知識與技能 通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實際問題中的應用．
過程與方法 能借助計算器用二分法求方程的近似解，并了解這一數(shù)學思想，為學習算法做準備．
情感、態(tài)度、價值觀 體會數(shù)學逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一．
教學重點
通過用二分法求方程的近似解，體會函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識．
教學難點
恰當?shù)厥褂眯畔⒓夹g工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解．
教材分析
本節(jié)課注重從學生已有的基礎(一元二次方程及其根的求法，一元二次函數(shù)及其圖象與性質(zhì))出發(fā)，從具體(一元二次方程的根與對應的一元二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標之間的關系)到一般，揭示方程的根與對應函數(shù)零點之間的關系.在此基礎上，再介紹求函數(shù)零點的近似值的“二分法”，并在總結(jié)“用二分法求函數(shù)零點的步驟”中滲透算法的思想，為學生后續(xù)學習算法內(nèi)容埋下伏筆.教科書不僅希望學生在數(shù)學知識與運用信息技術的能力上有所收獲，而且希望學生感受到數(shù)學文化方面的熏陶，所以在“閱讀與思考”中，介紹古今中外數(shù)學家在方程求解中所取得的成就，特別是我國古代數(shù)學家對數(shù)學發(fā)展與人類文明的貢獻.
學情分析
通過本節(jié)課的學習，使學生在知識上學會用“二分法”求方程的近似解，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系；在求解的過程中，由于數(shù)值計算較為復雜，因此對獲得給定精確度的近似解增加了困難，所以希望學生具備恰當?shù)厥褂眯畔⒓夹g工具解決這一問題的能力.這就要求學生除了能熟練地運用計算器演算以外，還要能借助幾何畫板4.06中文版中的“繪制新函數(shù)”功能畫出基本初等函數(shù)的圖象，掌握Microsoft Excel軟件一些基本的操作.
教學媒體分析
多媒體微機室、Authorware7.02中文版、幾何畫板4.06中文版、Microsoft Excel、QBASIC語言應用程序
教學方法
動手操作、分組討論、合作交流、課后實踐
教學環(huán)節(jié)設計流程圖
教學設計理念
1.構(gòu)建共同基礎，提供發(fā)展平臺；
2.提供多樣解法，適應個性選擇；
3.倡導積極主動、勇于探索的學習方式；
4.注重提高學生的數(shù)學思維能力；
5.發(fā)展學生的數(shù)學應用意識；
6.與時俱進地認識“雙基”；
7.強調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化；
8.體現(xiàn)數(shù)學的文化價值；
9.注重信息技術與數(shù)學課程的整合；
10.建立合理、科學的評價體系.
教學過程與操作設計：
環(huán)節(jié)
教學內(nèi)容設計
師生雙邊互動
信息技術應用
情
境
導
航
中外歷史上的方程求解
在人類用智慧架設的無數(shù)座從未知通向已知的金橋中，方程的求解是其中璀璨的一座．雖然今天我們可以從教科書中了解各式各樣方程的解法，但這一切卻經(jīng)歷了相當漫長的歲月．
由于實際問題的需要，我們經(jīng)常需要尋求函數(shù)的零點（即的根），對于為一次或二次函數(shù)，我們有熟知的公式解法（二次時，稱為求根公式）．我國古代數(shù)學家已比較系統(tǒng)地解決了部分方程求解的問題，在《九章算術》，北宋數(shù)學家賈憲的《黃帝九章算法細草》，南宋數(shù)學家秦九韶的《數(shù)書九章》中均有記載.在十六世紀，已找到了三次和四次函數(shù)的求根公式，人們曾經(jīng)希望得到一般的五次以上代數(shù)方程的根式解，但經(jīng)過長期的努力仍無結(jié)果．1824年，挪威年輕數(shù)學家阿貝爾（N. H. Abel，1802-1829）成功地證明了五次以上一般方程沒有根式解．1828年，法國天才數(shù)學家伽羅瓦（E.Galois，1811-1832）巧妙而簡潔地證明了存在不能用開方運算求解的具體方程．人們認識到高于4次的代數(shù)方程不存在求根公式，因此對于高次多項式函數(shù)及其它的一些函數(shù)，有必要尋求其零點的近似解的方法，這是一個在計算數(shù)學中十分重要的課題．
師：介紹中外歷史上的方程求解問題，從高次代數(shù)方程解的探索歷程引導學生認識引入二分法的意義，從而引入課題．
生：感受到數(shù)學文化方面的熏陶，最大限度的調(diào)動學生的學習興趣，提高學習的積極性和主動性.
