一奇偶函數(shù)的概念

奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y=f (x)的定義域?yàn)镈，且D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

(1) 如果對(duì)于函數(shù)f (x)的定義域D內(nèi)任意一個(gè)x，都有f (-x)=-f (x)，那么函數(shù)f (x)就叫做奇函數(shù).

(2) 如果對(duì)于函數(shù)f (x)的定義域D內(nèi)任意一個(gè)x，都有f (-x)=-f (x)，那么函數(shù)f (x)就叫做偶函數(shù).

二、奇函數(shù)和偶函數(shù)的判定

1：第一條是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這個(gè)是必要的條件，如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即使有f(x)=f(-x)，也不能稱為偶函數(shù)，對(duì)于f(x)=-f(-x)，也是如此，如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也無法稱為奇函數(shù)。

2：看f(x)與f(-x)的關(guān)系了。在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下

如果f(x)=f(-x)，則說明是偶函數(shù)。舉個(gè)例子：f(x)=cosx，則f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x)，這樣子就可以說明f(x)=cosx是偶函數(shù)了。同樣，你可以試試f(x)=x·x，f(-x)=(-x)·(-x)=x·x=f(x)，所以，可以說明f(x)=x·x是偶函數(shù)了。還有f(x)=f(-x)是最基本的形式，可以有變形，可以相減f(x)-f(-x)=0，也可以相除f(x)/f(-x)=1;

如果f(x)=-f(-x)，則說明f(x)為奇函數(shù)。舉個(gè)例子：f(x)=x;則f(-x)=-x=-f(x)，所以f(x)=x是奇函數(shù)了。同樣，對(duì)于基本的f(x)=-f(-x)也可以變形，相加為零，相除為負(fù)一。

3：奇函數(shù)和偶函數(shù)在圖形的差別

奇函數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;偶函數(shù)是關(guān)于Y軸對(duì)稱。

三、一些相關(guān)概念

函數(shù)的奇偶性：定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x

注：1、定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇、偶函數(shù)的必要條件

2、偶函數(shù)沒有反函數(shù)

3、定義在R或[-a,a]、[-a,a]上的奇函數(shù)必過原點(diǎn)，即f(0)=0

4、偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

5、奇+奇=奇 偶+偶=偶 偶+奇=不定

奇*奇=偶 偶*偶=偶 偶*奇=奇

四、相關(guān)例題講解

例1已知函數(shù)f(x),g(x)都定義在實(shí)數(shù)集R上，且滿足f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，f(x)+g(x)=x^2+x-2，試求函數(shù)f(x),g(x)的解析式。

2.函數(shù)f(x)=x(-1?x?1)的奇偶性是 ( )

A.奇函數(shù)非偶函數(shù) B.偶函數(shù)非奇函數(shù)

C.奇函數(shù)且偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)

3. 已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函數(shù)，那么g(x)=ax3+bx2+cx是( )

A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)

C.既奇又偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)

4. (2005重慶)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在 上是減函數(shù)，

且f(2)=0，則使得f(x)<0的x的取值范圍是 ( )

A.(-￥,2) B. (2,+￥) C. (-￥,-2)è(2,+￥) D. (-2,2)

5. 已知函數(shù)f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù).

當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，f(x)=x-x4，則 當(dāng)x∈(0.+∞)時(shí)，f(x)=

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