一、音樂中的 1，2，3 并不是數(shù)字而是專門的記號，唱出來是 do, re, mi，它來源于中世紀(jì)意大利一首贊美詩中前七句每一句句首的第一個音節(jié)。而音樂的歷史像語言的歷史一樣悠久，其淵源已不可考證。但令人驚異的是我們可以運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來解釋音樂的許多規(guī)則其中包括音樂基本元素──樂音的構(gòu)成原理，也就是說 1，2，3……這些記號確實(shí)有著數(shù)字或數(shù)學(xué)的背景。

學(xué)習(xí)音樂總是從音階開始，我們常見的音階由 7 個基本的音組成：

1，2，3，4，5，6，7

或用唱名表示即

do, re, mi, fa, so, la, si

用 7 個音以及比它們高一個或幾個八度的音、低一個或幾個八度的音做成各種組合就是“曲調(diào)”。

美國著名音樂理論家珀西·該丘斯（Percy Goetschius，1853-1943）說“對于求知心切的音樂學(xué)習(xí)者與音樂愛好者，再沒有像‘音階’似的音樂要素，即刻而又持久地引起他們的好奇心與驚異的了”。

7 音音階按“高度”自低向高排列，要搞清音階的原理，首先須知道什么是音的“高度”？音與音之間的“高度”差是多少？

物體發(fā)生振動時產(chǎn)生聲音，振動的強(qiáng)弱（能量的大�。�體現(xiàn)為聲音的大小，不同物體的振動體現(xiàn)為聲音音色的不同，而振動的快慢就體現(xiàn)為聲音的高低。

振動的快慢在物理學(xué)上用頻率表示，頻率定義為每秒鐘物體振動的次數(shù)，用每秒振動 1 次作為頻率的單位稱為赫茲。頻率為 261.63 赫茲的音在音樂里用字母 c1 表示。相應(yīng)地音階表示為

c, d, e, f, g, a, b

在將 C 音唱成“do”時稱為 C 調(diào)。

頻率過高或過低的聲音人耳不能感知或感覺不舒服，音樂中常使用的頻率范圍大約是 16~4000 赫茲，而人聲及器樂中最富于表現(xiàn)力的頻率范圍大約是 60~1000 赫茲。

在弦樂器上撥動一根空弦，它發(fā)出某個頻率的聲音，如果要求你唱出這個音你怎能知道你的聲帶振動頻率與空弦振動頻率完全相等呢？這就需要“共鳴原理”：當(dāng)兩種振動的頻率相等時合成的效果得到最大的加強(qiáng)而沒有絲毫的減弱。因此你應(yīng)當(dāng)通過體驗(yàn)與感悟去調(diào)整你的聲帶振動頻率使聲帶振動與空弦振動發(fā)生共鳴，此時聲帶振動頻率等于空弦振動頻率。

人們很早就發(fā)現(xiàn)，一根空弦所發(fā)出的聲音與同一根空弦但長度減半后發(fā)出的聲音有非常和諧的效果，或者說接近于“共鳴”，后來這兩個音被稱為具有八度音的關(guān)系。我們可以用“如影隨形”來形容一對八度音，除非兩音頻率完全相等的情形，八度音是在聽覺和諧方面關(guān)系最密切的音。

18 世紀(jì)初英國數(shù)學(xué)家泰勒（Taylor，1685-1731）獲得弦振動頻率f的計算公式：

l 表示弦的長度、T 表示弦的張緊程度、ρ 表示弦的密度。

這表明對于同一根弦（材質(zhì)、粗細(xì)相同）頻率與弦的長度成反比，一對八度音的頻率之比等于 2∶1。

現(xiàn)在我們可以描述音與音之間的高度差了：假定一根空弦發(fā)出的音是do，則二分之一長度的弦發(fā)出高八度的 do；8/9 長度的弦發(fā)出 re，64/81 長度的弦發(fā)出 mi，3/4 長度的弦發(fā)出 fa，2/3 長度的弦發(fā)出 so，16/27 長度的弦發(fā)出 la，128/243 長度的弦發(fā)出 si 等等類推。例如高八度的 so 應(yīng)由 2/3 長度的弦的一半就是 1/3 長度的弦發(fā)出。

