1. 組合數(shù)學(xué)概述

組合數(shù)學(xué)，又稱為離散數(shù)學(xué)，但有時人們也把組合數(shù)學(xué)和圖論加在一起算成是離散數(shù)學(xué)。組合數(shù)學(xué)是計算機(jī)出現(xiàn)以后迅速發(fā)展起來的一門數(shù)學(xué)分支。計算機(jī)科學(xué)就是算法的科學(xué)，而計算機(jī)所處理的對象是離散的數(shù)據(jù)，所以離散對象的處理就成了計算機(jī)科學(xué)的核心，而研究離散對象的科學(xué)恰恰就是組合數(shù)學(xué)。組合數(shù)學(xué)的發(fā)展改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中分析和代數(shù)占統(tǒng)治地位的局面。現(xiàn)代數(shù)學(xué)可以分為兩大類：一類是研究連續(xù)對象的，如分析、方程等，另一類就是研究離散對象的組合數(shù)學(xué)。組合數(shù)學(xué)不僅在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中具有極其重要的地位，在其它的學(xué)科中也有重要的應(yīng)用，如計算機(jī)科學(xué)、編碼和密碼學(xué)、物理、化學(xué)、生物等學(xué)科中均有重要應(yīng)用。微積分和近代數(shù)學(xué)的發(fā)展為近代的工業(yè)革命奠定了基礎(chǔ)。而組合數(shù)學(xué)的發(fā)展則是奠定了本世紀(jì)的計算機(jī)革命的基礎(chǔ)。計算機(jī)之所以可以被稱為電腦，就是因為計算機(jī)被人編寫了程序，而程序就是算法，在絕大多數(shù)情況下，計算機(jī)的算法是針對離散的對象，而不是在作數(shù)值計算。正是因為有了組合算法才使人感到，計算機(jī)好象是有思維的。

組合數(shù)學(xué)不僅在軟件技術(shù)中有重要的應(yīng)用價值，在企業(yè)管理，交通規(guī)劃，戰(zhàn)爭指揮，金融分析等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。在美國有一家用組合數(shù)學(xué)命名的公司，他們用組合數(shù)學(xué)的方法來提高企業(yè)管理的效益，這家公司辦得非常成功。此外，試驗設(shè)計也是具有很大應(yīng)用價值的學(xué)科，它的數(shù)學(xué)原理就是組合設(shè)計。用組合設(shè)計的方法解決工業(yè)界中的試驗設(shè)計問題，在美國已有專門的公司開發(fā)這方面的軟件。最近，德國一位著名組合數(shù)學(xué)家利用組合數(shù)學(xué)方法研究藥物結(jié)構(gòu)，為制藥公司節(jié)省了大量的費用，引起了制藥業(yè)的關(guān)注。

在1997年11月的南開大學(xué)組合數(shù)學(xué)研究中心成立大會上，吳文俊院士指出，每個時代都有它特殊的要求，使得數(shù)學(xué)出現(xiàn)一個新的面貌，產(chǎn)生一些新的數(shù)學(xué)分支，組合數(shù)學(xué)這個新的分支也是在時代的要求下產(chǎn)生的。最近，吳文俊院士又指出，信息技術(shù)很可能會給數(shù)學(xué)本身帶來一場根本性的變革，而組合數(shù)學(xué)則將顯示出它的重要作用。楊樂院士也指出組合數(shù)學(xué)無論在應(yīng)用上和理論上都具有越來越重要的位置，它今后的發(fā)展是很有生命力，很有前途的，中國應(yīng)該倡導(dǎo)這個方面的研究工作。萬哲先院士甚至舉例說明了華羅庚，許寶祿，吳文俊等中國老一輩的數(shù)學(xué)家不僅重視組合數(shù)學(xué)，同時還對組合數(shù)學(xué)中的一些基本問題作了重大貢獻(xiàn)。迫于中國組合數(shù)學(xué)發(fā)展自身的需要，以及中國信息產(chǎn)業(yè)發(fā)展的需要，在中國發(fā)展組合數(shù)學(xué)已經(jīng)迫在眉睫，刻不容緩。

