教學目標

 

　　知識目標：初步理解增函數、減函數、函數的單調性、單調區(qū)間的概念，并掌握判斷一些簡單函數單調性的方法。

 

　　能力目標：啟發(fā)學生能夠發(fā)現問題和提出問題，學會分析問題和創(chuàng)造地解決問題；通過觀察——猜想——推理——證明這一重要的思想方法，進一步培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和創(chuàng)新意識。

 

　　德育目標：在揭示函數單調性實質的同時進行辯證唯物主義思想教育。：

 

　　教學重點：函數單調性的有關概念的理解

 

　　教學難點：利用函數單調性的概念判斷或證明函數單調性

 

　　教    具：  多媒體課件、實物投影儀

 

　　教學過程：

 

　　一、創(chuàng)設情境，導入課題

 

　　[引例1]如圖為2006年黃石市元旦24小時內的氣溫變化圖．觀察這張氣溫變化圖：

 

　　　　　

 

　　問題1：氣溫隨時間的增大如何變化？

 

　　問題2：怎樣用數學語言來描述“隨著時間的增大氣溫逐漸升高”這一特征？

 

　　[引例2]觀察二次函數的圖象，從左向右函數圖象如何變化？并總結歸納出函數圖象中自變量x和 y值之間的變化規(guī)律。

 

　　結論：（1）y軸左側：逐漸下降； y軸右側：逐漸上升；

 

　�。�2）左側 y隨x的增大而減�。挥覀葃隨x的增大而增大。

 

　　上面的結論是直觀地由圖象得到的。還有很多函數具有這種性質，因此，我們有必要對函數這種性質作更進一步的一般性的討論和研究。

 

　　二、給出定義，剖析概念

 

　　①定義：對于函數f(x)的定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值

 

　�、湃舢�<時，都有f()<f(),則f(x)在這個區(qū)間上是增函數（如圖3）；

 

　�、迫舢�<時，都有f()>f(),則f(x) 在這個區(qū)間上是減函數（如圖4）。

 

　　　　　　

 

　　②單調性與單調區(qū)間

 

　　若函數y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，則就說函數y=f(x)在這一區(qū)間具有單調性，這一區(qū)間叫做函數y=f(x)的單調區(qū)間.此時也說函數是這一區(qū)間上的單調函數.由此可知單調區(qū)間分為單調增區(qū)間和單調減區(qū)間。

 

　　注意：

 

　�。�1）函數單調性的幾何特征：在單調區(qū)間上，增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的。

 

　　當x1 <x2時，都有f(x1)<f(x2) y隨x增大而增大；當x1 <x2時，都有f(x1)>f(x2)y隨x增大而減小。

 

　　幾何解釋：遞增 函數圖象從左到右逐漸上升；遞減 函數圖象從左到右逐漸下降。

 

　�。�2）函數單調性是針對某一個區(qū)間而言的，是一個局部性質。

 

　　

 

　　有些函數在整個定義域內是單調的；有些函數在定義域內的部分區(qū)間上是增函數，在部分區(qū)間上是減函數；有些函數是非單調函數，如常數函數。

 

　　。

 

　　判斷2：定義在R上的函數 f (x)滿足 f (2)> f(1)，則函數 f (x)在R上是增函數。（×）

 

　　函數的單調性是函數在一個單調區(qū)間上的“整體”性質，具有任意性，不能用特殊值代替。

 

　　訓練：畫出下列函數圖像，并寫出單調區(qū)間：

 

 

　　三、范例講解，運用概念

 

　　例1 、如圖，是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數的圖象，根據圖象說出的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上，函數是增函數還減函數。

 

　　　　　

 

　　注意：

 

　�。�1）函數的單調性是對某一個區(qū)間而言的，對于單獨的一點，由于它的函數值是唯一確定的常數，因而沒有增減變化，所以不存在單調性問題。

 

　　（2）在區(qū)間的端點處若有定義，可開可閉，但在整個定義域內要完整。

 

　　例2 判斷函數 f (x) =3x+2 在R上是增函數還是減函數？并證明你的結論。

 

　　引導學生進行分析證明思路，同時展示證明過程：

 

　　證明：設任意的，且，則

 

　　    

 

　　     由，得

 

　　于是

 

　　即。

 

　　所以，在R上是增函數。

 

　　    分析證明中體現函數單調性的定義。

 

　　利用定義證明函數單調性的步驟：

 

　�、偃我馊≈担杭丛Ox1、x2是該區(qū)間內的任意兩個值，且x1<x2

 

　　②作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法將差式向有利于判斷差的符號的方向變形

 

　�、叟袛喽ㄌ枺捍_定f(x1)－f(x2)的符號

 

　�、艿贸鼋Y論：根據定義作出結論（若差0，則為增函數；若差0，則為減函數）

 

　　即“任意取值——作差變形——判斷定號——得出結論”

 

　　例3、 證明函數在(0,+)上是減函數.

 

　　證明：設，且，則

 

　　        （*） 

 

　　由，得

 

　　又由，得，

 

　　于是即。

 

　　即。

 

　　所以，函數在區(qū)間上是單調減函數。

 

　　問題1 ：在上是什么函數？(減函數)

 

　　問題2 ：能否說函數在定義域上是減函數？    （學生討論得出）

 

　　四、課堂練習，知識鞏固    

 

　　   課本59頁 練習：第1、3、4題。

 

　　五、課堂小結，知識梳理

 

　　1、增、減函數的定義。

 

　　函數單調性是對定義域的某個區(qū)間而言的，反映的是在這一區(qū)間上函數值隨自變量變化的性質。

　　2、函數單調性的判斷方法：（1）利用圖象觀察；（2）利用定義證明：

 

　　證明的步驟：任意取值——作差變形——判斷符號——得出結論。

 

　　六、布置作業(yè)，教學延伸

 

　　課本60頁 習題2.3 ：第4、5、6題。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/183795.html

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