為了方便將 c 音的頻率算作一個單位，高八度的 c 音的頻率就是兩個單位，而 re 音的頻率是 9/8 個單位，將音名與各自的頻率列成下表：

表一：

音名

C

D

E

F

G

A

B

C

頻率

1

9/8

81/64

4/3

3/2

27/16

243/128

2

二、知道了 do, re, mi, fa, so, la, si 的數(shù)字關(guān)系之后，新的問題是為什么要用具有這些頻率的音來構(gòu)成音階？實(shí)際上首先更應(yīng)回答的問題是為什么要用 7 個音來構(gòu)成音階？

這可是一個千古之謎，由于無法從逝去的歷史進(jìn)行考證，古今中外便有形形色色的推斷、臆測，例如西方文化的一種說法基于“7”這個數(shù)字的神秘色彩，認(rèn)為運(yùn)行于天穹的 7 大行星（這是在只知道有 7 個行星的年代）發(fā)出不同的聲音組成音階。我們將從數(shù)學(xué)上揭開謎底。

我們用不同的音組合成曲調(diào)，當(dāng)然要考慮這些音放在一起是不是很和諧，前面已談到八度音是在聽覺和諧效果上關(guān)系最密切的音，但是僅用八度音不能構(gòu)成動聽的曲調(diào)──至少它們太少了，例如在音樂頻率范圍內(nèi) c1 與 c1 的八度音只有如下的 8 個：C2（16.35赫茲）、C1（32.7赫茲）、C（65.4赫茲）、c（130.8赫茲）、c1（261.6赫茲）、c2（523.2赫茲）、c3（1046.4赫茲）、c4（2092.8赫茲），對于人聲就只有C、c、c1、c2這 4 個音了。

為了產(chǎn)生新的和諧音，回顧一下前面說的一對八度音和諧的理由是近似于共鳴。數(shù)學(xué)理論告訴我們：每個音都可分解為由一次諧波與一系列整數(shù)倍頻率諧波的疊加。仍然假定 c 的頻率是 1 ，那么它分解為頻率為 1，2，4，8，…的諧波的疊加，高八度的 c 音的頻率是 2，它分解為頻率為 2，4，8，16，…的諧波的疊加，這兩列諧波的頻率幾乎相同，這是一對八度音近似于共鳴的數(shù)學(xué)解釋。由此可推出一個原理：兩音的頻率比若是簡單的整數(shù)關(guān)系則兩音具有和諧的關(guān)系，因?yàn)槊總�音都可分解為由一次諧波與一系列整數(shù)倍諧波的疊加，兩音的頻率比愈是簡單的整數(shù)關(guān)系意味著對應(yīng)的兩個諧波列含有相同頻率的諧波愈多。

次于 2∶1 的簡單整數(shù)比是 3∶2。試一試，一根空弦發(fā)出的音（假定是表 1 的 C，且作為 do）與 2/3 長度的弦發(fā)出的音無論先后奏出或同時奏出其效果都很和諧�？梢酝葡氘�(dāng)古人發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象時一定非常興奮，事實(shí)上我們比古人更有理由興奮，因?yàn)槲覀兠靼琢似渲械臄?shù)學(xué)道理。接下來，奏出 3/2 長度弦發(fā)出的音也是和諧的。它的頻率是 C 頻率的 2/3，已經(jīng)低于 C 音的頻率，為了便于在八度內(nèi)考察，用它的高八度音即頻率是 C 的 4/3 的音代替。很顯然我們已經(jīng)得到了表 1 中的 G（so）與 F（fa）。

