一、音樂(lè)中的 1，2，3 并不是數(shù)字而是專(zhuān)門(mén)的記號(hào)，唱出來(lái)是 do, re, mi，它來(lái)源于中世紀(jì)意大利一首贊美詩(shī)中前七句每一句句首的第一個(gè)音節(jié)。而音樂(lè)的歷史像語(yǔ)言的歷史一樣悠久，其淵源已不可考證。但令人驚異的是我們可以運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解釋音樂(lè)的許多規(guī)則其中包括音樂(lè)基本元素──樂(lè)音的構(gòu)成原理，也就是說(shuō) 1，2，3……這些記號(hào)確實(shí)有著數(shù)字或數(shù)學(xué)的背景。

學(xué)習(xí)音樂(lè)總是從音階開(kāi)始，我們常見(jiàn)的音階由 7 個(gè)基本的音組成：

1，2，3，4，5，6，7

或用唱名表示即

do, re, mi, fa, so, la, si

用 7 個(gè)音以及比它們高一個(gè)或幾個(gè)八度的音、低一個(gè)或幾個(gè)八度的音做成各種組合就是“曲調(diào)”。

美國(guó)著名音樂(lè)理論家珀西·該丘斯（Percy Goetschius，1853-1943）說(shuō)“對(duì)于求知心切的音樂(lè)學(xué)習(xí)者與音樂(lè)愛(ài)好者，再?zèng)]有像‘音階’似的音樂(lè)要素，即刻而又持久地引起他們的好奇心與驚異的了”。

7 音音階按“高度”自低向高排列，要搞清音階的原理，首先須知道什么是音的“高度”？音與音之間的“高度”差是多少？

物體發(fā)生振動(dòng)時(shí)產(chǎn)生聲音，振動(dòng)的強(qiáng)弱（能量的大�。�體現(xiàn)為聲音的大小，不同物體的振動(dòng)體現(xiàn)為聲音音色的不同，而振動(dòng)的快慢就體現(xiàn)為聲音的高低。

振動(dòng)的快慢在物理學(xué)上用頻率表示，頻率定義為每秒鐘物體振動(dòng)的次數(shù)，用每秒振動(dòng) 1 次作為頻率的單位稱(chēng)為赫茲。頻率為 261.63 赫茲的音在音樂(lè)里用字母 c1 表示。相應(yīng)地音階表示為

c, d, e, f, g, a, b

在將 C 音唱成“do”時(shí)稱(chēng)為 C 調(diào)。

頻率過(guò)高或過(guò)低的聲音人耳不能感知或感覺(jué)不舒服，音樂(lè)中常使用的頻率范圍大約是 16~4000 赫茲，而人聲及器樂(lè)中最富于表現(xiàn)力的頻率范圍大約是 60~1000 赫茲。

在弦樂(lè)器上撥動(dòng)一根空弦，它發(fā)出某個(gè)頻率的聲音，如果要求你唱出這個(gè)音你怎能知道你的聲帶振動(dòng)頻率與空弦振動(dòng)頻率完全相等呢？這就需要“共鳴原理”：當(dāng)兩種振動(dòng)的頻率相等時(shí)合成的效果得到最大的加強(qiáng)而沒(méi)有絲毫的減弱。因此你應(yīng)當(dāng)通過(guò)體驗(yàn)與感悟去調(diào)整你的聲帶振動(dòng)頻率使聲帶振動(dòng)與空弦振動(dòng)發(fā)生共鳴，此時(shí)聲帶振動(dòng)頻率等于空弦振動(dòng)頻率。

人們很早就發(fā)現(xiàn)，一根空弦所發(fā)出的聲音與同一根空弦但長(zhǎng)度減半后發(fā)出的聲音有非常和諧的效果，或者說(shuō)接近于“共鳴”，后來(lái)這兩個(gè)音被稱(chēng)為具有八度音的關(guān)系。我們可以用“如影隨形”來(lái)形容一對(duì)八度音，除非兩音頻率完全相等的情形，八度音是在聽(tīng)覺(jué)和諧方面關(guān)系最密切的音。