2. 組合數(shù)學(xué)與計算機(jī)軟件

隨著計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，計算機(jī)的使用已經(jīng)影響到了人們的工作，生活，學(xué)習(xí)，社會活動以及商業(yè)活動，而計算機(jī)的應(yīng)用根本上是通過軟件來實現(xiàn)的。我在美國聽到過一種說法，將來一個國家的經(jīng)濟(jì)實力可以直接從軟件產(chǎn)業(yè)反映出來。我國在軟件上的落后，要說出根本的原因可能并不是很簡單的事，除了技術(shù)和科學(xué)上的原因外，可能還跟我們的文化，管理水平，教育水平，思想素質(zhì)等諸多因素有關(guān)。除去這些人文因素以外，一個最根本的原因就是我國的信息技術(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)十分薄弱，這個問題不解決，我們就難成為軟件強(qiáng)國。然而問題決不是這么簡單，信息技術(shù)的發(fā)展已經(jīng)涉及到了很深的數(shù)學(xué)知識，而數(shù)學(xué)本身也已經(jīng)發(fā)展到了很深、很廣的程度并不是單憑幾個聰明的頭腦去想想就行了，而更重要的是需要集體的合作和力量，就象軟件的開發(fā)需要多方面的人員的合作。美國的軟件之所以能領(lǐng)先，其關(guān)鍵就在于在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上他們有很強(qiáng)的實力，有很多杰出的人才。一般人可能會認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門純粹的基礎(chǔ)科學(xué)，1+1的解決可能不會有任何實際的意義。如果真是這樣，一門純粹學(xué)科的發(fā)展落后幾年，甚至十年，關(guān)系也不大。然而中國的軟件產(chǎn)業(yè)的發(fā)展已向數(shù)學(xué)基礎(chǔ)提出了急切的需求：網(wǎng)絡(luò)算法和分析，信息壓縮，網(wǎng)絡(luò)安全，編碼技術(shù)，系統(tǒng)軟件，并行算法，數(shù)學(xué)機(jī)械化和計算機(jī)推理，等等。此外，與實際應(yīng)用有關(guān)的還有許多許多需要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的算法，如運(yùn)籌規(guī)劃，金融工程，計算機(jī)輔助設(shè)計等。如果我們的軟件產(chǎn)業(yè)還是把眼光一直盯在應(yīng)用軟件和第二次開發(fā)，那么我們在應(yīng)用軟件這個領(lǐng)域也會讓國外的企業(yè)搶去很大的市場。如果我們現(xiàn)在在信息技術(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，大力支持和投入，那將是亡羊補(bǔ)牢，猶未為晚；只要我們能搶回信息技術(shù)的數(shù)學(xué)基地，那么我們還有可能在軟件產(chǎn)業(yè)的競爭中，扭轉(zhuǎn)局面，甚至反敗為勝。吳文俊院士開創(chuàng)和領(lǐng)導(dǎo)的數(shù)學(xué)機(jī)械化研究，為中國在信息技術(shù)領(lǐng)域占領(lǐng)了一個重要的陣地，有了雄厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，自然就有了軟件開發(fā)的競爭力。這樣的陣地多幾個，我們的軟件產(chǎn)業(yè)就會產(chǎn)生新的局面。值得注意的是，印度有很好的統(tǒng)計和組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這可能也是印度的軟件產(chǎn)業(yè)近幾年有很大發(fā)展的原因。

