三、解答題

12.某商場計劃出售兩種商品，商場根據實際情況和市場需求，得到如下數據：(商品單位：件)

資金(百元)

商品

商品

日資金供應量

單位進價

30

20

3000

單位工資支出

5

10

1100

單位利潤

6

8

 

問如何確定兩種貨物的月供應量，可以使得總利潤達到最大？最大利潤為多少？

考查目的：考查二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、線性規(guī)劃問題等基礎知識和方法，考查數形結合能力和應用數學知識解決實際問題的能力.

答案：40，90；960.

解析：設供應商品件，商品件，總利潤為百元，則，根據題意得約束條件為，即.作出可行域如圖所示.目標函數表示一組斜率為的平行直線，其在軸上的截距為.由圖可知，當直線經過點(即直線與的交點)時直線在軸上的截距最大，此時.

 

 

13.(2007江西理)已知函數在區(qū)間內連續(xù)，且.

⑴求實數和的值；

⑵解不等式.

考查目的：考查分段函數、連續(xù)函數的概念等基礎知識，考查不等式的解法以及綜合運用知識解決問題的能力.

答案：⑴，；⑵.

解析：⑴∵，∴.由，即，得，∴. 又∵在處連續(xù)，∴，解得.

⑵由⑴得，. 由得，當時，解得；當時，解得，∴不等式的解集為.

 

 

14.(2011安徽理)⑴設，證明：；

⑵設，證明：.

考查目的：考查不等式的基本性質、對數函數的性質和對數換底公式等基本知識，考查不等式證明的基本方法，以及代數式的恒等變形能力和推理論證能力.

解析：證明：⑴∵，∴要證原不等式成立，只需證明.由于

，而，∴，從而所要證明的不等式成立.

    ⑵設，，由對數換底公式得，，，，于是，所要證明的不等式即為.∵，∴，，∴由⑴可知所要證明的不等式成立.

 

 

15.(2009江蘇)按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為元，如果他賣出該產品的單價為元，則他的滿意度為；如果他買進該產品的單價為元，則他的滿意度為.如果一個人對兩種交易(賣出或買進)的滿意度分別為和，則他對這兩種交易的綜合滿意度為.

現假設甲生產兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品的單價分別為元和元，甲買進與賣出的綜合滿意度為，乙賣出與買進的綜合滿意度為.

⑴求和關于的表達式；當時，求證：；

⑵設，當分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？

⑶記⑵中最大的綜合滿意度為，試問能否適當選取的值，使得和同時成立，但等號不同時成立？試說明理由.

考查目的：考查函數的概念、基本不等式等基礎知識，考查數學建模能力、抽象概括能力、數學閱讀理解能力以及運算求解能力.

答案：⑴，；⑵當，時，甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為；⑶不能.

解析：⑴根據題意，甲買進產品的滿意度，甲賣出產品的滿意度，∴甲買進與賣出的綜合滿意度為；同理，乙賣出與買進的綜合滿意度為.

當時，，

，∴.

⑵設，.由⑴知，當，即時， ，當且僅當時取等號，此時，∴當，時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大，且最大的綜合滿意度為.

⑶由⑵知，，∵，∴當，時，有，因此不能取到的值，使得和同時成立，但等號不同時成立.

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