拼補成一個以正6邊形周長的一半作為長、圓半徑r作為寬的長方形來推證上述公式的。劉徽說這“合徑率一而外周率三也”，極不嚴格。為了真正證明圓面積公式，他創(chuàng)造了著名的割圓術(shù)。
劉徽從圓內(nèi)接正6邊形開始割圓，依次得到圓內(nèi)接正6×2、6×22、……邊形。顯然，圓內(nèi)接正6×2n邊形的面積Sn＜S。然而，隨著分割越來越細，S－Sn越來越小，“割之又割，以至于不可割，則與圓周合體
邊和圓周之間有一段距離，稱作“余徑”，把每邊長乘余徑，總和是2（Sn+1－Sn），加到Sn上，那么Sn＋2（Sn+1－Sn）＞S。然而當n無限大時，6×2n邊形和圓周合體，表徑等于零，所謂“表無余徑，
它的上界序列和下界序列的極限都是圓面積。最后，劉徽把和圓合體的正多邊形分割成無窮多個以圓心作為頂點、以每邊的長作為底的小等腰三角形，由于以圓的半徑乘每邊的長是每個小三角形面積的二倍，求這些小三角形面積的總和，即圓半徑乘圓周長，就是圓面積的二倍：Lr＝2S，所以S＝
而為圓冪，”完成了證明。
顯然，這里含有明顯的極限過程和無窮小分割并求它的總和的思想，和面積元素法十分接近。
劉徽批評了以往學者沿襲周三徑一的錯誤，認為上述公式中的“周徑，謂至然之數(shù)，非周三徑一之率也”。為了正確使用這一公式，必須求出這個“至然之數(shù)”，即周徑相比之率，就是現(xiàn)在所謂圓周率。劉徽從直徑2尺的圓的內(nèi)接正6邊形開始割圓，依次求出正6×2、6×22、6×23、6×24邊形的邊長和6×25邊形的面積，取圓內(nèi)接正6×25邊形面積S5的整數(shù)部
周長近似值是628分，和直徑2尺相約，得周率157，徑率50，相當于π＝
劉徽原理
《九章算術(shù)》給出了陽馬（直角四棱錐）的體積公式
和鱉?（四面都是勾股形的四面體）的體積公式
其中a、b、h分別是長、寬、高。在劉徽之前，對a＝ b＝h的特殊情形，由于一個正方體可以分解成為三個全等的陽馬，或六個三三全等兩兩對稱的鱉?，人們?nèi)菀子闷弪灧右宰C明。但是，當a≠b≠h時，“鱉?殊形”，“陽馬異體”，用棋驗法“則難為之矣”。為了證明（1）、（2）式，必須另辟蹊徑。劉徽首先提出了一個重要原理：把一個塹堵（把一個長方體沿相對兩棱斜剖，便得兩塹堵）分解為一個陽馬和一個鱉?，“陽馬居二，鱉?居一，不易之率也�！奔丛谝粋�塹堵中，恒有
Vy∶Vb＝2∶1。（3）
吳文俊氏把它稱作“劉徽原理”（見本書第92頁）。顯然，只要證明了劉
喻的。劉徽創(chuàng)造了如下的方法證明（3）式：
如圖，用三個互相垂直的平面分別平分塹堵的長、寬、高，那么：其中的陽馬被分割成一個小長方體Ⅰ，兩個小塹堵Ⅱ、Ⅲ，兩個小陽馬Ⅳ、Ⅴ；鱉?被分割成兩個小塹堵Ⅱ′、Ⅲ′，兩個小鱉?Ⅳ′、Ⅴ′。顯然，小塹堵Ⅱ和Ⅱ′、Ⅲ和Ⅲ′分別可以拼成和Ⅰ全等的小長方體；小陽馬Ⅳ和小鱉?Ⅳ′、小陽馬Ⅴ和小鱉?Ⅴ′分別是兩個小塹堵，又可以拼成第四個全等的小長方體。在小長方體Ⅰ、Ⅱ－Ⅲ′、Ⅲ－Ⅲ′中，屬于陽馬的和屬于鱉?的體積的比是2∶1，所謂“別種而方者率居三”，即在
其中兩小塹堵的結(jié)構(gòu)和原塹堵完全相似，所謂“通其體而方者率居一”。顯然，上述分割過程完全可以繼續(xù)在剩余的兩個小塹堵中施行，又可以證明在
之，安取余哉？”就是在整個塹堵中證明了（3）式。
劉徽之前，人們所使用的棋驗法，無需知道陽馬、鱉?的體積公式，并且無法證明各種多面體的一般體積公式。劉徽卻在首先解決了長方體、塹堵、陽馬、鱉?的體積公式之后，把其他多面體分割成有限多個長方體、塹堵、陽馬、鱉?，求它們的體積的和來解決這些多面體的體積問題。劉徽說：“不有鱉?，無以審陽馬之數(shù)，不有陽馬，無以知錐亭之類，功實之主也�！边@種把多面體體積理論建立在陽馬、鱉?基礎(chǔ)上的思想，也就是建立在無窮小分割基礎(chǔ)上的思想，和現(xiàn)代數(shù)學的體積理論驚人地一致。劉徽在公元三世紀就開始考慮十九世紀困擾著高斯、希耳伯特等數(shù)學大師的課題：四面體體積的解決不借助于無窮小分割是不可能的。劉徽的貢獻受到1985年法國布爾巴基學派舉行的希耳伯特第三問題學術(shù)討論會的頌揚，是當之無愧的。
祖?原理和球體積
唐季淳風等注釋《九章算術(shù)》時所引祖?開立圓術(shù)提出了一條重要原理：“夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異�！本褪钦f：同高的兩立體如果等高處的截面積恒相等，那么它們的體積一定相等�，F(xiàn)在稱它作“祖?原理”，它在西方稱卡瓦列里原理（公元1635年）。