Authorware7.02課件展示
探
索
發(fā)
現(xiàn)
這節(jié)課就讓我們來共同學習一下 §3.1.2《用二分法求方程的近似解》
想一想
我們已經(jīng)知道，函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點，且＜0，＞0.進一步的問題是，如何找出這個零點？
做一做
第一步：取區(qū)間(2，3)的中點2.5，用計算器算得(2.5)≈－0.084.因為 (2.5)?＜0，所以零點在區(qū)間(2.5，3)內(nèi).
第二步：取區(qū)間(2.5，3)的中點2.75，用計算器算得(2.75)≈0.512. 因為 (2.5)?(2.75)＜0，所以零點在區(qū)間(2.5，2.75)內(nèi).
結(jié)論:由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零點所在的范圍確實越來越小了.如果重復上述步驟，那么零點所在的范圍會越來越小(見下表和圖)
師：一個直觀的想法是:如果能夠?qū)⒘泓c所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點的近似值.為了方便，下面我們通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍.
師：引導學生分析理解求區(qū)間，的中點的方法．
生：用計算器算得
(2.5)≈－0.084
(2.75)≈0.512
幾何畫板4.06中文版演示計算結(jié)果
探
索
發(fā)
現(xiàn)
師：這樣，在一定精確度下，我們可以在有限次重復相同步驟后，將所得的零點所在區(qū)間內(nèi)的任意一點作為函數(shù)零點的近似值，特別地，可以將區(qū)間端點作為零點的近似值.
例如，當精確度為0.01時，由于|2.5390625－2.53125|=0.0078125＜0.01，所以，我們可以將=2.53125作為函數(shù)零點的近似值，也即方程根的近似值.
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探
索
發(fā)
現(xiàn)
議一議：你能說出二分法的意義及用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟嗎？
1.二分法的意義
對于在區(qū)間[，]上連續(xù)不斷且滿足?＜0的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的 區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法(bisection)．
2.給定精確度，用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟如下：
(1)確定區(qū)間，，驗證?＜0，給定精確度；
(2)求區(qū)間，的中點；
(3)計算：
1若=，則就是函數(shù)的零點；
2若?＜0，則令=（此時零點）；
3若?＜0，則令=（此時零點）；
(4)判斷是否達到精確度；即若＜，則得到零點近似值（或）；否則重復步驟2-4．
結(jié)論: 由函數(shù)的零點與相應方程根的關系，我們可用二分法來求方程的近似解.
思考：為什么由＜，便可判斷零點的近似值為(或)？
師：闡述二分法的逼近原理，引導學生理解二分法的算法思想，明確二分法求函數(shù)近似零點的具體步驟．
師：分析條件
“?＜0”、“精確度”、“區(qū)間中點”及“＜”的意義．
生：結(jié)合求函數(shù)
在區(qū)間（2，3）內(nèi)的零點，理解二分法的算法思想與計算原理．
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合
作
探
究
由于計算量較大，而且是重復相同的步驟，因此，我們可以借助幾何畫板4.06中文版軟件和Microsoft Excel軟件來完成計算.
我們還是以求函數(shù)的零點為例
學生在教師引導下操作
師：
第一步：打開幾何畫板4.06中文版軟件.
第二步：點擊工具欄中的“圖表”，選中“繪制新函數(shù)(Ctrl+G)”，或在工作區(qū)中點擊右鍵，選中“繪制新函數(shù)”.
第三步：在彈出的對話框中輸入
，點擊“確定”.
幾何畫板4.06中文版
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合
作
探
究
第四步：觀察函數(shù)圖象，確定零點所在的大致區(qū)間為(2，3).
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第五步:打開
Microsoft Excel軟件
第六步: 分別在單元格A1、B1、C1輸入、、
精確度，在C2輸入0.5，分別在A2、A3輸入2、2.5，選中這兩個單元格后，按住鼠標左鍵并向下方拖動“填充柄”到單元格內(nèi)出現(xiàn)填充值4時為止，完成自動填充.
