三、解答題
12.某商場計(jì)劃出售兩種商品，商場根據(jù)實(shí)際情況和市場需求，得到如下數(shù)據(jù)：(商品單位：件)
資金(百元)
商品
商品
日資金供應(yīng)量
單位進(jìn)價(jià)
30
20
3000
單位工資支出
5
10
1100
單位利潤
6
8
問如何確定兩種貨物的月供應(yīng)量，可以使得總利潤達(dá)到最大？最大利潤為多少？
考查目的：考查二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、線性規(guī)劃問題等基礎(chǔ)知識和方法，考查數(shù)形結(jié)合能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.
答案：40，90；960.
解析：設(shè)供應(yīng)商品件，商品件，總利潤為百元，則，根據(jù)題意得約束條件為，即.作出可行域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)表示一組斜率為的平行直線，其在軸上的截距為.由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(即直線與的交點(diǎn))時(shí)直線在軸上的截距最大，此時(shí).
13.(2007江西理)已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且.
⑴求實(shí)數(shù)和的值；
⑵解不等式.
考查目的：考查分段函數(shù)、連續(xù)函數(shù)的概念等基礎(chǔ)知識，考查不等式的解法以及綜合運(yùn)用知識解決問題的能力.
答案：⑴，；⑵.
解析：⑴∵，∴.由，即，得，∴. 又∵在處連續(xù)，∴，解得.
⑵由⑴得，. 由得，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得，∴不等式的解集為.
14.(2011安徽理)⑴設(shè)，證明：；
⑵設(shè)，證明：.
考查目的：考查不等式的基本性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)換底公式等基本知識，考查不等式證明的基本方法，以及代數(shù)式的恒等變形能力和推理論證能力.
解析：證明：⑴∵，∴要證原不等式成立，只需證明.由于
，而，∴，從而所要證明的不等式成立.
⑵設(shè)，，由對數(shù)換底公式得，，，，于是，所要證明的不等式即為.∵，∴，，∴由⑴可知所要證明的不等式成立.
15.(2009江蘇)按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為元，則他的滿意度為；如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為元，則他的滿意度為.如果一個(gè)人對兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為和，則他對這兩種交易的綜合滿意度為.
現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品的單價(jià)分別為元和元，甲買進(jìn)與賣出的綜合滿意度為，乙賣出與買進(jìn)的綜合滿意度為.
⑴求和關(guān)于的表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，求證：；
⑵設(shè)，當(dāng)分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？
⑶記⑵中最大的綜合滿意度為，試問能否適當(dāng)選取的值，使得和同時(shí)成立，但等號不同時(shí)成立？試說明理由.
考查目的：考查函數(shù)的概念、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力、數(shù)學(xué)閱讀理解能力以及運(yùn)算求解能力.
答案：⑴，；⑵當(dāng)，時(shí)，甲乙兩人同時(shí)取到最大的綜合滿意度為；⑶不能.
解析：⑴根據(jù)題意，甲買進(jìn)產(chǎn)品的滿意度，甲賣出產(chǎn)品的滿意度，∴甲買進(jìn)與賣出的綜合滿意度為；同理，乙賣出與買進(jìn)的綜合滿意度為.
當(dāng)時(shí)，，
，∴.
⑵設(shè)，.由⑴知，當(dāng)，即時(shí)， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)，∴當(dāng)，時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大，且最大的綜合滿意度為.
⑶由⑵知，，∵，∴當(dāng)，時(shí)，有，因此不能取到的值，使得和同時(shí)成立，但等號不同時(shí)成立.
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