�。ㄒ唬┙虒W目標
1．知識與技能:通過實例，理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系并能用有關知識解決相應的問題；體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系。
2. 過程與方法:讓學生對日常生活中實際問題分析，引導學生通過觀察，推導，歸納抽象出等差數(shù)列的概念；由學生建立等差數(shù)列模型用相關知識解決一些簡單的問題，進行等差數(shù)列通項公式應用的實踐操作并在操作過程中，通過類比函數(shù)概念、性質、表達式得到對等差數(shù)列相應問題的研究。
3．情態(tài)與價值:培養(yǎng)學生觀察、歸納的能力，培養(yǎng)學生的應用意識。
�。ǘ┙虒W重、難點
重點：理解等差數(shù)列的概念及其性質，探索并掌握等差數(shù)列的通項公式；會用公式解決一些簡單的問題，體會等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的聯(lián)系。
難點：概括通項公式推導過程中體現(xiàn)出的數(shù)學思想方法。
�。ㄈ⿲W法與教學用具
學法：引導學生首先從四個現(xiàn)實問題（數(shù)數(shù)問題、女子舉重獎項設置問題、水庫水位問題、儲蓄問題）概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列的特點，推導出等差數(shù)列的通項公式；可以用多種方法對等差數(shù)列的通項公式進行推導。
教學用具：投影儀
�。ㄋ模┙虒W設想
[創(chuàng)設情景]
上節(jié)課我們學習了數(shù)列。在日常生活中，人口增長、教育貸款、存款利息等等這些大家以后會接觸得比較多的實際計算問題，都需要用到有關數(shù)列的知識來解決。今天我們就先學習一類特殊的數(shù)列。
[探索研究]
由學生觀察分析并得出答案：
�。ǚ磐队捌┰诂F(xiàn)實生活中，我們經常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，____,____,____,____,……
2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目。該項目共設置了7個級別。其中較輕的4個級別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48，53，58，63。
水庫的管理人員為了保證優(yōu)質魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5
我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元錢，年利率是0.72%。那么按照單利，5年內各年末的本利和分別是：
時間
年初本金（元）
年末本利和（元）
第1年
10 000
10 072
第2年
10 000
10 144
第3年
10 000
10 216
第4年
10 000
10 288
第5年
10 000
10 360
各年末的本利和（單位：元）組成了數(shù)列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。
思考：同學們觀察一下上面的這四個數(shù)列：0，5，10，15，20，…… ①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看這些數(shù)列有什么共同特點呢？
（由學生討論、分析）
引導學生觀察相鄰兩項間的關系，得到：
對于數(shù)列①，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 5 ；
對于數(shù)列②，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 5 ；
對于數(shù)列③，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 -2.5 ；
對于數(shù)列④，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 72 ；
由學生歸納和概括出，以上四個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)（即：每個都具有相鄰兩項差為同一個常數(shù)的特點）。
[等差數(shù)列的概念]
對于以上幾組數(shù)列我們稱它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請同學們根據(jù)我們剛才分析等差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個定義：
等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。
這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上四組等差數(shù)列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。
提問：如果在與中間插入一個數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應滿足什么條件？
由學生回答：因為a，A，b組成了一個等差數(shù)列，那么由定義可以知道：
A-a=b-A
所以就有
由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時，A叫做a與b的等差中項。
不難發(fā)現(xiàn)，在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項（有窮數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。
如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。
看來，從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q則
[等差數(shù)列的通項公式]
對于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？這是我們接下來要學習的內容。
⑴、我們是通過研究數(shù)列的第n項與序號n之間的關系去寫出數(shù)列的通項公式的。下面由同學們根據(jù)通項公式的定義，寫出這四組等差數(shù)列的通項公式。
由學生經過分析寫出通項公式：
① 這個數(shù)列的第一項是5，第2項是10（=5+5），第3項是15（=5+5+5），第4項是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是
② 這個數(shù)列的第一項是48，第2項是53（=48+5），第3項是58（=48+5×2），第4項是63（=48+5×3），由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是
③ 這個數(shù)列的第一項是18，第2項是15.5（=18-2.5），第3項是13（=18-2.5×2），第4項是10.5（=18-2.5×3），第5項是8（=18-2.5×4），第6項是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是
④ 這個數(shù)列的第一項是10072，第2項是10144（=10172+72），第3項是10216（=10072+72×2），第4項是10288（=10072+72×3），第5項是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是
⑵、那么，如果任意給了一個等差數(shù)列的首項和公差d，它的通項公式是什么呢？
引導學生根據(jù)等差數(shù)列的定義進行歸納：
（n-1）個等式
所以
……
思考：那么通項公式到底如何表達呢？
……
得出通項公式：由此我們可以猜想得出：以為首項，d為公差的等差數(shù)列的通項公式為：
也就是說，只要我們知道了等差數(shù)列的首項和公差d，那么這個等差數(shù)列的通項就可以表示出來了。
選講：除此之外，還可以用迭加法和迭代法推導等差數(shù)列的通項公式：
�。ǖ臃ǎ� 是等差數(shù)列，所以
……
兩邊分別相加得
所以
�。ǖǎ菏堑炔顢�(shù)列，則有
……
所以
[例題分析]
例1、⑴求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項.
⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項？如果是，是第幾項？
分析：⑴要求出第20項，可以利用通項公式求出來。首項知道了，還需要知道的是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差；
⑵這個問題可以看成是上面那個問題的一個逆問題。要判斷這個數(shù)是不是數(shù)列中的項，就是要看它是否滿足該數(shù)列的通項公式，并且需要注意的是，項數(shù)是否有意義。
解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得
⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個數(shù)列的通項公式為由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。
解這個關于n的方程，得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項。
例題評述：從該例題中可以看出，等差數(shù)列的通項公式其實就是一個關于、、d、n（獨立的量有3個）的方程；另外，要懂得利用通項公式來判斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項，當判斷是第幾項的項數(shù)時還應看求出的項數(shù)是否為正整數(shù)，如果不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項。
（放投影片）例2．某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km（不含4千米）計費10元。如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費？
解：根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數(shù)列來計算車費.
令=11.2，表示4km處的車費，公差d=1.2。那么當出租車行至14km處時，n=11，此時需要支付車費
答：需要支付車費23.2元。
例題評述：這是等差數(shù)列用于解決實際問題的一個簡單應用，要學會從實際問題中抽象出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的知識解決實際問題。
（放投影片）思考例題：例3 已知數(shù)列的通項公式為其中p、q為常數(shù)，且p≠0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？
分析：判定是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看（n＞1）是不是一個與n無關的常數(shù)。
解：取數(shù)列中的任意相鄰兩項（n＞1），
求差得
它是一個與n無關的數(shù).
所以是等差數(shù)列。
課本左邊“旁注”：這個等差數(shù)列的首項與公差分別是多少？
這個數(shù)列的首項。由此我們可以知道對于通項公式是形如的數(shù)列，一定是等差數(shù)列，一次項系數(shù)p就是這個等差數(shù)列的公差，首項是p+q.
例題評述：通過這個例題我們知道判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：如果一個數(shù)列的通項公式是關于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個數(shù)列必定是等差數(shù)列。
[探究]
引導學生動手畫圖研究完成以下探究：
⑴在直角坐標系中，畫出通項公式為的數(shù)列的圖象。這個圖象有什么特點？
�、圃谕粋�直角坐標系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？據(jù)此說一說等差數(shù)列與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關系。
分析：⑴n為正整數(shù)，當n取1，2，3，……時，對應的可以利用通項公式求出。經過描點知道該圖象是均勻分布的一群孤立點；
�、飘嫵龊瘮�(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象（點）在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當x在正整數(shù)范圍內取值時相應的點的集合。于是可以得出結論：等差數(shù)列的圖象是一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個子集，是y=px+q定義在正整數(shù)集上對應的點的集合。
該處還可以引導學生從等差數(shù)列中的p的幾何意義去探究。
[隨堂練習]
例1之后：課本45頁“練習”第1題；
例2之后：課本45頁“練習”第2題；
[課堂小結]
本節(jié)主要內容為：
�、俚炔顢�(shù)列定義：即(n≥2)
�、诘炔顢�(shù)列通項公式：(n≥1)
推導出公式：
(五）評價設計
1、已知是等差數(shù)列.
�、� 是否成立？呢？為什么？
⑵ 是否成立？據(jù)此你能得出什么結論？
是否成立？據(jù)此你又能得出什么結論？
2、已知等差數(shù)列的公差為d.求證：
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/155983.html
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