18 世紀(jì)初英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（Taylor，1685-1731）獲得弦振動(dòng)頻率f的計(jì)算公式：

l 表示弦的長(zhǎng)度、T 表示弦的張緊程度、ρ 表示弦的密度。

這表明對(duì)于同一根弦（材質(zhì)、粗細(xì)相同）頻率與弦的長(zhǎng)度成反比，一對(duì)八度音的頻率之比等于 2∶1。

現(xiàn)在我們可以描述音與音之間的高度差了：假定一根空弦發(fā)出的音是do，則二分之一長(zhǎng)度的弦發(fā)出高八度的 do；8/9 長(zhǎng)度的弦發(fā)出 re，64/81 長(zhǎng)度的弦發(fā)出 mi，3/4 長(zhǎng)度的弦發(fā)出 fa，2/3 長(zhǎng)度的弦發(fā)出 so，16/27 長(zhǎng)度的弦發(fā)出 la，128/243 長(zhǎng)度的弦發(fā)出 si 等等類(lèi)推。例如高八度的 so 應(yīng)由 2/3 長(zhǎng)度的弦的一半就是 1/3 長(zhǎng)度的弦發(fā)出。

為了方便將 c 音的頻率算作一個(gè)單位，高八度的 c 音的頻率就是兩個(gè)單位，而 re 音的頻率是 9/8 個(gè)單位，將音名與各自的頻率列成下表：

表一：

音名

C

D

E

F

G

A

B

C

頻率

1

9/8

81/64

4/3

3/2

27/16

243/128

2

二、知道了 do, re, mi, fa, so, la, si 的數(shù)字關(guān)系之后，新的問(wèn)題是為什么要用具有這些頻率的音來(lái)構(gòu)成音階？實(shí)際上首先更應(yīng)回答的問(wèn)題是為什么要用 7 個(gè)音來(lái)構(gòu)成音階？

這可是一個(gè)千古之謎，由于無(wú)法從逝去的歷史進(jìn)行考證，古今中外便有形形色色的推斷、臆測(cè)，例如西方文化的一種說(shuō)法基于“7”這個(gè)數(shù)字的神秘色彩，認(rèn)為運(yùn)行于天穹的 7 大行星（這是在只知道有 7 個(gè)行星的年代）發(fā)出不同的聲音組成音階。我們將從數(shù)學(xué)上揭開(kāi)謎底。

我們用不同的音組合成曲調(diào)，當(dāng)然要考慮這些音放在一起是不是很和諧，前面已談到八度音是在聽(tīng)覺(jué)和諧效果上關(guān)系最密切的音，但是僅用八度音不能構(gòu)成動(dòng)聽(tīng)的曲調(diào)──至少它們太少了，例如在音樂(lè)頻率范圍內(nèi) c1 與 c1 的八度音只有如下的 8 個(gè)：C2（16.35赫茲）、C1（32.7赫茲）、C（65.4赫茲）、c（130.8赫茲）、c1（261.6赫茲）、c2（523.2赫茲）、c3（1046.4赫茲）、c4（2092.8赫茲），對(duì)于人聲就只有C、c、c1、c2這 4 個(gè)音了。

為了產(chǎn)生新的和諧音，回顧一下前面說(shuō)的一對(duì)八度音和諧的理由是近似于共鳴。數(shù)學(xué)理論告訴我們：每個(gè)音都可分解為由一次諧波與一系列整數(shù)倍頻率諧波的疊加。仍然假定 c 的頻率是 1 ，那么它分解為頻率為 1，2，4，8，…的諧波的疊加，高八度的 c 音的頻率是 2，它分解為頻率為 2，4，8，16，…的諧波的疊加，這兩列諧波的頻率幾乎相同，這是一對(duì)八度音近似于共鳴的數(shù)學(xué)解釋。由此可推出一個(gè)原理：兩音的頻率比若是簡(jiǎn)單的整數(shù)關(guān)系則兩音具有和諧的關(guān)系，因?yàn)槊總�(gè)音都可分解為由一次諧波與一系列整數(shù)倍諧波的疊加，兩音的頻率比愈是簡(jiǎn)單的整數(shù)關(guān)系意味著對(duì)應(yīng)的兩個(gè)諧波列含有相同頻率的諧波愈多。

次于 2∶1 的簡(jiǎn)單整數(shù)比是 3∶2。試一試，一根空弦發(fā)出的音（假定是表 1 的 C，且作為 do）與 2/3 長(zhǎng)度的弦發(fā)出的音無(wú)論先后奏出或同時(shí)奏出其效果都很和諧。可以推想當(dāng)古人發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象時(shí)一定非常興奮，事實(shí)上我們比古人更有理由興奮，因?yàn)槲覀兠靼琢似渲械臄?shù)學(xué)道理。接下來(lái)，奏出 3/2 長(zhǎng)度弦發(fā)出的音也是和諧的。它的頻率是 C 頻率的 2/3，已經(jīng)低于 C 音的頻率，為了便于在八度內(nèi)考察，用它的高八度音即頻率是 C 的 4/3 的音代替。很顯然我們已經(jīng)得到了表 1 中的 G（so）與 F（fa）。