問題是我們并不能這樣一直做下去，否則得到的將是無數(shù)多音而不是 7 個音！

如果從 C 開始依次用頻率比 3∶2 制出新的音，在某一次新的音恰好是 C 的高若干個八度音，那么再往后就不會產(chǎn)生新的音了。很可惜，數(shù)學(xué)可以證明這是不可能的，因?yàn)闆]有自然數(shù)m、n會使下式成立：

　　　　　　　　　(3/2)m = 2n

此時，理性思維的自然發(fā)展是可不可以成立近似等式？經(jīng)過計算有 (3/2)5 = 7.594 ≈23 = 8，因此認(rèn)為與 1 之比是 23 即高三個八度關(guān)系算作是同一音，而 (3/2 )6 與 (3/2)1 之比也是 23 即高三個八度關(guān)系等等也算作是同一音。在“八度相同”的意義上說，總共只有 5 個音，他們的頻率是：

　　　　1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4　　　　　　 (1)

折合到八度之內(nèi)就是：

        1, 9/8, 81/64, 3/2, 27/16

對照表 1 知道這 5 個音是 C（do）、D（re）、E（mi）、G（so）、A（la），這是所謂五聲音階，它在世界各民族的音樂文化中用得不是很廣，不過我們熟悉的“賣報歌”就是用五聲音階作成。

接下來根據(jù) (3/2)7 = 17.09 ≈ 24 = 16，總共應(yīng)由 7 個音組成音階，我們在 (1) 的基礎(chǔ)上用 3∶2 的頻率比上行一次、下行一次得到由 7 個音組成的音列，其頻率是

　　　　(2/3), 1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4, (3/2)5

折合到八度之內(nèi)就是：

　　　　1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128

得到常見的五度律七聲音階大調(diào)式如表一。

考察一下音階中相鄰兩音的頻率之比，通過計算知道只有兩種情況：do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si 頻率之比是 9∶8，稱為全音關(guān)系；mi-fa、si-do 頻率之比是 256∶243，稱為半音關(guān)系。

以 2∶1與3∶2的頻率比關(guān)系產(chǎn)生和諧音的法則稱為五度律。在中國，五度律最早的文字記載見于典籍《管子》的《地員篇》，由于《管子》的成書時間跨度很大，學(xué)術(shù)界一般認(rèn)為五度律產(chǎn)生于公元前 7 世紀(jì)至公元前 3 世紀(jì)。西方學(xué)者認(rèn)為是公元前 6 世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派最早提出了五度律。

根據(jù)近似等式 (3/2)12 = 129.7 ≈ 27 = 128 并仿照以上方法又可制出五度律十二聲音階如下：

表二：

音名

C

#C

D

#D

E

F

#F

頻率

1

(37)/(211)

(32)/(23)

(39)/(214)

(34)/(26)

(22)/(3)

(36)/(29)

 

 

 

 

 

 

 

 

音名

G

#G

A

#A

B

C

 

頻率

3/2

(38)/(212)

(33)/(24)

(310)/(215)

(35)/(27)

2

 

五度律十二聲音階相鄰兩音的頻率之比有兩種：256∶243與 2187∶2048，分別稱為自然半音與變化半音。從表中可看到，音名不同的兩音例如 #C-D 的關(guān)系是自然半音，音名相同的兩音例如 C-#C 的關(guān)系是變化半音。

人類歷史進(jìn)程中，某種音樂文化的發(fā)生不可能限于一時或一地，但五度律幾乎同時在東西方出現(xiàn)，畢竟表明了人類藝術(shù)稟賦的貫通。

三、五度律以外的形形色色的樂律中應(yīng)用最廣的是十二平均律與純律。

十二平均律── 人們注意到五度律十二聲音階中的兩種半音相差不大，如果消除這種差別對于鍵盤樂器的轉(zhuǎn)調(diào)將是十分方便的，因?yàn)殒I盤樂器的每個鍵的音高是固定的，而不象撥弦或拉弦樂器的音高由手指位置決定。消除兩種半音差別的辦法是使相鄰各音頻率之比相等，這是一道中學(xué)生的數(shù)學(xué)題──在 1 與 2 之間插入 11 個數(shù)使它們組成等比數(shù)列，顯然其公比就是 ，并且有如下的不等式

