高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法:如何判斷函數(shù)的單調(diào)性

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高中數(shù)學(xué) 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

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函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性。函數(shù)的單調(diào)性是對某個(gè)區(qū)間而言的,它是一個(gè)局部概念。數(shù)學(xué)中關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí),大體上可以歸結(jié)為增減函數(shù)的學(xué)習(xí)。

一、單調(diào)函數(shù)的增減函數(shù)的判斷

若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),則就說函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)。

在單調(diào)區(qū)間上,增函數(shù)的圖像是上升的,減函數(shù)的圖像是下降的。

注:在單調(diào)性中有如下性質(zhì)。

圖例:↑(增函數(shù))↓(減函數(shù))

↑+↑=↑ 兩個(gè)增函數(shù)之和仍為增函數(shù)

↑-↓=↑ 增函數(shù)減去減函數(shù)為增函數(shù)

↓+↓=↓ 兩個(gè)減函數(shù)之和仍為減函數(shù)

↓-↑=↓ 減函數(shù)減去增函數(shù)為減函數(shù)

二、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解法技巧

若內(nèi)層與外層函數(shù)有同樣的單調(diào)性,則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)

若內(nèi)層與外層函數(shù)有相反的單調(diào)性,則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)

例子:求f(x)=2^(x^2+2x+1)的單調(diào)性。

解:f(x)=2^u 外層函數(shù)

u=x^2+2x+1 內(nèi)層函數(shù)

外層函數(shù)為增函數(shù),所以只需考察內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性:當(dāng)x<-1時(shí)為減,當(dāng)x>-1時(shí)為增

所以f(x)=2^(x^2+2x+1)當(dāng)x>-1時(shí)為增,當(dāng)x<-1時(shí)為減

三、復(fù)合函數(shù)的解題規(guī)律

判斷函數(shù)的單調(diào)性y = 1/( x^2-2x-3)。

設(shè)x^2-2x-3=t,

令x^2-2x-3=0,

解得:x=3或x=-1,

當(dāng)x>3和x<-1時(shí),t>0,

當(dāng)-1

所以得到x^2-2x-1對稱軸是1。

根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì):

在整個(gè)定義域上是1/t是減函數(shù)。

當(dāng)t>0時(shí),x>3時(shí),

t是增函數(shù),1/t是減函數(shù),

所以(3,+∞)是減區(qū)間,

而x<-1時(shí),t是減函數(shù),

所以1/t是增函數(shù)。

因此(-∞,-1)是增區(qū)間,

當(dāng)x<0時(shí),

-1

所以1/t是增函數(shù),

因此(-1,1)是增區(qū)間,

而1

因此(1,3)是減區(qū)間,

得到增區(qū)間是(-∞,-1)和(-1,1),

(1,3)和(3,+∞)是減區(qū)間。

參照以上例題,函數(shù)的單調(diào)性解題規(guī)律,你是否已經(jīng)知道了呢?函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí),重點(diǎn)在于掌握函數(shù)的增減函數(shù)的判定。

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