勾股定理在初中平面幾何課本中就學(xué)習(xí)過，其內(nèi)容如下：“在直角三角形中，斜邊（弦）的平方等于兩直角邊（短者叫勾，長者叫股）平方的和”。
對這一定理的研究，我國古代數(shù)學(xué)家作出了巨大的貢獻(xiàn)。約在公元前100年成書的我國現(xiàn)存最古的一部數(shù)學(xué)典籍《周髀算經(jīng)》中記載，在公元前1100多年我國數(shù)學(xué)家商高與周公談話中就明確提出了“勾廣三，股修四，弦隅五”，且在同一書中記載的榮方與陳子的問答中，更談到由勾股求弦的一般方法是“勾股各自乘，并而開方除之”，可見已給出了普遍的勾股定理。正因?yàn)樯谈呤紫忍岢隽斯垂啥ɡ恚簧偃税言摱ɡ矸Q之為商高定理。
在商高定理的研究方面作出貢獻(xiàn)的除中國古代數(shù)學(xué)家外，還有許多別的國家和民族的數(shù)學(xué)家，特別是古希臘、埃及、印度的數(shù)學(xué)家。公元前六世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（公元前582年一前497年）是西方第一個(gè)證明勾股定理的人，國外常稱其為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳當(dāng)畢氏找到證明商高定理的方法后，欣喜若狂，殺了100頭牛祭奉慶賀，故西方人亦稱之為“百牛定理”，而畢氏的證明早已失傳。古今中外有許多人探索商高定理的證明方法，不但有數(shù)學(xué)家，還有物理學(xué)家，甚至畫家、政治家。如趙爽（中）、梅文鼎（中）、歐幾里德（希臘）、辛卜松（英）、加菲爾德（美第二十屆總統(tǒng)）等等。其證明方法達(dá)數(shù)百種之多，這在數(shù)學(xué)史上是十分罕見的。
我國古代數(shù)學(xué)家商高發(fā)現(xiàn)了直角三角形勾、股、弦有3、4、5的關(guān)系，故人們稱滿足勾股弦的各組正整數(shù)為商高數(shù)。若以方程的觀點(diǎn)來看，方程的正整數(shù)解稱為商高數(shù)。商高數(shù)除3、4、5外，還有5，12，13；7，24，25；8，15，17；12，35，37；20，21，29等無窮多組。
求方程的整數(shù)解實(shí)際上是個(gè)不定方程問題。關(guān)于不定方程的研究我國最早，約在公元50年（東漢初年）成書的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中出現(xiàn)了世界上最早的不定方程問題（“五家共井”問題），且該書給出了多組商高數(shù)。我國第三世紀(jì)數(shù)學(xué)家劉徽曾為《九章算術(shù)》作注（公元263年），明確給出了商高數(shù)的一般公式。古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（公元246年一330年）研究了整系數(shù)不定方程的整數(shù)解
�。ㄟ@類問題被稱為丟番圖方程），以著作《算術(shù)》名世，記述了189個(gè)不定方程問題。不定方程的全部原始解（兩兩互素的解）的公式是
a=2mn,,。
其中m，n（m＞n）是互素的且一奇一偶的任意正整數(shù)。其實(shí)丟番圖沒有給出這個(gè)公式，中國的劉徽在《九章算術(shù)》注中用文字表述了這個(gè)公式，并作圖加以證明（圖已失傳，圖的說明傳下來了），這也是我國古代數(shù)學(xué)家的一大成就。
相隔1400多年，約公元1637年，費(fèi)馬（公元1601—1665）在丟番圖的校注本《算術(shù)》第2卷第8命題“把一個(gè)平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)”旁的空白處，寫了一段批語：“把一個(gè)立方數(shù)分為兩個(gè)立方數(shù)，一個(gè)四次冪分為兩個(gè)四次冪，或一般地，把一個(gè)高于二次的冪分為兩個(gè)同次的冪，這是不可能的，關(guān)于這一點(diǎn)，我已發(fā)現(xiàn)了一種巧妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下”。費(fèi)馬，法國人，律師，業(yè)余鉆研數(shù)學(xué)，很少發(fā)表作品，一些數(shù)學(xué)成果常寫在給朋友的信中或所讀書的空白處，由后人收集整理出版。費(fèi)馬去世后，他兒子在整理他的遺物時(shí)發(fā)現(xiàn)了這段話，并于1670年公布于眾。這就是引起世人關(guān)注的費(fèi)馬大定理，可表述為“當(dāng)整數(shù)n＞2時(shí)，方程 沒有正整數(shù)解�！�
從費(fèi)馬時(shí)代起，人們不斷進(jìn)行費(fèi)馬大定理的試證工作。巴黎科學(xué)院曾先后兩次提供獎(jiǎng)?wù)潞酮?jiǎng)金，布魯塞爾科學(xué)院也懸賞重金，獎(jiǎng)勵(lì)證明該定理的人，但都無結(jié)果。1908年哥廷根皇家科學(xué)會懸賞十萬馬克，獎(jiǎng)給最先證明這一定理的人，賞期100年。最初的證明是一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)（或一部分?jǐn)?shù)）的進(jìn)行，但也不是那么簡單的工作，不知多少人耗盡了無數(shù)心血，取得了一些成果。如高斯、歐拉、萊布尼茨、勒讓德、狄里克雷、拉梅、庫默爾等許多著名數(shù)學(xué)家都作出了突出的貢獻(xiàn)。但都只是在某些特定條件下證明了這個(gè)定理，無疑離定理的證明還比較遙遠(yuǎn)。人們曾經(jīng)在費(fèi)馬的遺稿、筆記、傳抄本，甚至其它任何可能的地方，去尋找他的證明方法，但都落空了。這的確是個(gè)“謎”，人們不得不懷疑，費(fèi)馬是不是證明過這個(gè)定理，還
是在什么地方弄錯(cuò)了。
直接證明費(fèi)馬大定理的艱巨困境促使人們按數(shù)學(xué)解決問題的傳統(tǒng)，就是要作變換，把問題轉(zhuǎn)化為已知的或易于解決的領(lǐng)域的新問題去解決。近三個(gè)多世紀(jì)來，經(jīng)過包括黎曼、莫德爾等許多數(shù)學(xué)家艱苦卓絕、前赴后續(xù)的工作，把費(fèi)馬大定理與代數(shù)曲線上的有理點(diǎn)（坐標(biāo)都是有理數(shù)的點(diǎn)）聯(lián)系起來。種種轉(zhuǎn)化推動了數(shù)學(xué)相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展，也推動了費(fèi)馬大定理的證明進(jìn)程。英國年輕的數(shù)學(xué)家維爾斯（A·WIles．1953一）利用19世紀(jì)以來研究并發(fā)展起來的橢圓函數(shù)理論及其研究成果，最終證明了費(fèi)馬大定理。1993年6月維爾斯長達(dá)200頁的論文評審時(shí)，被發(fā)現(xiàn)其證明有漏洞，1993年7月他開始修改論文，補(bǔ)正漏洞，1994年9月維爾斯終于克服困難，重寫了一篇108頁的證明論文，10月寄往美國《數(shù)學(xué)年刊》，順利通過審查，1995年5月《數(shù)學(xué)年刊》的41卷第3期上只登載了他的這一篇論文。維爾斯因此獲得了國際上頗有影響的科學(xué)獎(jiǎng)──1995／1996年度沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，這一成果被認(rèn)為是“20世
紀(jì)最重大的數(shù)學(xué)成就”。
歷時(shí)幾千年的兩個(gè)定理，牽動著世界上不知多少代億萬人們的心，前人以堅(jiān)韌的毅力，開拓創(chuàng)新的精神譜寫了科學(xué)知識寶庫中探寶的光輝篇章，還有許多寶藏等待后人開采。自然無限，創(chuàng)造永恒。同學(xué)們要努力學(xué)習(xí)，提高自身素質(zhì)，不辜負(fù)時(shí)代重托，將來為人類作出更大貢獻(xiàn)。
參考文獻(xiàn)
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選自《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2001年10月下
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