【命題趨向】
綜觀歷屆全國各套數(shù)學(xué),我們發(fā)現(xiàn)對極限的考查有以下一些類型與特點(diǎn):
1.數(shù)學(xué)歸納法
①客觀性試題主要考查對數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)的理解,掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟(特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用).
②解答題大多以考查數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)容為主,并涉及到函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式等綜合性的知識,在解題過程中通常用到等價(jià)轉(zhuǎn)化,分類討論等數(shù)學(xué)思想,是屬于中高檔難度的題目
③數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.類比與猜想是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想,抽象與概括,從特殊到一般是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的一種主要思想方法. 在由n=k時(shí)命題成立,證明n=k 1命題也成立時(shí),要注意設(shè)法化去增加的項(xiàng),通常要用到拆項(xiàng)、組合、添項(xiàng)、減項(xiàng)、分解、化簡等技巧,這一點(diǎn)要高度注意.
2. 數(shù)列的極限
①客觀性試題主要考查極限的四則運(yùn)算法則、無窮遞縮等比數(shù)列所有項(xiàng)和等內(nèi)容,對基本的計(jì)算技能要求比較高,直接運(yùn)用四則運(yùn)算法則求極限.
②解答題大多結(jié)合數(shù)列的計(jì)算求極限等,涉及到函數(shù)、方程、不等式知識的綜合性試題,在解題過程中通常用到等價(jià)轉(zhuǎn)化,分類討論等數(shù)學(xué)思想方法,是屬于中高檔難度的題目.
③數(shù)列與幾何:由同樣的方法得到非常有規(guī)律的同一類幾何圖形,通常相關(guān)幾何量構(gòu)成等比數(shù)列,這是一類新題型.
3.函數(shù)的極限
①此部分為新增內(nèi)容,本章內(nèi)容在高考中以填空題和解答題為主.應(yīng)著重在概念的理解,通過考查函數(shù)在自變量的某一變化過程中,函數(shù)值的變化趨勢,說出函數(shù)的極限.
②利用極限的運(yùn)算法則求函數(shù)的極限進(jìn)行簡單的運(yùn)算.
③利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限.
④函數(shù)的連續(xù)性是新教材新增加的內(nèi)容之一.它把的極限知識與知識緊密聯(lián)在一起.在高考中,必將這一塊內(nèi)容溶入到函數(shù)內(nèi)容中去,因而一定成為高考的又一個(gè)熱點(diǎn).
4.在一套高題中,極限一般分別有1個(gè)客觀題或1個(gè)解答題,分值在5分-12分之間.
5.在高考試題中,極限題多以低檔或中檔題目為主,一般不會出現(xiàn)較難題,更不會出現(xiàn)難題,因而極限題是高考中的得分點(diǎn).
6.注意掌握以下思想方法
① 極限思想:在變化中求不變,在運(yùn)動中求靜止的思想;
② 數(shù)形結(jié)合思想,如用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性、極值等.
此類題大多以解答題的形式出現(xiàn),這類題主要考查學(xué)生的綜合應(yīng)用,分析問題和學(xué)生解決問題的,對運(yùn)算要求較高.
【考點(diǎn)透視】
1.理解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.
2.了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念.
3.掌握極限的四則運(yùn)算法則;會求某些數(shù)列與函數(shù)的極限.
4.了解函數(shù)連續(xù)的意義,了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì).
【例題解析】
考點(diǎn)1 數(shù)列的極限
1.數(shù)列極限的定義:一般地,如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí),無窮數(shù)列{an}的項(xiàng)an無限地趨近于某個(gè)常數(shù)a(即an-a無限地接近于0),那么就說數(shù)列{an}以a為極限.
注意:a不一定是{an}中的項(xiàng).
2.幾個(gè)常用的極限:① C=C(C為常數(shù));② =0;③ qn=0(q<1).
3.數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則:設(shè)數(shù)列{an}、{bn},
當(dāng) an=a, bn=b時(shí), (an±bn)=a±b;
例1. ( 2006年湖南卷)數(shù)列{ }滿足: ,且對于任意的正整數(shù)m,n都有 ,則 ( )
A. B. C. D.2
[考查目的]本題考查無窮遞縮等比數(shù)列求和公式和公式 的應(yīng)用.
[解答過程]由 和 得
故選A.
例2.(2006年安徽卷)設(shè)常數(shù) , 展開式中 的系數(shù)為 ,則 _____.
[考查目的]本題考查利用二項(xiàng)式定理求出關(guān)鍵數(shù), 再求極限的能力.
[解答過程] ,由 ,所以 ,所以為1.
例3. (2007年福建卷理)把 展開成關(guān)于 的多項(xiàng)式,其各項(xiàng)系數(shù)和為 ,則 等于( ) ( )
A. B. C. D.2
[考查目的]本題考查無窮遞縮等比數(shù)列求和公式和公式 的應(yīng)用.
[解答過程]
故選D
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