更一般地，如果同高的兩立體等高處的截面積恒成定比，那么它們的體積必成定比。這一原理是中國古代解決體積問題的另一重要理論，實際上是另一種形式的無窮小分割。
有證據(jù)表明，早在《九章算術(shù)》時代，人們就通過比較圓錐和方錐、圓臺和方臺的底面積，由后者推得前者的體積公式，水平大體和歐幾里得《幾何原本》的有關(guān)論述相仿佛。劉徽的認識卻進了一大步。他認識到，不僅要比較底面積，而且要比較任意等高處的截面積。這在羨除術(shù)注中表述得特別清楚。他為了解決羨除（一種楔形體）的體積，需要從長方錐分割出一種特殊的鱉?（仍是四面體）并求它的體積，于是劉徽提出了“上連無成不方，故方錐與陽馬同實”的原理�！俺伞本褪恰皩印保@是說，同底等高的方錐和陽馬每一層都是相等的方形，所以它們的體積相等。聯(lián)系到劉徽割圓時會達到不可割的境地的思想，我們認為劉徽是把立體看成由不可再分的薄片疊合而成的，后來卡瓦列里的不可分量和這類似。正是基于這一認識，劉徽明確提出了圓錐和外切方錐、圓臺和外切方臺的體積的比是π∶4，并指出了《九章算術(shù)》所蘊涵的球體積公式139 的錯誤，錯誤的原因在于誤以為球和它的外切圓柱的體積的比是π∶4。他用球的兩個外切圓柱體正交，它們的公共部分稱做“牟合方蓋”，指出球和外切牟合方蓋的體積的比才是π∶4。顯然，只要求出牟合方蓋的體積，那么球體積便迎刃而解。劉徽功虧一簣，未能求出牟合方蓋的體積，但是他坦誠地記下了自己的困惑，表示“敢不闕疑，以俟能言者”，表現(xiàn)了一位偉大學者實事求是、寄希望于后學的坦蕩胸懷。
二百年后的祖?深入研究了球的外切正方體中用兩個正交圓柱切割出牟合方蓋后的剩余部分。他考慮這剩余部分的八分之一，在正方體內(nèi)而在牟合方蓋外的部分被切割成了三塊，叫作外三棋。他利用勾股定理等知識，求出外三棋的每一層的截面積的和都等于一個倒置的長、寬、高都等于球半徑的陽馬的等高處的截面積。由祖?原理，外三棋的體積等于這倒置陽馬的體
外三棋的每一塊截面積的變化都不是線性的，然而它們同一截面的截面積的和的變化卻是線性的。祖?在應用后來以他的名字命名的原理上比劉徽更加靈活，認識也更加深刻。
李善蘭的尖錐求積術(shù)
劉徽、祖沖之父子之后一千多年間，我國的無窮小分割思想沒有什么新的進展。直到清代中葉以后，明安圖在研究三角函數(shù)冪級數(shù)展開式時提出“析之至于無窮”的思想，項名達、戴煦（1805－1860）的橢圓求周的計算方法符合橢圓積分法的原則，并重新涉及這個領(lǐng)域。而最值得稱道的是李善蘭（1811－1882）于清道光二十五年（公元1845年）發(fā)表的《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數(shù)探源》這三種關(guān)于三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式的研究成果。其中的尖錐求積術(shù)提出了幾個相當于定積分公式的命題，如“當知諸尖錐有積疊之理”，表示當0≤x≤h時，xn的平面積疊成一尖錐體，而由平面積axn積疊起來的尖錐體高h，底面積ah2，它的
合并成為一個尖錐，相當于定積分
李善蘭用尖錐求積術(shù)解決了許多問題。以圓面積的計算為例。如圖，考慮直徑是2的圓和它的外切正方形的四分之一，分別是OAQC和OABC。方內(nèi)圓外的部分是一平面尖錐ABCQ，它由ABD、ADE、AEF、AFG、……等無限個平面尖錐組成。諸尖錐的底
…。令x＝1，上列級數(shù)的各項就是諸尖錐的底BD、DE、EF、……。依據(jù)尖錐求積術(shù)，方內(nèi)圓外的部分的面積是
從而圓面積是
李善蘭的尖錐求積術(shù)是在他接觸西方微積分學思想之前發(fā)明的，表明中國數(shù)學家完全有能力獨立地打開微積分學的大門。由于種種原因，中國沒有經(jīng)歷這個過程，而尖錐求積術(shù)為李善蘭不久以后和偉烈亞力合譯西方數(shù)學著作，把微積分學引入我國，作了準備。
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/150896.html
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