3. 組合數(shù)學(xué)在國外的狀況

縱觀全世界軟件產(chǎn)業(yè)的情況，易見一個奇特的現(xiàn)象：美國處于絕對的壟斷地位。造成這種現(xiàn)象的一個根本的原因就是計算機(jī)科學(xué)在美國的飛速發(fā)展。當(dāng)今計算機(jī)科學(xué)界的最權(quán)威人士很多都是研究組合數(shù)學(xué)出身的。美國最重要的計算機(jī)科學(xué)系（MIT，Princeton，Stanford，Harvard，Yale，….）都有第一流的組合數(shù)學(xué)家。計算機(jī)科學(xué)通過對軟件產(chǎn)業(yè)的促進(jìn)，帶來了巨大的效益，這已是不爭之事實。組合數(shù)學(xué)在國外早已成為十分重要的學(xué)科，甚至可以說是計算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)。一些大公司，如IBM，AT&T都有全世界最強(qiáng)的組合研究中心。Microsoft 的Bill Gates近來也在提倡和支持計算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)研究。例如，Bell實驗室的有關(guān)線性規(guī)劃算法的實現(xiàn)，以及有關(guān)計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的算法，由于有明顯的商業(yè)價值，顯然是沒有對外公開的。美國已經(jīng)有一種趨勢，就是與新的算法有關(guān)的軟件是可以申請專利的。如果照這種趨勢發(fā)展，世界各國對組合數(shù)學(xué)和計算機(jī)算法的投入和競爭必然日趨激烈。美國政府也成立了離散數(shù)學(xué)及理論計算機(jī)科學(xué)中心DIMACS（與Princeton大學(xué)，Rutgers大學(xué)，AT&T 聯(lián)合創(chuàng)辦的，設(shè)在Rutgers大學(xué)），該中心已是組合數(shù)學(xué)理論計算機(jī)科學(xué)的重要研究陣地。美國國家數(shù)學(xué)科學(xué)研究所（Mathematical Sciences Research Institute，由陳省身先生創(chuàng)立）在1997年選擇了組合數(shù)學(xué)作為研究專題，組織了為期一年的研究活動。日本的NEC公司還在美國的設(shè)立了研究中心，理論計算機(jī)科學(xué)和組合數(shù)學(xué)已是他們重要的研究課題，該中心主任R. Tarjan即是組合數(shù)學(xué)的權(quán)威。我所熟悉的美國重要的國家實際室（Los Alamos國家實驗室，以造出第一顆原子彈著稱于世），從曼哈頓計劃以來一直重視應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究，包括組合數(shù)學(xué)的研究。我所接觸到的有關(guān)組合數(shù)學(xué)的計算機(jī)模擬項目經(jīng)費達(dá)三千萬美元。不僅如此，該實驗室最近還在積極充實組合數(shù)學(xué)方面的研究實力。美國另外一個重要的國家實驗室Sandia國家實驗室有一個專門研究組合數(shù)學(xué)和計算機(jī)科學(xué)的機(jī)構(gòu)，主要從事組合編碼理論和密碼學(xué)的研究，在美國政府以及國際學(xué)術(shù)界都具有很高的地位。由于生物學(xué)中的DNA的結(jié)構(gòu)和生物現(xiàn)象與組合數(shù)學(xué)有密切的聯(lián)系，各國對生物信息學(xué)的研究都很重視，這也是組合數(shù)學(xué)可以發(fā)揮作用的一個重要領(lǐng)域。前不久召開的北京香山會議就體現(xiàn)了國家對生物信息學(xué)的高度重視。據(jù)說IBM也將成立一個生物信息學(xué)研究中心。由于DNA就是組合數(shù)學(xué)中的一個序列結(jié)構(gòu)，美國科學(xué)院院士，近代組合數(shù)學(xué)的奠基人Rota教授預(yù)言，生物學(xué)中的組合問題將成為組合數(shù)學(xué)的一個前沿領(lǐng)域。

