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1.在中學(xué)我們只研直圓柱、直圓錐和直圓臺(tái)。所以對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的旋轉(zhuǎn)定義、實(shí)際上是直圓柱、直圓錐、直圓臺(tái)的定義。

這樣定義直觀形象，便于理解，而且對(duì)它們的性質(zhì)也易推導(dǎo)。

對(duì)于球的定義中，要注意區(qū)分球和球面的概念，球是實(shí)心的。

等邊圓柱和等邊圓錐是特殊圓柱和圓錐，它是由其軸截面來(lái)定義的，在實(shí)踐中運(yùn)用較廣，要注意與一般圓柱、圓錐的區(qū)分。

2.圓柱、圓錐、圓和球的性質(zhì)

(1)圓柱的性質(zhì)，要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是連心線垂直圓柱的底面;二是三個(gè)截面的性質(zhì)——平行于底面的截面是與底面全等的圓;軸截面是一個(gè)以上、下底面圓的直徑和母線所組成的矩形;平行于軸線的截面是一個(gè)以上、下底的圓的弦和母線組成的矩形。

(2)圓錐的性質(zhì)，要強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)

①平行于底面的截面圓的性質(zhì)：

截面圓面積和底面圓面積的比等于從頂點(diǎn)到截面和從頂點(diǎn)到底面距離的平方比。

②過圓錐的頂點(diǎn)，且與其底面相交的截面是一個(gè)由兩條母線和底面圓的弦組成的等腰三角形，其面積為：

易知，截面三角形的頂角不大于軸截面的頂角(如圖10-20)，事實(shí)上，由BC≥AB，VC=VB=VA可得∠AVB≤BVC.

由于截面三角形的頂角不大于軸截面的頂角。

所以，當(dāng)軸截面的頂角θ≤90°，有0°<α≤θ≤90°，即有

當(dāng)軸截面的頂角θ>90°時(shí)，軸截面的面積卻不是最大的，這是因?yàn)�，�?0°≤α<θ<180°時(shí)，1≥sinα>sinθ>0.

③圓錐的母線l，高h(yuǎn)和底面圓的半徑組成一個(gè)直徑三角形，圓錐的有關(guān)計(jì)算問題，一般都要?dú)w結(jié)為解這個(gè)直角三角形，特別是關(guān)系式

l2=h2+R2

(3)圓臺(tái)的性質(zhì)，都是從“圓臺(tái)為截頭圓錐”這個(gè)事實(shí)推得的，但仍要強(qiáng)調(diào)下面幾點(diǎn)：

①圓臺(tái)的母線共點(diǎn)，所以任兩條母線確定的截面為一等腰梯形，但是，與上、下底面都相交的截面不一定是梯形，更不一定是等腰梯形。

②平行于底面的截面若將圓臺(tái)的高分成距上、下兩底為兩段的截面面積為S，則

其中S1和S2分別為上、下底面面積。

的截面性質(zhì)的推廣。

③圓臺(tái)的母線l，高h(yuǎn)和上、下兩底圓的半徑r、R，組成一個(gè)直角梯形，且有

l2=h2+(R-r)2

圓臺(tái)的有關(guān)計(jì)算問題，常歸結(jié)為解這個(gè)直角梯形。

(4)球的性質(zhì)，著重掌握其截面的性質(zhì)。

①用任意平面截球所得的截面是一個(gè)圓面，球心和截面圓圓心的連線與這個(gè)截面垂直。

②如果用R和r分別表示球的半徑和截面圓的半徑，d表示球心到截面的距離，則

R2=r2+d2

即，球的半徑，截面圓的半徑，和球心到截面的距離組成一個(gè)直角三角形，有關(guān)球的計(jì)算問題，常歸結(jié)為解這個(gè)直角三角形。

3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的表面積

(1)圓柱、圓錐、圓臺(tái)和多面體一樣都是可以平面展開的。

①圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，是求其側(cè)面積的基本依據(jù)。

圓柱的側(cè)面展開圖，是由底面圖的周長(zhǎng)和母線長(zhǎng)組成的一個(gè)矩形。

②圓錐和側(cè)面展開圖是一個(gè)由兩條母線長(zhǎng)和底面圓的周長(zhǎng)組成的扇形，其扇形的圓心角為

③圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)由兩條母線長(zhǎng)和上、下底面周長(zhǎng)組成的扇環(huán)，其扇環(huán)的圓心角為

這個(gè)公式有利于空間幾何體和其側(cè)面展開圖的互化

顯然，當(dāng)r=0時(shí)，這個(gè)公式就是圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角公式，所以，圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角公式是圓臺(tái)相關(guān)角的特例。

(2)圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面公式為

S側(cè)=π(r+R)l

當(dāng)r=R時(shí)，S側(cè)=2πRl，即圓柱的側(cè)面積公式。

當(dāng)r=0時(shí)，S側(cè)=rRl，即圓錐的面積公式。

要重視，側(cè)面積間的這種關(guān)系。

(3)球面是不能平面展開的圖形，所以，求它的面積的方法與柱、錐、臺(tái)的方法完全不同。

推導(dǎo)出來(lái)，要用“微積分”等高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，課本上不能算是一種證明。

求不規(guī)則圓形的度量屬性的常用方法是“細(xì)分——求和——取極限”，這種方法，在學(xué)完“微積分”的相關(guān)內(nèi)容后，不證自明，這里從略。

4.畫圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的直觀圖的方法——正等測(cè)

(1)正等測(cè)畫直觀圖的要求：

①畫正等測(cè)的X、Y、Z三個(gè)軸時(shí)，z軸畫成鉛直方向，X 軸和Y軸各與Z軸成120°。

②在投影圖上取線段長(zhǎng)度的方法是：在三軸上或平行于三軸的線段都取實(shí)長(zhǎng)。

這里與斜二測(cè)畫直觀圖的方法不同，要注意它們的區(qū)別。

(2)正等測(cè)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的直觀圖的區(qū)別主要是水平放置的平面圖形。

用正等測(cè)畫水平放置的平面圓形時(shí)，將X軸畫成水平位置，Y軸畫成與X軸成120°，在投影圖上，X軸和Y軸上，或與X軸、Y軸平行的線段都取實(shí)長(zhǎng)，在Z軸上或與Z軸平行的線段的畫法與斜二測(cè)相同，也都取實(shí)長(zhǎng)。

5.關(guān)于幾何體表面內(nèi)兩點(diǎn)間的最短距離問題

柱、錐、臺(tái)的表面都可以平面展開，這些幾何體表面內(nèi)兩點(diǎn)間最短距離，就是其平面內(nèi)展開圖內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)。

由于球面不能平面展開，所以求球面內(nèi)兩點(diǎn)間的球面距離是一個(gè)全新的方法，這個(gè)最短距離是過這兩點(diǎn)大圓的劣弧長(zhǎng)。

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本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/195815.html

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