一、選擇題

1.下面四個結論：①數(shù)列的圖像是一群孤立的點；②數(shù)列可看成是一列函數(shù)值；③數(shù)列的項數(shù)是無限的；④數(shù)列通項的表達式是唯一的.其中正確的結論是(     ).

A.①　　      B.①②　　       C.②③　        D.①②③

考查目的：考查數(shù)列的有關概念及其表示.

答案：A.

解析：數(shù)列可看成是定義域為正整數(shù)集或正整數(shù)集的一個有限子集，當自變量從小到大依次取值時所得到的一列函數(shù)值，所以數(shù)列的圖像是一群孤立的點；數(shù)列按項數(shù)可分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；數(shù)列通項的表達式不一定唯一，如周期數(shù)列0，2，0，2，……的通項可表示為，也可表示為等.

 

2.(2009湖北文)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：

他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是(    ).

A.289                B.1024             C.1225               D.1378

考查目的：考查數(shù)列的概念、歸納猜想能力和推理判斷能力.

答案：C

解析：由圖形可得三角形數(shù)構成的數(shù)列通項，正方形數(shù)構成的數(shù)列通項；由可排除D，由或，得，可排除A、B，故選C. 事實上，是第49個三角形數(shù)、第35個正方形數(shù).

 

3.(2008江西)在數(shù)列中，，，則(    ).

A.      B.       C.      D.

考查目的：考查遞推數(shù)列的概念、對數(shù)的運算性質，考查由遞推公式求通項公式的基本方法.

答案：A.

解析：∵，∴()，∴當時， . 又∵也適合上式，∴().

 

二、填空題

4.數(shù)列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一個通項公式是                   .

考查目的：考查數(shù)列通項公式的概念、歸納推理能力.

答案：.

解析：.還可以表示為或

或.

 

5.(由2010遼寧理改編)已知數(shù)列的通項公式為，則的最小值為________.

考查目的：考查數(shù)列的通項公式及函數(shù)的單調性等基礎知識，考查綜合運用知識解決問題的能力.

答案：.

解析：∵，∴，設，則由函數(shù)的性質知，在上單調遞增，在上單調遞減，因為，所以當或時，有最小值.又因為，，所以的最小值為.

 

6.(2012上海文)已知，各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，若，則的值是             .

考查目的：考查函數(shù)的概念、數(shù)列的概念和性質等基礎知識，考查數(shù)列遞推公式的運用.

答案：.

解析：∵，，∴；∵，∴，，，，；又由得到，，解得(負值舍去).依次往前推，得到，∴.

 

三、解答題

7.在數(shù)列中，.

⑴求證：數(shù)列先遞增后遞減；

⑵求數(shù)列的最大項.

考查目的：考查數(shù)列的概念、研究數(shù)列單調性的基本方法.

答案：⑴當時，遞增；當時，遞減.⑵.

解析：⑴由得，∴當時，遞增；當時，遞減.

⑵由⑴可知，為數(shù)列的最大項.

 

8.如果每一對兔子每月能生一對新兔，而每一對新兔在出生后的第三個月開始生一對新兔. 假定不發(fā)生任何死亡，那么一對新生的兔子在一年后能繁殖成多少對？

考查目的：考查數(shù)列的概念、數(shù)列的遞推公式，考查分析問題解決問題的能力.

答案：144.

解析：記 為個月后兔子的對數(shù)，則，，，∵第個月后兔子的對數(shù)由兩部分組成：一部分為第個月的兔子對數(shù)，另一部分是新增加的，增加的對數(shù)為第個月的兔子對數(shù)，∴ ，由此可得，，，，，，，，.

答：一對新生的兔子在一年后能繁殖成144對.

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