美國的大學(xué)，國家研究機(jī)構(gòu)，工業(yè)界，軍方和情報部門都有許多組合數(shù)學(xué)的研究中心，在研究上投入了大量的經(jīng)費。但他們得到的收益遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了他們的投入，更主要的是他們還聚集了組合數(shù)學(xué)領(lǐng)域全世界最優(yōu)秀的人才。高層次的軟件產(chǎn)品處處用到組合數(shù)學(xué)，更確切地說就是組合算法。傳統(tǒng)的計算機(jī)算法可以分為兩大類，一類是組合算法，一類是數(shù)值算法（包括計算數(shù)學(xué)和與處理各種信息數(shù)據(jù)有關(guān)的信息學(xué)）。依我個人的淺見，近年來計算機(jī)算法又多了一類：那就是符號計算算法。吳文俊院士開創(chuàng)的機(jī)器證明方法就屬于符號計算，引起了國際上的高度評價，被稱為吳方法。而國際上還有專門的符號計算雜志。符號算法和吳方法跟代數(shù)組合學(xué)也有十分密切的聯(lián)系。組合數(shù)學(xué)，數(shù)值計算（包括計算數(shù)學(xué)，科學(xué)計算，非線性科學(xué)，和與處理各種信息數(shù)據(jù)有關(guān)的信息學(xué)）和統(tǒng)計學(xué)可能是應(yīng)用最廣的數(shù)學(xué)分支，而組合數(shù)學(xué)的價值甚至不亞于統(tǒng)計學(xué)和數(shù)值計算。由于數(shù)學(xué)機(jī)械化近年來的發(fā)展和在計算機(jī)科學(xué)中的重要性，把數(shù)學(xué)機(jī)械化，科學(xué)計算和組合數(shù)學(xué)組合起來，就可以說是中國信息產(chǎn)業(yè)的基礎(chǔ)。組合數(shù)學(xué)家H. Wilf和D. Zeilberger1998因為在組合恒等式的機(jī)械化證明方面的成果，獲得1998年美國數(shù)學(xué)會的Steele獎。

Gian-Carlo Rota教授在他去年不幸逝世之前，還專門向我提出，希望我向中國有關(guān)部門和領(lǐng)導(dǎo)人呼吁，組合數(shù)學(xué)是計算機(jī)軟件產(chǎn)業(yè)的基礎(chǔ)，中國最終一定能成為一個軟件大國，但是要實現(xiàn)這個目標(biāo)的一個突破點就是發(fā)展組合數(shù)學(xué)。中國在軟件技術(shù)上遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于美國，而在組合數(shù)學(xué)上則更是落后于美國和歐洲。如果中國只是想在軟件技術(shù)上跟著西方走，而不在組合數(shù)學(xué)上下功夫，那么中國的軟件將一直處于落后的狀態(tài)。他特別強(qiáng)調(diào)組合數(shù)學(xué)在計算機(jī)科學(xué)中的作用，以及在大學(xué)計算機(jī)系加強(qiáng)組合數(shù)學(xué)教學(xué)和人才培養(yǎng)。

最近Thomson Science公司創(chuàng)刊的一份電子刊物《離散數(shù)學(xué)和理論計算機(jī)科學(xué)》即是一個很好的說明。它的內(nèi)容涉及離散數(shù)學(xué)和計算機(jī)科學(xué)的眾多方面。由于計算機(jī)軟件的促進(jìn)和需求，組合數(shù)學(xué)已成為一門既廣博又深奧的學(xué)科，需要很深的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，逐漸成為了數(shù)學(xué)的主流分支。本世紀(jì)公認(rèn)的偉大數(shù)學(xué)家蓋爾芳德預(yù)言組合數(shù)學(xué)和幾何學(xué)將是下一世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的前沿陣地。這一觀點不僅得到國際數(shù)學(xué)界的贊同，也得到了中國數(shù)學(xué)界的贊同和響應(yīng)。

加拿大在Montreal成立了試驗數(shù)學(xué)研究中心，他們的思路可能和吳文俊院士的數(shù)學(xué)機(jī)械化研究中心的發(fā)展思路類似，使數(shù)學(xué)機(jī)械化，算法化，不僅使數(shù)學(xué)為計算機(jī)科學(xué)服務(wù)，同時也使計算機(jī)為數(shù)學(xué)研究服務(wù)。吳文俊院士指出，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中本身就有濃厚的算法思想。

今后的計算機(jī)要向更加智能化的方向發(fā)展，其出路仍然是數(shù)學(xué)的算法，和數(shù)學(xué)的機(jī)械化。另外的一個有說服力的現(xiàn)象是，組合數(shù)學(xué)家總是可以在大學(xué)的計算機(jī)系或者在計算機(jī)公司找到很好的工作，一個優(yōu)秀的組合數(shù)學(xué)家自然就是一個優(yōu)秀的計算機(jī)科學(xué)家。相反，美國所有大學(xué)計算機(jī)系都有組合數(shù)學(xué)的課程。

