一. 本周教學內(nèi)容：向量的概念及表示、向量的線性運算

二. 本周教學目標

1、了解向量的實際背景，會用字母表示向量，理解向量的幾何表示。

2、理解零向量、單位向量、平行向量、相等向量、相反向量等概念，并會辨認圖形中的相等向量或判斷出與某一已知向量相等的向量。

3、理解向量加法的定義，會用向量加法的三角形法則和向量的平行四邊形法則作兩個向量的和向量；理解向量加法的交換律和結(jié)合律，并會用它們進行向量計算。

4、了解向量的減法，會作兩個向量的減向量。

5、理解向量數(shù)乘的含義及向量數(shù)乘的運算律；理解兩個向量共線的含義，并能運用它們證明簡單的幾何問題。

三. 本周要點

（一）向量的概念及表示

1、向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。

2、向量的表示：①用有向線段表示；②用字母③用有向線段的起點與終點字母表示：< style='width:20.25pt; > ；

④向量 。

3、零向量、單位向量概念：

①長度為0的向量叫零向量，記作 ②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量。零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向。

4、平行向量定義：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我們規(guī)定 、 、 ∥ ∥

5、相等向量定義：

長度相等且方向相同的向量叫相等向量。

（1）向量 ＝ ；

（2）零向量與零向量相等；

（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)。

6、共線向量與平行向量關(guān)系：

平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上。

（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；

（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系。

7、相反向量

把與向量 的相反向量，記作－規(guī)定： ）＝幾何中向量加法是用幾何作圖來定義的，一般有兩種方法，即向量加法的三角形法則（“首尾相接，首尾連”）和平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應）。

2、作兩向量的加法：如圖，已知向量 、 ，則向量 與 的和，記作

特殊情況：

，有 探究：（1）兩向量的和仍是一個向量；

（2）當向量 ＋ 的方向不同向，且 ＋ ；

（3）當 ＋ 、 ＋ ＝ 與 反向時，若 ＋ 的方向與 ＋ ＝ < ，則 ＋ ＝ － ＋ ＝ ＋ ＋ ) ＋ ＋ ( ＋x ＝ x叫做 -

2、求作差向量：已知向量 - ) ＋ ＝ ＋

減法的三角形法則作法：在平面內(nèi)取一點 ， ＝ ， 則 ＝ - <9" > 可以表示為從向量 的終點指向向量 表示

（四）向量的數(shù)乘

1、實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量

（1）λ ；（2）λ>0時λ 方向相同；λ<0時λ 方向相反；λ＝0時λ

2、運算定律 結(jié)合律：λ(μ

分配律：(λ＋μ) ＋μ ＋ )＝λ3、向量共線定理

如果有一個實數(shù)λ，使 ＝λ ≠0)，那么 與與 ≠0) 是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)λ，使得 ＝λ4、平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ＝λ1 ＋λ2

說明：(1)我們把不共線向量 、 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量(4)基底給定時，分解形式惟一。λ1，λ2是被①向量 是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；?ぜ/p>

②單位向量都相等；?ぜ/p>

③任一向量與它的相反向量不相等；?ぜ/p>

④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同。

解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量 在同一直線上.

②不正確。單位向量模均相等且為1，但方向并不確定。

③不正確。零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的。

④不正確。如圖 共線，雖起點不同，但其終點卻相同。

評述：本題考查基本概念，對于零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及相互關(guān)系必須把握好。

例2. 如圖，一艘船從A點出發(fā)以 的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為

解：設 表示水流的速度，以AD，AB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則 中， ，

所以

因為 ， 表示向量 。

＝ ， -

變式一：當 ＋ 與 ＝ ）

變式二：當 ＋ ＝ ， 互相垂直）

變式三： - 可能是相當向量嗎？（不可能，∵平行四邊形對角線方向不同）

例4. 如圖平行四邊形ABCD的兩條對角線交于點M，且 ， ， 表示 ， 。

＝ ＝ ＝ ＝ ＝- ＋ )＝- ＝ - )＝ ＝ ＋

＝- ＋

例5. 設 ＝2 ＋3 ， － ， 若三點A， B， D共線，求k的值。

＝ － )－( －4

∵A， B， D共線 ∴ ， 共線 ∴存在λ使 ＝λ

即2 －4 ) ∴ ∴k＝－8

【模擬】

1. 下列各量中不是向量的是（ ）?ぜ/p>

A. 浮力 B. 風速 C. 位移 D. 密度?ぜ/p>

2. 下列說法中錯誤的是（ ）

A. 零向量是沒有方向的?? B. 零向量的長度為0?ぜ/p>

C. 零向量與任一向量平行?? D. 零向量的方向是任意的?ぜ/p>

3. 把平面上一切單位向量的始點放在同一點，那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是（ ）

A. 一條線段??B. 一段圓弧?っ. 圓上一群孤立點?? D. 一個單位圓?ぜ/p>

4. 下列等式:① ＝ ＝ )＝ ＋(－ ＋(－ )＝A. 2 B. 3 C. 4?? D. 5

5. 下列等式中一定能成立的是( )?ぜ/p>

A. ＝ －

C. ＋ －6. 化簡 ＋ ＋A. C. ＝2 ＋ ， ＝3 －2λ ，若 、 是兩非零向量，且 與 與 必定 。

9. 已知 ＝ ＝ ，若 ＝12， － ＝ 。

10. 在正六邊形ABCDEF中， ＝ 、 是非零向量，則 ＋ 時，應滿足條件 。

12. 在平行四邊形ABCD中，設對角線 ， ＝ ，試用 ，13. 如圖， ， ＝t 表示

【試題答案】

1. C 2. D 3. B 4. D 5. A 6. D ?シ. － 8. 不共線

9. 13?ケ0. － 與 反向?ゼ/p>

12. 解： ＝ ＝ ＝

∴ ＝ ＝ ＝ ＋ ＋ ＋

13. 解：∵

∴ ＝ ＋ t＝ ＋ t( -t ＝(1-t) ＋ t

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