不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容。建立不等觀念，處理不等關(guān)系與處理等量問題是同樣重要的。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，在本章中，學(xué)生將通過具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，理解不等式（組）對于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實(shí)際問題；能用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些簡單的二元線性規(guī)劃問題；認(rèn)識基本不等式及其簡單應(yīng)用；體會不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系。

　　一、內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

　　本章主要學(xué)習(xí)描述不等關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，一元二次不等式的解法及其應(yīng)用，線性規(guī)劃問題，基本不等式及其應(yīng)用等，通過學(xué)習(xí)，要使學(xué)生達(dá)到以下目標(biāo)：

　　1．通過具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的數(shù)量關(guān)系、了解不等式（組）的實(shí)際背景。

　　2．經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程；通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系；會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖。

　　3．從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決。

　　4．探索基本不等式的證明過程；會用基本不等式解決簡單最大(小)值問題。

　　二、內(nèi)容安排

　　本章共有4個小節(jié)，教學(xué)時間約需16課時，具體安排如下(僅供參考)：

　　3．1不等關(guān)系與不等式                               約2課時

　　3．2一元二次不等式及其解法                         約3課時

　　3．3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題         約5課時

　　3．4基本不等式：                       約3課時

　　小結(jié)與復(fù)習(xí)                                         約3課時

　　本章知識結(jié)構(gòu)如下：

　　    

　　1．依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的“通過具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的數(shù)量關(guān)系、了解不等式（組）的實(shí)際背景”的精神，教科書首先從學(xué)生熟知的平面幾何基礎(chǔ)知識和日常生活中經(jīng)常用到的“長與短、”大與小、多與少、遠(yuǎn)與近等的比較及比較的結(jié)果入手，描述客觀事物在數(shù)量關(guān)系上存在的不等關(guān)系。列不等式需要依據(jù)實(shí)際問題中存在的不等關(guān)系建立不等式。教科書通過用不等式(組)表示汽車的車速，產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)中相關(guān)含量指標(biāo)等例子，使學(xué)生感受到不等關(guān)系是通過不等式來表示的，理解不等式(組)對于刻劃不等關(guān)系的意義和價(jià)值。進(jìn)而，通過具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的問題，讓學(xué)生在他們感興趣的數(shù)學(xué)問題情境中，學(xué)習(xí)如何列不等式和不等式組。

　　為了研究不等關(guān)系，教科書類比等式的性質(zhì)給出了不等式的基本性質(zhì)，并給出了不等式的基本性質(zhì)（3）的證明。

　　3．1節(jié)例1的證明過程中先后利用了不等式的基本性質(zhì)（3）（4），目的是引導(dǎo)學(xué)生體會不等式的基本性質(zhì)在證明中所起的作用。

　　2．對于一元二次不等式及其解法，教科書仍然結(jié)合實(shí)際問題展開，從學(xué)生感興趣的上網(wǎng)收費(fèi)問題說起，通過對兩種收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)下的收費(fèi)情況的比較，抽象出不等關(guān)系，并引出了一元二次不等式的概念。為了得到問題的答案，引出了解不等式及不等式的解集，并重點(diǎn)討論了列不等式和解不等式的問題。

　　教科書通過觀察具體的二次函數(shù)圖象及與其相應(yīng)的一元二次方程根的關(guān)系，推廣出了一般的一元二次不等式解集的求法，并用框圖的形式歸納了求解一元二次不等式的過程。

　　在學(xué)生學(xué)習(xí)了一元二次不等式及其解法的基礎(chǔ)上，為了解決生活中會遇到的各種不同的不等關(guān)系，本章再次結(jié)合實(shí)際例子引出了另一種不等關(guān)系的模型──二元一次不等式（組）和簡單的線性規(guī)劃問題。

　　3．會用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域，能畫出給定的不等式（組）表示的平面區(qū)域，是學(xué)習(xí)簡單線性規(guī)劃問題圖解法的重要基礎(chǔ)。教科書在第3.3節(jié)探求二元一次不等式所表示的平面區(qū)域時，先后以思考和探究的方式提出問題，從研究具體的不等式的解集所表示的平面區(qū)域入手，討論直線的一側(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)與不等式的關(guān)系，由此推廣到一般的二元一次不等式（或）表示的平面區(qū)域，并得到了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的交集的結(jié)論。3.3節(jié)的重點(diǎn)是二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域，比較困難的是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題，解決這一困難的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解，問題的解決體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想。

　　4．對于基本不等式，教科書結(jié)合北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，聯(lián)系我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，用數(shù)學(xué)史實(shí)恰時恰點(diǎn)的對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育，緊緊抓住弦圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，得到了不等式，還用分析法以填空的形式給出了證明，并通過兩個實(shí)際問題的例題，說明了不等式的實(shí)際應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

