據(jù)傳說，大約公元前2000年前的時候，位于陜西的洛河常常泛濫成災(zāi)，威脅著兩岸人們的生活與生產(chǎn)。于是，大禹日夜奔忙，三過家門而不入，帶領(lǐng)人們開溝挖渠，疏通河道，馴服了河水，感動了上天。事后，一只神龜從河中躍出，馱著一張圖獻給大禹。圖上有九個數(shù)字。大禹因此得到上天賜給的九種治理天下的方法。這張圖，就是聞名于世的洛書，見圖1。洛書中每個小圓圈都代表一個l。所以把它寫成現(xiàn)在的形式就是圖2。
圖 1
4 9 2 3 5 7 8 1 6圖 2
圖2是由三行三列九個數(shù)字組成的正方形排列，它的每一行、每一列、每條對角線上的三個數(shù)字的和都是同一個常數(shù)15。這種美妙的正方形排列，在我國歷史上，曾叫做“九宮圖”，亦叫做縱橫圖。后來，人們稱它為“幻方”。因為圖2是由三行三列組成的，所以它被稱為三階幻方。現(xiàn)已確認，洛書是世界上最古老的幻方。
三階幻方是怎樣構(gòu)造出來的呢？我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝給出了一種簡便的方法：如圖3，將1至9九個數(shù)字斜著排列，然后把上下兩個數(shù)字1和9對調(diào)，左右兩個數(shù)字7和3對換，得到圖4。再將圖4中的上下左右四個數(shù)字9，1，3，7分別寫進與它相鄰的空格中，就得到前述的圖2。
圖 3
圖 4
不僅如此，楊輝對幻方還進行了較系統(tǒng)的研究，他是世界上第一位把幻方當(dāng)作數(shù)學(xué)問題來研究的數(shù)學(xué)家。他構(gòu)造出多種幻方，其中之一就是圖5。它是由十六個數(shù)字組成的一種正方排列，其中每行每列、每條對角線上的數(shù)字和都是34。
4 9 5 16 14 7 11 2 15 6 10 3 1 12 8 13 13 9 5 1 14 10 6 2 15 11 7 3 16 12 8 4
圖 5 圖 6
圖5是怎樣構(gòu)造出來的呢？數(shù)學(xué)家楊輝為此給出了一種十分簡單的方法，它與三階幻方的構(gòu)造有所不同。如圖6，先將1至16的十六個數(shù)字按順序排列在四行四列的方格中，然后把兩條對角上、關(guān)于正方形中心對稱的四對數(shù)，6和11，1和16，7和10，4和13分別對換，就得到圖5。
在四階幻方中，一個頗為著名的幻方是印度太蘇神廟石碑上的幻方，如圖7，它刻于十一世紀(jì)。這個幻方中，不但每行每列每條對角線上的數(shù)字和為34，而且有20組某兩行兩列交叉點上的四個數(shù)字，它們的和也都為34，例如9+2+15+8=34。更為奇妙的是把這個幻方邊上的行或列移到另一邊上去，所得到的正方形排列仍是一個幻方。
9 6 15 4 7 12 1 14 2 13 8 11 16 3 10 5 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1
圖 7
圖 8
大約十五世紀(jì)，我國的縱橫圖傳到歐洲，引起了人們的普遍興趣，成千上萬的人沉醉于幻方之中。德國畫家丟勒（1427―1528）就是其中的一位。他找到了一個四階幻方，如圖8，并把它反映在他的著名版畫《憂郁癥》中。它也許是歐洲最早的幻方。有趣的是，丟勒在這一幻方中把版畫創(chuàng)作的年代1514也放了進去。他可能正是從這兩個數(shù)出發(fā)，通過不斷的試驗而找出了其余的數(shù)字。
19 20 2 1 23 18 12 17 10 8 21 11 13 15 5 4 16 9 14 22 3 6 24 25 7 6 7 -11 -12 10 5 -1 4 -3 -5 8 -2 0 2 -8 -9 3 -4 1 9 -10 -7 11 12 -6圖9
圖10
圖9是一個五階幻方，其中隱藏著一條絕妙的性質(zhì)：幻方中的每個數(shù)字減去中心位置數(shù)字12后，得到一個這樣的幻方（如圖10），它的中心對稱或軸對稱上的兩個數(shù)字互為相反數(shù)，并且中間位置上的九個數(shù)字也構(gòu)成一個幻方。更值得一提的是，圖10中隱含了如何由三階幻方出發(fā)構(gòu)造五階幻方，又進而由五階幻方構(gòu)造出七階幻方，等等行之有效的方法，限于篇幅，這里就不作介紹了。
除了上面提及的一類方形幻方外，其它類型的幻方也各具風(fēng)彩，深受人們的喜愛。
圖 11
圖 12
我國數(shù)學(xué)家張潮（165～？年）在他的“算法補圖”中，介紹了多種非常別致的幻方，優(yōu)美的“龜文聚六圖”就是其中之一，如圖11。圖11中，有二十四個數(shù)，每塊龜文六邊形上的數(shù)字和為75。在幻方中，最為稀有的幻方莫過于六角幻方，如圖12。它的十五條直線上的數(shù)字和都為19的2倍38。它是由一位名叫阿當(dāng)斯的人，經(jīng)過四十多年的不懈努力才搞出來的。它的完美形式令人贊嘆不已，他的鍥而不舍的精神更感人至深。
過去，幻方僅作為一種游戲，近代已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，幻方在計算機程序設(shè)計、圖論、人工智能、對策論、組合分析等方面有廣泛的應(yīng)用。
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/191085.html
相關(guān)閱讀：高三數(shù)學(xué)教案 極限與探索性問題