重難點(diǎn)：會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題．
考綱要求：①會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題．
經(jīng)典例題：某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是0.8πr2分(其中r是瓶子的半徑,單位是厘米).已知每出售1 mL的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6 cm.
(1)瓶子半徑多大時(shí),能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大?
(2)瓶子半徑多大時(shí),每瓶飲料的利潤(rùn)最小?
當(dāng)堂練習(xí)：
1.函數(shù)y=x3+x的單調(diào)增區(qū)間為( )
A.(-∞,+∞) B.(0,+∞)
C.(-∞,0) D.不存在
2.若函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第四象限,則函數(shù)f′(x)的圖象是（ ）
3.上圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象,則下面判斷正確的是 （ ）
A.在區(qū)間(-2,1)內(nèi)f(x)是增函數(shù) B.在(1,3)內(nèi)f(x)是減函數(shù)
C.在(4,5)內(nèi)f(x)是增函數(shù) D.在x=2時(shí)f(x)取到極小值
4.下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值大 B.函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值一定是極大值
C.對(duì)于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|<,則f(x)無(wú)極值 D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上一定存在最值
5.若函數(shù)f(x)=x3-ax2+1在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.a≥3 B.a=2 C.a≤3 D.0<a<3
6.★若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在R上是增函數(shù),則( )
A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0
C.b=0,c>0 D.b2-3ac<0
7.已知函數(shù)f(x)=ax3+(2a-1)x2+2,若x=-1是y=f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),則a的值為( )
A.2 B.-2 C. D.4
8.在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)，函數(shù)y=ex-x是( )
A.增函數(shù) B.減函數(shù) C.先增后減 D.先減后增
9.函數(shù)y=f(x)=lnx-x在區(qū)間(0,e］上的最大值為( )
A.1-e B.-1 C.-e D.0
10.函數(shù)y=x5-x3-2x，則下列判斷正確的是( )
A.在區(qū)間（-1，1）內(nèi)函數(shù)為增函數(shù) B.在區(qū)間（-∞,-1)內(nèi)函數(shù)為減函數(shù)
C.在區(qū)間(-∞,1)內(nèi)函數(shù)為減函數(shù) D.在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)函數(shù)為增函數(shù)
11.函數(shù)f(x)=x3-3x2+7的極大值是 .
12.函數(shù)y=4x2+的單調(diào)增區(qū)間為 .
13.函數(shù)y=3x2-2lnx的單調(diào)減區(qū)間為 .
14.函數(shù)y=x4-8x2+2在［-1，3］上的最大值為 .
15.已知函數(shù)y=ax與y=-在區(qū)間（0，+∞)上都是減函數(shù)，試確定函數(shù)y=ax3+bx2+5的單調(diào)區(qū)間.
16.當(dāng)室內(nèi)的有毒細(xì)菌開(kāi)始增加時(shí),就要使用殺菌劑.剛開(kāi)始使用的時(shí)候,細(xì)菌數(shù)量還會(huì)繼續(xù)增加,隨著時(shí)間的增加,它增加幅度逐漸變小,到一定時(shí)間,細(xì)菌數(shù)量開(kāi)始減少.如果使用殺菌劑t小時(shí)后的細(xì)菌數(shù)量為b(t)=105+104t-103t2.
(1)求細(xì)菌在t=5與t=10時(shí)的瞬時(shí)速度;
(2)細(xì)菌在哪段時(shí)間增加,在哪段時(shí)間減少?為什么?
17.已知a為實(shí)數(shù),f(x)=(x2-4)(x-a).
(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x);(2)若f′(-1)=0,求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值.
18.某產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次,生產(chǎn)第一檔(即最低檔次)的利潤(rùn)是每件8元,每提高一個(gè)檔次,利潤(rùn)每件增加2元,但在相同的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量減少3件.在相同的時(shí)間內(nèi),最低檔的產(chǎn)品可生產(chǎn)60件.問(wèn)在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品的總利潤(rùn)最大?有多少元?
