一、選擇題

1.下列結論正確的是(     ).

A.當且時，；    B.當時，；

C.當時，的最小值為2；      D.當時，的最小值為2

考查目的：考查基本不等式及其在求最值中的應用.

答案：B.

    解析：A選擇項中可能為負，不適合基本不等式；C，D選擇項中適合基本不等式，但取最小值等號取不到.只有B正確.

 

2.(2009天津理)設，若是與的等比中項，則的最小值為(     ).

A.8            B.4           C.1          D.

考查目的：考查等比中項的概念、指數的運算，以及基本不等式求最值的運用.

答案：C.

解析：∵，∴，則，當且僅當即時取“＝”號，故選擇C.

 

3.(2007海南、寧夏理)已知，，成等差數列，成等比數列，則的最小值是(    )

A.           B.                C.          D.

考查目的：考查等差、等比數列的概念與性質以及基本不等式的應用.

答案：D.

解析：∵，，成等差數列，成等比數列，∴，，則，當且僅當時取等號.

 

二、填空題

4.(2010山東理)若對任意，，則實數的取值范圍是          .

考查目的：考查分式不等式恒成立問題的解法，以及利用基本不等式求最值等知識.

答案：.

解析：因為，所以(當且僅當時取等號)，則，即的最大值為，故.

 

5.(2011江蘇卷)在平面直角坐標系中，過坐標原點的一條直線與函數的圖象交于兩點，則線段長的最小值是          .

考查目的：考查反比例函數的圖象與性質、坐標平面內兩點間的距離公式等基礎知識，考查基本不等式的應用.

答案：4.

解析：因為函數是奇函數，所以兩點關于原點對稱，可設，，則，當且僅當，即時取等號.

 

6.已知，則的最大值是           .

考查目的：考查基本不等式的應用、分析判斷能力和運算求解能力.

答案：2.

解析：∵，∴，∴當且僅當時，的最大值2.

 

三、解答題

7.已知，，是等邊的頂點，點分別在邊上，且將的面積二等分，記的橫坐標為，.

⑴寫出的表達式；⑵求的最小值.

考查目的：考查余弦定理、函數的解析式、基本不等式等基礎知識，以及運算求解能力.

答案：⑴；⑵當時，.

解析：⑴∵，又∵，解得，∴.

⑵∵，∴，時取等號.

 

 

8. 已知，試比較的大小.

考查目的：考查不等式的性質、基本不等式等基礎知識，以及推理論證能力和運算求解能力.

答案：當時，；當時，；當時，.

解析：∵，當且僅當時取等號，∴①當時，，而由得，∴：②當時，；③當時，，再由①得，于是，∴.

綜上所述：當時，；當時，；當時，.

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