1.05350 = 256 / 243 ＜= 1.05946 ＜ 2187 / 2048 = 1.06787

這樣獲得的是十二平均律，它的任何相鄰兩音頻率之比都是，沒有自然半音與變化半音之分。

用十二平均律構(gòu)成的七聲音階如下：

表三：

音名

C

D

E

F

G

A

B

C

頻率

1

( )2

()4

()5

()7

()9

()11

2

同五度律七聲音階一樣，C-D、D-E、F-G、G-A、A-B是全音關(guān)系，E-F、B-C是半音關(guān)系，但它的全音恰好等于兩個半音。

十二平均律既是對五度律的借鑒又是對五度律的反叛。

十二平均律的出現(xiàn)表明無理數(shù)進(jìn)入了音樂，這是一件令人驚異的事。無理數(shù)是數(shù)學(xué)中一大怪物，當(dāng)今一個非數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生在學(xué)完大學(xué)數(shù)學(xué)之后仍然不明白無理數(shù)是什么，數(shù)學(xué)家使用無理數(shù)已有2500多年也直到19世紀(jì)末才真正認(rèn)識無理數(shù)。音樂家似乎不在乎無理數(shù)的艱深，輕易地將高雅音樂貼上了無理數(shù)的標(biāo)簽。

十二平均律的出現(xiàn)還使得我們在前面推出的和諧性原理──兩音的頻率比愈是簡單的整數(shù)關(guān)系則兩音愈具有和諧的關(guān)系──不再成立。不過不必為此而沮喪，因?yàn)楸举|(zhì)上說藝術(shù)行為不是一定要服從科學(xué)道理的。正如符合黃金分割原理的繪畫是藝術(shù)，反其道而行之的繪畫也是藝術(shù)。

歷史資料記載中的十二平均律發(fā)明者在歐洲是荷蘭人斯特芬（Stevin約1548 - 約1620），他于1600年前后用兩音頻率比嚴(yán)格地確立了十二平均律；在中國是明代科學(xué)家、音樂家朱載?（1536 - 1612），他表述的十二平均律甚至將 及各次冪均計算到小數(shù)點(diǎn)后24位（約完成于1581年前）。十二平均律的確立是人類藝術(shù)稟賦的貫通性在音樂文化方面的又一驚人表現(xiàn)。

純律──五度律七聲音階的 1、3、5（do、mi、so）三音的頻率之比是 1∶81/64∶3/2，即 64∶81∶96，純律將這修改為 1∶ 5/4∶ 3/2，即64∶80∶96或4∶5∶6，使大三和弦 1-3-5 三音間的頻率之比更顯簡單。然后按1∶ 5/ 4∶3/2的頻率比從 5(so) 音上行復(fù)制兩音 7、，從1(do)音下行復(fù)制兩音、，即、、1、3、5、7、的頻率之比是

　　　　(2/3) ∶(5/4)(2/3)∶1∶(5/4)∶3/2∶(5/4)(3/2)∶(3/2)2

共得7個音折合到八度之內(nèi)構(gòu)成純律七聲音階：

表四：

音名

C

D

E

F

G

A

B

C

頻率

1

9/8

5/4

4/3

3/2

5/3

15/8

2

它與五度律七聲音階比較（表一），有4個音C、D、F、G使相同的，有3個音E、A、B不同。

在相鄰兩音的頻率比方面，純律七聲音階有 3 種關(guān)系：9∶8、10∶9、16∶15。從數(shù)字看，它比五度律七聲音階簡單，然而種類卻比五度律七聲音階多（五度律七聲音階只有2種相鄰兩音的頻率比）。在藝術(shù)上孰好孰壞，已不是數(shù)學(xué)所能判斷的了。

純律發(fā)軔于古希臘時期，13世紀(jì)末葉由英國人奧丁湯（Odington，1248 - 1316）正式確立。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/190569.html

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