參考答案：
經(jīng)典例題： 分析 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
解 由于瓶子的半徑為r,所以每瓶飲料的利潤(rùn)是
y=f(r)=0.2×πr3-0.8πr2=0.8π(-r2),0<r≤6.
令f′(r)=0.8π(r2-2r)=0.
當(dāng)r=2時(shí),f′(r)=0;
當(dāng)r∈(0,2)時(shí),f′(r)<0;
當(dāng)r∈(2,6)時(shí),f′(r)>0.
因此,當(dāng)半徑r>2時(shí),f′(r)>0,它表示f(r)單調(diào)遞增,即半徑越大,利潤(rùn)越高;半徑r<2時(shí),f′(r)<0,它表示f(r)單調(diào)遞減,即半徑越大,利潤(rùn)越低.
(1)半徑為6 cm時(shí),利潤(rùn)最大.
(2)半徑為2 cm時(shí),利潤(rùn)最小,這時(shí)f(2)<0,表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本,此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值.
當(dāng)堂練習(xí)：
1.A; 2.A; 3.C; 4.C; 5.A; 6.D; 7.A; 8.A; 9.B; 10.D; 11. 7; 12. (,+∞); 13. (0,);14. 11;
15. 解 ∵函數(shù)y=ax與y=-在區(qū)間（0，+∞)上是減函數(shù)，
∴a<0,b<0.
由y=ax3+bx2+5,得y′=3ax2+2bx.
令y′>0，即3ax2+2bx>0,∴<x<0.
因此當(dāng)x∈(,0)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù);
令y′<0,即3ax2+2bx<0,
∴x<或x>0.
因此當(dāng)x∈(-∞,)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù);
x∈(0,+∞)時(shí)，函數(shù)也為減函數(shù). ?
16. 分析 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
解 (1)b′(t)=-2 000t+10 000,
b′(t)|t=5=-2 000×5+10 000=0,
b′(t)|t=10=-2 000×10+10 000=-10 000,
即細(xì)菌在t=5與t=10時(shí)的瞬時(shí)速度分別為0和-10 000.
(2)由-2 000t+10 000>0,得t<5,
由-2 000t+10 000<0,得t>5,
即細(xì)菌在t∈(0,5)時(shí)間段數(shù)量增加,在t∈(5,+∞)時(shí)間段數(shù)量減少.
17. 分析 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查分析推理和知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.求函數(shù)在閉區(qū)間的最值,只需比較導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小即可.
解 (1)由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a,
∴f′(x)=3x2-2ax-4.
(2)由f′(-1)=0,得a=.
此時(shí)有f(x)=(x2-4)(x-),
∴f′(x)=3x2-x-4.
由f′(x)=0,得x=或x=-1.
又f()=-,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,
∴f(x)在［-2,2］上的最大值為,最小值為.
18. 分析 在一定條件下,“利潤(rùn)最大”“用料最省”“面積最大”“效率最高”“強(qiáng)度最大”等問(wèn)題,在生產(chǎn)、生活中經(jīng)常用到,在數(shù)學(xué)上這類問(wèn)題往往歸結(jié)為求函數(shù)的最值問(wèn)題.除了常見(jiàn)的求最值的方法外,還可用求導(dǎo)法求函數(shù)的最值.但無(wú)論采取何種方法都必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行.
解法一 設(shè)相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第x(x∈N*,1≤x≤10)檔次的產(chǎn)品利潤(rùn)y最大.
依題意,得y=［8+2(x-1)］［60-3(x-1)］
=-6x2+108x+378
=-6(x-9)2+864(1≤x≤10),
顯然,當(dāng)x=9時(shí),ymax=864(元),
即在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品的總利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為864元.
解法二 由上面解法得到y(tǒng)=-6x2+108x+378.
求導(dǎo)數(shù),得y′=-12x+108.
令y′=-12x+108=0,
解得x=9.因?yàn)閤=9∈［1,10］,y只有一個(gè)極值點(diǎn),所以它是最值點(diǎn),即在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為864元.
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/181670.html
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