　　三、編寫中考慮的幾個問題

　　1．加強(qiáng)與實(shí)際問題的聯(lián)系

　　本章一開始的章頭圖是一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，給學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在著，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的愿望。

　　不等關(guān)系是從日常生活中經(jīng)常用到的長與短、大與小、多與少、遠(yuǎn)與近等的比較及比較的結(jié)果引入的；不等式及不等式組的建立是在對實(shí)際問題1、2、3逐一分析的基礎(chǔ)上列出的。

　　教科書通過學(xué)生感興趣的上網(wǎng)問題及大家關(guān)注的計(jì)時收費(fèi)問題引入一元二次不等式的有關(guān)概念，通過讓學(xué)生比較兩種不同的收費(fèi)方式，從中認(rèn)識到學(xué)習(xí)不等關(guān)系及不等式的必要性。從銀行貸款中的資金分配問題中引入二元一次不等式組的數(shù)學(xué)模型，從現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中，經(jīng)常遇到的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題中引入二元線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個分支，它能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理等許多方面的實(shí)際問題。通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和解決實(shí)際問題的能力。

　　對于不等式，教科書結(jié)合北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，聯(lián)系我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，緊緊抓住弦圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系來加以引入。

　　教科書對本章各節(jié)中引入的實(shí)際問題，在學(xué)習(xí)了一元二次不等式的解集，二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，及用基本不等式： 求最大（�。┲档葍�(nèi)容的基礎(chǔ)上，都一一給出了解答，使學(xué)生認(rèn)識到，數(shù)學(xué)問題源于生活且用于生活，學(xué)好數(shù)學(xué)目的在于應(yīng)用。

　　2．注重讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的形成過程

　　一元二次不等式解集的求法對學(xué)生而言并不會感到困難，但理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集之間的關(guān)系，則要經(jīng)歷觀察、思考、探究的過程。教科書遵循人們認(rèn)識事物的一般規(guī)律，從具體的二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系出發(fā)，利用二次函數(shù)圖象的直觀性，借助方程的根是二次函數(shù)的兩個零點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)P(x,y)在圖象上移動，隨著點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x變化，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y的變化情況，在獲得感性認(rèn)識的前提下，歸納出一元二次不等式解集的求法，進(jìn)而由特殊推廣到一般。

　　同樣，對于二元一次不等式組表示的平面區(qū)域問題，教科書引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究探究討論直線的一側(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)與不等式的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上理解二元一次不等式組表示的平面區(qū)域問題。

　　教科書中“錯在哪兒”欄目，提出的問題具有思考性又具有挑戰(zhàn)性。對于同一道習(xí)題得到不同的答案的類似的問題情境學(xué)生常常經(jīng)歷，也常常給學(xué)生帶來困惑，引導(dǎo)學(xué)生辨析糾錯，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和反思意識。

　　另外，本章教材先后兩處在正文中以填空的形式呈現(xiàn)教材內(nèi)容。一處是用框圖表示求解一元二次不等式的過程，框圖留有空格由學(xué)生填充，另一處是用分析法證明基本不等式。這樣編寫的目的在于要實(shí)實(shí)在在的體現(xiàn)變教學(xué)活動為學(xué)生的思維活動，留給學(xué)生思維的空間。

　　3．重視數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用

　　本章教材重視利用函數(shù)圖象及坐標(biāo)系中坐標(biāo)、平面區(qū)域的直觀，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)觀察、比較、歸納、探究的問題情境，將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想貫穿于全章，這是幫助學(xué)生學(xué)好本章的一個關(guān)鍵。例如，在求一元二次不等式解集的過程中，教科書在畫出二次函數(shù)圖象，借助圖象的直觀，通過觀察圖象上任意一點(diǎn)P(x,y)橫、縱坐標(biāo)變化情況得到一元二次不等式解集，在這一過程中，學(xué)生既發(fā)現(xiàn)了二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集間的聯(lián)系，又對一元二次不等式的解集有了直觀的理解。又如，對于簡單的線性規(guī)劃問題，教科書借助直觀的平面區(qū)域的幾何背景，幫助學(xué)生理解二元一次不等式組的解集這樣比較抽象的概念。對于線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，教科書借助直線的截距概念，使原本較為復(fù)雜的線性規(guī)劃問題變得易于理解和易于操作。

　　對教學(xué)的幾個建議

　　1．準(zhǔn)確把握教學(xué)要求

　　總體上說，本章內(nèi)容從以往比較關(guān)注不等式的解法轉(zhuǎn)變到了強(qiáng)調(diào)不等式是刻畫和描述現(xiàn)實(shí)世界中事物不等關(guān)系的一種工具，是描述刻畫優(yōu)化問題的一種數(shù)學(xué)模型。淡化了解不等式的技巧性要求，突出了不等式的實(shí)際背景及其應(yīng)用。