除上述以外，歐洲也在積極發(fā)展組合數(shù)學(xué)，英國、法國、德國、荷蘭、丹麥、奧地利、瑞典、意大利、西班牙等國家都建立了各種形式的組合數(shù)學(xué)研究中心。近幾年，南美國家也在積極推動組合數(shù)學(xué)的研究。澳大利亞，新西蘭也組建了很強(qiáng)的組合數(shù)學(xué)研究機(jī)構(gòu)。值得一提的是亞洲的發(fā)達(dá)國家也十分重視組合數(shù)學(xué)的研究。日本有組合數(shù)學(xué)研究中心，并且從美國引進(jìn)人才，不僅支持日本國內(nèi)的研究，還出資支持美國的有關(guān)課題的研究，這樣使日本的組合數(shù)學(xué)這幾年的發(fā)展極為迅速。臺灣、香港兩地也從美國引進(jìn)人才，大力發(fā)展組合數(shù)學(xué)。新加坡，韓國，馬來西亞也在積極推動組合數(shù)學(xué)的研究和人才培養(yǎng)。臺灣的數(shù)學(xué)研究中心也正在考慮把組合數(shù)學(xué)作為重點方向來發(fā)展。世界各地對組合數(shù)學(xué)的如此鐘愛顯然是有原因的，那就是沒有組合數(shù)學(xué)就沒有計算機(jī)科學(xué)，沒有計算機(jī)軟件。

4. 組合數(shù)學(xué)花絮

** 在日常生活中我們常常遇到組合數(shù)學(xué)的問題。如果你仔細(xì)留心一張世界地圖，你會發(fā)現(xiàn)用一種顏色對一個國家著色，那么一共只需要四種顏色就能保證每兩個相鄰的國家的顏色不同。這樣的著色效果能使每一個國家都能清楚地顯示出來。但要證明這個結(jié)論確是一個著名的世界難題，最終借助計算機(jī)才得以解決，最近人們才發(fā)現(xiàn)了一個更簡單的證明。

** 我國古代的河洛圖上記載了三階幻方，即把從一到九這九個數(shù)按三行三列的隊行排列，使得每行，每列，以及兩條對角線上的三個數(shù)之和都是一十五。組合數(shù)學(xué)中有許多象幻方這樣精巧的結(jié)構(gòu)。1977年美國旅行者1號、2號宇宙飛船就帶上了幻方以作為人類智慧的信號。

** 當(dāng)你裝一個箱子時，你會發(fā)現(xiàn)要使箱子盡可能裝滿不是一件很容易的事，你往往需要做些調(diào)整。從理論上講，裝箱問題是一個很難的組合數(shù)學(xué)問題，即使用計算機(jī)也是不容易解決的。

** 在中小學(xué)的數(shù)學(xué)游戲中，有這樣一個問題，一個船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜運(yùn)過河。問題是當(dāng)人不在場時，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能運(yùn)其中的一個。他怎樣才能把三者都運(yùn)過河呢？這就是一個很典型、很簡單的組合數(shù)學(xué)問題。

** 我們還會遇到更復(fù)雜的調(diào)度和安排問題。例如，在生產(chǎn)原子彈的曼哈頓計劃中，涉及到很多工序，許多人員的安排，很多元件的生產(chǎn)，怎樣安排各種人員的工作，以及各種工序間的銜接，從而使整個工期的時間盡可能短？這些都是組合數(shù)學(xué)典型例子。

** 航空調(diào)度和航班的設(shè)定也是組合數(shù)學(xué)的問題。怎樣確定各個航班以滿足 不同旅客轉(zhuǎn)機(jī)的需要，同時也使得每個機(jī)場的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延誤等特殊情況下，怎樣作最合理的調(diào)整，這些都是 組合數(shù)學(xué)的問題。

