安東尼、伯納德和查爾斯三人參加了幾項田徑比賽。
�。�1）每項比賽只取前三名，第一名、第二名、第三名分別得3分、2分、l分。
（2）并列同一名次者，都得到與該名次相應的分數(shù)。
�。�3a）把每人在撐竿跳、跳遠和跳高比賽中的得分加起來得到一個個人總分，結(jié)果這三人的個人總分都一樣。
�。�3b）把這三人在某項比賽中的得分加起來得到一個團體分，結(jié)果三個項目的團體分都一樣，而且這個團體分與上述的個人總分相等。
（4）在撐竿跳比賽中沒有出現(xiàn)得分相同的情況。
�。�5）安東尼和查爾斯在跳遠比賽中得分相同。
�。�6）安東尼和伯納德在跳高比賽中得分相同。
�。�7）在這三項比賽中，伯納德有一項沒有得分，查爾斯也有一項沒有得分。
在撐竿跳比賽中，安東尼得了第幾名？
�。ㄌ崾荆赫页鲆粋�每一行的和與每一列的和都相等的3×3方陣，即可判定出安東尼在撐竿跳比賽中的名次。為此，用代數(shù)方法表示安東尼和查爾斯在跳遠比賽中的得分，以及安東尼和伯納德在跳高比賽中的得分。）
答 案
這三人在三項比賽中的得分可以記入如下的3×3方陣：
撐竿跳比賽
跳遠比賽
跳高比賽
安東尼
伯納德
查爾斯
根據(jù)（3a）和（3b），這個方陣中每一行的和與每一列的和必須都等于同一個數(shù)。根據(jù)（2）和（5），設安東尼和查爾斯在跳遠比賽中的得分為b。根據(jù)（2）和（6），設安東尼和伯納德在跳高比賽的得分為h。根據(jù)（l）和（2），b可以是0、l、2或3，h也可以是0、l、2或3。因此，把b和h組合起來共有十六對可能的數(shù)值。如果b＝h（即兩者同時是0、1、2或3），則為了滿足（3a）和（3b），方陣變成：
a
b
b
b
a
b
b
b
a
這種情況與{（4）在撐竿跳比賽中沒有出現(xiàn)得分相同的情況。}矛盾，因而是不可能的。
如果b＝0而h不等于0（b＝0，h＝1；b＝0，h＝2；b＝0，h＝3），則為了滿足（3b），第二列的和必須等于第三列的和。
－
0
h
－
2h+a
h
－
0
a
為了滿足{（3b）把這三人在某項比賽中的得分加起來得到一個團體分，結(jié)果三個項目的團體分都一樣，而且這個團體分與上述的個人總分相等}，第二行的和必須等于每一列的和。但是第二行的和已經(jīng)大于所示的任何一列的和，因此這種情況是不可能的。如果h＝0而b不等0（b＝l，h＝0；b＝2，h＝0；b＝3，h＝0），則為了滿足（3b），第三列的和必須等于第二列的和。
－
b
0
－
a
0
－
b
2b+a
為了滿足（3b），第三行的和必須等于每一列的和。但是第三行的和已經(jīng)大于所示的任何一列的和，因此這種情況是不可能的。
如果b＝l，h＝3，則為了滿足（3b），第二列的和必須等于第三列的和。
－
1
3
－
a+4
3
－
1
a
這種情況與{（1）每項比賽只取前三名，第一名、第二名、第三名分別得3分、2分、l分。}矛盾，因為a不能小于0，從而a＋4至少等于4。（再者，第二行的和已經(jīng)大于所示的任何一列的和，這與（3b）矛盾。）因此這種情況是不可能的。
如果b＝3，h＝l，則為了滿足（3b），第三列的和必須等于第二列的和。
－
3
1
－
a+2
1
a
a
這種情況與前一種類似，所以是不可能的。如果b＝2，h＝3，則為了滿足（3b），第二列的和必須等于第三列的和。
－
2
3
－
a+2
3
－
2
a
如果b＝3，h＝2，則為了滿足（3b），第二列的和必須等于第三列的和。
－
3
2
－
a
2
－
3
a+2
這種情況與前一種類似，所以是不可能的。
如果b＝1，h＝2，或者b＝2，h＝1（它們是剩下的僅有可能），則為了滿足（3a）和（3b），方陣變成下列二者之一：
a+1
1
2
0
a+2
2
3
1
a
a+1
2
1
3
a
1
0
2
a+2
本題的要求是求出a＋l的值（這是上述兩個方陣中唯一相同的記錄）：a不能大于0，否則與{（7）在這三項比賽中，伯納德有一項沒有得分，查爾斯也有一項沒有得分。}矛盾；因此a必須等于0。于是a＋l＝l。
由于1分是第三名的得分，所以安東尼在撐竿跳比賽中得了第三名。
總結(jié)起來，得分的情況是下列二者之一：
撐竿跳比賽
跳遠比賽
跳高比賽
安東尼
1
1
2
伯納德
0
2
2
查爾斯
3
1
0
撐竿跳比賽
跳遠比賽
跳高比賽
安東尼
1
2
1
伯納德
3
0
1
查爾斯
0
2
2
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