　　對于一元二次不等式，教學(xué)中要把學(xué)生“經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程”的要求放在首位，同時要強(qiáng)調(diào)“通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系”，充分注重?cái)?shù)形結(jié)合，而對一元二次不等式的求解不要過分展開，只要達(dá)到最基本要求即可，值得關(guān)注的是算法思想的融入，設(shè)計(jì)求解一元二次不等式的程序框圖是以往教科書中沒有的。教學(xué)中要充分重視與算法的結(jié)合問題，因?yàn)檫@不但是使算法找到了用武之地，而且對學(xué)生認(rèn)識不等式的結(jié)構(gòu)也有很大幫助。

　　教科書將最簡單的線性不等式組——二元一次不等式組作為不等式部分的重要內(nèi)容，并將其作為刻畫區(qū)域的工具，為解決簡單的線性規(guī)劃問題做鋪墊。同樣的，教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組模型，而不是像以往那樣從純數(shù)學(xué)角度提出問題。對不等式組，要強(qiáng)調(diào)其幾何意義，使學(xué)生能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組。這種從點(diǎn)與數(shù)對的對應(yīng)，線與方程的對應(yīng)，到平面區(qū)域與不等式組的對應(yīng)的過渡和提升，能使學(xué)生進(jìn)一步體會到數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)及其重要性，也是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的好素材。

　　線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個最重要內(nèi)容之一，其問題本身以及解決問題的方法促進(jìn)了許多數(shù)學(xué)多分支的發(fā)展，其蘊(yùn)涵的優(yōu)化思想方法是數(shù)學(xué)中的基本思想方法。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)借助幾何直觀解決一些簡單的線性規(guī)劃問題，引導(dǎo)學(xué)生體會線性規(guī)劃的基本思想，要避免引入過多名詞。

　　線性規(guī)劃的豐富案例體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用正在不斷地滲透到社會生活的方方面面。數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵于案例之中，教學(xué)中要充分關(guān)注案例的作用。除了教科書中的例子外，教學(xué)中可舉一反三，引導(dǎo)學(xué)生自己搜集一些實(shí)際問題，使學(xué)生通過一定的訓(xùn)練，掌握簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法。教學(xué)中還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從社會生產(chǎn)、生活實(shí)際中提取可以歸結(jié)為二元線性規(guī)劃的問題并加以解決。

　　均值不等式 ( )的教學(xué)，要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生探索并了解基本不等式的證明過程，在此基礎(chǔ)上，用基本不等式解決簡單的最大（�。┑闹祮栴}。這里要突出求解不等式模型的基本方法，防止陷入“煩瑣的計(jì)算、人為技巧化的難題”，不要“過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容”。

　　2．加強(qiáng)與現(xiàn)實(shí)及相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系性

　　教學(xué)中要加強(qiáng)“不等關(guān)系是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系”的認(rèn)識，把不等關(guān)系及不等式的教學(xué)建立在實(shí)際問題的背景之上。教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步挖掘一些感興趣的和富有時代感的素材，通過分析其中的基本數(shù)量關(guān)系，以加深學(xué)生對用不等式刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的不等關(guān)系的認(rèn)識。

　　在不等式的教學(xué)中，要注意不等式與等式的類比，通過類比，使學(xué)生認(rèn)識不等式及其性質(zhì)與等式及其性質(zhì)之間的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。另外，還要注意加強(qiáng)與函數(shù)、方程的聯(lián)系，積極滲透算法思想。

　　不等式、一元二次不等式、二元一次不等式組都是解決實(shí)際問題的重要數(shù)學(xué)模型，教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)它們在解決實(shí)際問題中的工具作用，滲透建立數(shù)學(xué)模型的思想。

　　3．重視信息技術(shù)的使用

　　在本章中，信息技術(shù)的介入，可以為求解不等式的過程提供形象、快捷的技術(shù)支持，可以顯現(xiàn)那些有豐富內(nèi)涵的不等式的幾何背景，為傳統(tǒng)教學(xué)中抽象思維的培養(yǎng)注入形象思維的活力。特別是在二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題的教學(xué)中，計(jì)算器及計(jì)算機(jī)可以為研究二元一次不等式組的解集表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃問題提供試驗(yàn)探索平臺，學(xué)生可以利用技術(shù)，按照各自的想法在實(shí)際操作中體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動，在觀察坐標(biāo)的連續(xù)變化的具體情境中，分析引起數(shù)量關(guān)系產(chǎn)生變化的原因，發(fā)現(xiàn)各數(shù)學(xué)對象之間的邏輯關(guān)聯(lián)，從動手實(shí)踐、觀察猜想中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這樣對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的完整性、連續(xù)性是很有益的。

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