** 對于城市的交通管理，交通規(guī)劃，哪些地方可能是阻塞要地，哪些地方 應(yīng)該設(shè)單行道，立交橋建在哪里最合適，紅綠燈怎樣設(shè)定最合理， 如此等等，全是組合數(shù)學(xué)的問題。

** 一個郵遞員從郵局出發(fā)，要走完他所管轄的街道，他應(yīng)該怎樣選擇什么樣的路徑，這就是著名的"中國郵遞員問題"，由中國組合數(shù)學(xué)家管梅谷教授提出，著名組合數(shù)學(xué)家，J. Edmonds和他的合作者給出了一個解答。

** 一個通訊網(wǎng)絡(luò)怎樣布局最節(jié)��？美國的貝爾實驗室和IBM公司都有世界一流的組合數(shù)學(xué)家在研究這個問題，這個問題直接關(guān)系到巨大的經(jīng)濟(jì)利益。

** 據(jù)說，假日飯店的管理中，也嚴(yán)格規(guī)定了有關(guān)的工序，如清潔工的第一步是換什么，清洗什么，第二步又做什么，總之，他進(jìn)出房間的次數(shù)應(yīng)該最少。既然，這樣一個簡單的工作都需要講究工序，那么一個復(fù)雜的工程就更不用說了。

** 庫房和運(yùn)輸?shù)墓芾硪彩堑湫偷慕M合數(shù)學(xué)問題。怎樣安排運(yùn)輸使得庫房充分發(fā)揮作用，進(jìn)一步來說，貨物放在什么地方最便于存取（如存儲時間短的應(yīng)該放在容易存取的地方）。

** 我們知道，用形狀相同的方型磚塊可以把一個地面鋪滿（不考慮邊緣的情況），但是如果用不同形狀，而又非方型的磚塊來鋪一個地面，能否鋪滿呢？這不僅是一個與實際相關(guān)的問題，也涉及到很深的組合數(shù)學(xué)問題。

** 組合數(shù)學(xué)中有一個著名問題：是否存在穩(wěn)定婚姻的問題。假如能找到兩對夫婦（如張（男）--李（女）和趙（男）--王（女）），如果張（男）更喜歡王（女），而王（女）也更喜歡張（男），那么這樣就可能有潛在的不穩(wěn)定性。組合數(shù)學(xué)的方法可以找到一種婚姻的安排方法，使得沒有上述的不穩(wěn)定情況出現(xiàn)（當(dāng)然這只是理論上的結(jié)論）。這種組合數(shù)學(xué)的方法卻有 一個實際的用途：美國的醫(yī)院在確定錄取住院醫(yī)生時，他們將考慮申請者的志愿的先后次序，同時也給申請排序。按這樣的 次序考慮出的總的方案將沒有醫(yī)院和申請者兩者同時后悔的情況。 實際上，高考學(xué)生的最后錄取方案也可以用這種方法。

** 組合數(shù)學(xué)還可用于金融分析，投資方案的確定，怎樣找出好的投資組合以降低投資風(fēng)險。南開大學(xué)組合數(shù)學(xué)研究中心開發(fā)出了"金沙股市風(fēng)險分析系統(tǒng)"現(xiàn)已投放市場，為短線投資者提供了有效的風(fēng)險防范工具。

總之，組合數(shù)學(xué)無處不在，它的主要應(yīng)用就是在各種復(fù)雜關(guān)系中找出最優(yōu)的方案。所以組合數(shù)學(xué)完全可以看成是一門量化的關(guān)系學(xué)，一門量化了的運(yùn)籌學(xué)，一門量化了的管理學(xué)。

胡錦濤同志在1998年接見"五四"青年獎?wù)聲r發(fā)表的講話中指出，組合數(shù)學(xué)不同于傳統(tǒng)的純數(shù)學(xué)的一個分支，它還是一門應(yīng)用學(xué)科，一門交叉學(xué)科。他希望中國的組合數(shù)學(xué)研究能夠為國家的經(jīng)濟(jì)建設(shè)服務(wù)。

如果21世紀(jì)是信息社會的世紀(jì)，那么21世紀(jì)也必將是組合數(shù)學(xué)大有可為的世紀(jì)。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/211793.html

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