問(wèn)題是我們并不能這樣一直做下去，否則得到的將是無(wú)數(shù)多音而不是 7 個(gè)音！

如果從 C 開(kāi)始依次用頻率比 3∶2 制出新的音，在某一次新的音恰好是 C 的高若干個(gè)八度音，那么再往后就不會(huì)產(chǎn)生新的音了。很可惜，數(shù)學(xué)可以證明這是不可能的，因?yàn)闆](méi)有自然數(shù)m、n會(huì)使下式成立：

　　　　　　　　　(3/2)m = 2n

此時(shí)，理性思維的自然發(fā)展是可不可以成立近似等式？經(jīng)過(guò)計(jì)算有 (3/2)5 = 7.594 ≈23 = 8，因此認(rèn)為與 1 之比是 23 即高三個(gè)八度關(guān)系算作是同一音，而 (3/2 )6 與 (3/2)1 之比也是 23 即高三個(gè)八度關(guān)系等等也算作是同一音。在“八度相同”的意義上說(shuō)，總共只有 5 個(gè)音，他們的頻率是：

　　　　1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4　　　　　　 (1)

折合到八度之內(nèi)就是：

        1, 9/8, 81/64, 3/2, 27/16

對(duì)照表 1 知道這 5 個(gè)音是 C（do）、D（re）、E（mi）、G（so）、A（la），這是所謂五聲音階，它在世界各民族的音樂(lè)文化中用得不是很廣，不過(guò)我們熟悉的“賣(mài)報(bào)歌”就是用五聲音階作成。

接下來(lái)根據(jù) (3/2)7 = 17.09 ≈ 24 = 16，總共應(yīng)由 7 個(gè)音組成音階，我們?cè)?(1) 的基礎(chǔ)上用 3∶2 的頻率比上行一次、下行一次得到由 7 個(gè)音組成的音列，其頻率是

　　　　(2/3), 1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4, (3/2)5

折合到八度之內(nèi)就是：

　　　　1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128

得到常見(jiàn)的五度律七聲音階大調(diào)式如表一。

考察一下音階中相鄰兩音的頻率之比，通過(guò)計(jì)算知道只有兩種情況：do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si 頻率之比是 9∶8，稱(chēng)為全音關(guān)系；mi-fa、si-do 頻率之比是 256∶243，稱(chēng)為半音關(guān)系。

以 2∶1與3∶2的頻率比關(guān)系產(chǎn)生和諧音的法則稱(chēng)為五度律。在中國(guó)，五度律最早的文字記載見(jiàn)于典籍《管子》的《地員篇》，由于《管子》的成書(shū)時(shí)間跨度很大，學(xué)術(shù)界一般認(rèn)為五度律產(chǎn)生于公元前 7 世紀(jì)至公元前 3 世紀(jì)。西方學(xué)者認(rèn)為是公元前 6 世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派最早提出了五度律。

根據(jù)近似等式 (3/2)12 = 129.7 ≈ 27 = 128 并仿照以上方法又可制出五度律十二聲音階如下：

表二：

音名

C

#C

D

#D

E

F

#F

頻率

1

(37)/(211)

(32)/(23)

(39)/(214)

(34)/(26)

(22)/(3)

(36)/(29)

 

 

 

 

 

 

 

 

音名

G

#G

A

#A

B

C

 

頻率

3/2

(38)/(212)

(33)/(24)

(310)/(215)

(35)/(27)

2

 

五度律十二聲音階相鄰兩音的頻率之比有兩種：256∶243與 2187∶2048，分別稱(chēng)為自然半音與變化半音。從表中可看到，音名不同的兩音例如 #C-D 的關(guān)系是自然半音，音名相同的兩音例如 C-#C 的關(guān)系是變化半音。

人類(lèi)歷史進(jìn)程中，某種音樂(lè)文化的發(fā)生不可能限于一時(shí)或一地，但五度律幾乎同時(shí)在東西方出現(xiàn)，畢竟表明了人類(lèi)藝術(shù)稟賦的貫通。

三、五度律以外的形形色色的樂(lè)律中應(yīng)用最廣的是十二平均律與純律。

十二平均律── 人們注意到五度律十二聲音階中的兩種半音相差不大，如果消除這種差別對(duì)于鍵盤(pán)樂(lè)器的轉(zhuǎn)調(diào)將是十分方便的，因?yàn)殒I盤(pán)樂(lè)器的每個(gè)鍵的音高是固定的，而不象撥弦或拉弦樂(lè)器的音高由手指位置決定。消除兩種半音差別的辦法是使相鄰各音頻率之比相等，這是一道中學(xué)生的數(shù)學(xué)題──在 1 與 2 之間插入 11 個(gè)數(shù)使它們組成等比數(shù)列，顯然其公比就是 ，并且有如下的不等式