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作
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第七步: 在B2單元格點擊“粘貼函數(shù)”，
輸入函數(shù)值公式
“=lnA2+2*A2-6”，得到與A2相應的函數(shù)值.
第八步:然后雙擊(或拖動)B2的“填充柄”，得到與第一列相應的函數(shù)值.
生：觀察所得函數(shù)值，所以零點在區(qū)間(2.5，3)內(nèi).
第九步：重復上述操作：將A1、B1、C1復制到A7、B7、C7，把精確度設為0.25，在A8、B9分別輸入2.5、2.75，選中這兩個單元格后，按住鼠標左鍵并向下方拖動“填充柄”到單元格內(nèi)出現(xiàn)填充值3.25時為止，完成自動填充.復制B2到B8，得到與A8相應的函數(shù)值，然后雙擊(或拖動)B8的“填充柄”，得到與第一列相應的函數(shù)值.
生：觀察所得函數(shù)值，所以零點在區(qū)間(2.5，2.75)內(nèi).
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結(jié)論：借助信息技術求方程近似解(函數(shù)零點)的步驟如下：
1.利用函數(shù)性質(zhì)或借助計算機、計算器畫出函數(shù)圖象，確定函數(shù)零點所在的大致區(qū)間；
2.利用然后用Microsoft Excel軟件逐步計算解答．
第十步：重復上述過程，將精確度設為上次操作的一半，直到小于0.01為止，特別地，這時可以將區(qū)間端點作為零點的近似值.
生：觀察所得
函數(shù)值，并且精確度為
0.0078125＜0.01，所以零點在區(qū)間(2.53125 ，2.5390625)內(nèi)，
=2.53125可以為函數(shù)的零點.
生：認真思考，運用所學知識尋求確定方程近似解的方法，并進行討論、交流、歸納、概括、評析形成結(jié)論．
Microsoft Excel軟件
學
以
致
用
例題：借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解(精確度0.1)
解：（略）． 打開幾何畫板 打開Excel
嘗試練習：
1. 借助計算器或計算機，用二分法求函數(shù)
的零點(精確度0.1)
2. 借助計算器或計算機，用二分法求方程 的近似值(精確度0.01)
師：首先利用幾何畫板4.06中文版軟件畫出函數(shù)圖象，確定函數(shù)零點所在的大致區(qū)間，然后用Microsoft Excel軟件逐步計算解答．
生：獨立完成解答，并進行交流、討論、評析．
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Microsoft Excel軟件
知
識
拓
展
我們也可以借助QBASIC語言編寫一定的程序來求方程的近似解.（精確到0.01）
程序框圖：
師：介紹學生感興趣的計算機編程問題，滲透算法的思想，為學生后續(xù)學習算法內(nèi)容埋下伏筆．
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信息技術應用
知
識
拓
展
程序語句：
INPUT “，，=”；，，
DO
=(+)/2
=LOG()+2*－6
=LOG()+2*－6
IF *＞0 THEN
=
ELSE
=
END IF
LOOP UNTIL ABS(-) ＜ OR =0
END
打開QBASIC文件
師：輸入零點的大致區(qū)間和精確度，執(zhí)行程序，檢驗程序運行結(jié)果的正確性．
QBASIC語言
應用程序
課
后
實
踐
1.有興趣的同學可以自學QBASIC語言或其他計算機語言，編寫程序，來檢驗做題結(jié)果正確與否.
2.查找有關資料或利用Internet查找有關高次代數(shù)方程的解的研究史料，追尋阿貝爾（Abel）和伽羅瓦（Galois），增強探索精神，培養(yǎng)創(chuàng)新意識．
3.談談通過學習求函數(shù)的零點和求方程的近似解，對數(shù)學有了哪些新的認識？ 將你這節(jié)課的收獲與感受寫成一篇小報告或小論文的形式，發(fā)表在學校的數(shù)學論壇上.
師：繼續(xù)激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情；感受數(shù)學文化方面的熏陶；充分地利用學校資源進行后續(xù)學習和交流.
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本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/208556.html
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