1.05350 = 256 / 243 ＜= 1.05946 ＜ 2187 / 2048 = 1.06787

這樣獲得的是十二平均律，它的任何相鄰兩音頻率之比都是，沒(méi)有自然半音與變化半音之分。

用十二平均律構(gòu)成的七聲音階如下：

表三：

音名

C

D

E

F

G

A

B

C

頻率

1

( )2

()4

()5

()7

()9

()11

2

同五度律七聲音階一樣，C-D、D-E、F-G、G-A、A-B是全音關(guān)系，E-F、B-C是半音關(guān)系，但它的全音恰好等于兩個(gè)半音。

十二平均律既是對(duì)五度律的借鑒又是對(duì)五度律的反叛。

十二平均律的出現(xiàn)表明無(wú)理數(shù)進(jìn)入了音樂(lè)，這是一件令人驚異的事。無(wú)理數(shù)是數(shù)學(xué)中一大怪物，當(dāng)今一個(gè)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)生在學(xué)完大學(xué)數(shù)學(xué)之后仍然不明白無(wú)理數(shù)是什么，數(shù)學(xué)家使用無(wú)理數(shù)已有2500多年也直到19世紀(jì)末才真正認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)。音樂(lè)家似乎不在乎無(wú)理數(shù)的艱深，輕易地將高雅音樂(lè)貼上了無(wú)理數(shù)的標(biāo)簽。

十二平均律的出現(xiàn)還使得我們?cè)谇懊嫱瞥龅暮椭C性原理──兩音的頻率比愈是簡(jiǎn)單的整數(shù)關(guān)系則兩音愈具有和諧的關(guān)系──不再成立。不過(guò)不必為此而沮喪，因?yàn)楸举|(zhì)上說(shuō)藝術(shù)行為不是一定要服從科學(xué)道理的。正如符合黃金分割原理的繪畫(huà)是藝術(shù)，反其道而行之的繪畫(huà)也是藝術(shù)。

歷史資料記載中的十二平均律發(fā)明者在歐洲是荷蘭人斯特芬（Stevin約1548 - 約1620），他于1600年前后用兩音頻率比嚴(yán)格地確立了十二平均律；在中國(guó)是明代科學(xué)家、音樂(lè)家朱載?（1536 - 1612），他表述的十二平均律甚至將 及各次冪均計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后24位（約完成于1581年前）。十二平均律的確立是人類(lèi)藝術(shù)稟賦的貫通性在音樂(lè)文化方面的又一驚人表現(xiàn)。

純律──五度律七聲音階的 1、3、5（do、mi、so）三音的頻率之比是 1∶81/64∶3/2，即 64∶81∶96，純律將這修改為 1∶ 5/4∶ 3/2，即64∶80∶96或4∶5∶6，使大三和弦 1-3-5 三音間的頻率之比更顯簡(jiǎn)單。然后按1∶ 5/ 4∶3/2的頻率比從 5(so) 音上行復(fù)制兩音 7、，從1(do)音下行復(fù)制兩音、，即、、1、3、5、7、的頻率之比是

　　　　(2/3) ∶(5/4)(2/3)∶1∶(5/4)∶3/2∶(5/4)(3/2)∶(3/2)2

共得7個(gè)音折合到八度之內(nèi)構(gòu)成純律七聲音階：

表四：

音名

C

D

E

F

G

A

B

C

頻率

1

9/8

5/4

4/3

3/2

5/3

15/8

2

它與五度律七聲音階比較（表一），有4個(gè)音C、D、F、G使相同的，有3個(gè)音E、A、B不同。

在相鄰兩音的頻率比方面，純律七聲音階有 3 種關(guān)系：9∶8、10∶9、16∶15。從數(shù)字看，它比五度律七聲音階簡(jiǎn)單，然而種類(lèi)卻比五度律七聲音階多（五度律七聲音階只有2種相鄰兩音的頻率比）。在藝術(shù)上孰好孰壞，已不是數(shù)學(xué)所能判斷的了。

純律發(fā)軔于古希臘時(shí)期，13世紀(jì)末葉由英國(guó)人奧丁湯（Odington，1248 - 1316）正式確立。

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/190569.html

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