編者按：小編為大家收集了“高一數(shù)學(xué)知識要點與公式總結(jié)”，供大家參考，希望對大家有所幫助!

一、集合與簡易邏輯：

1)、 理解集合中的有關(guān)概念 (1)集合中元素的特征： 確定性 ， 互異性 ， 無序性 。

(2)集合與元素的關(guān)系用符號 ， 表示。

(3)常用數(shù)集的符號表示：自然數(shù)集 ;正整數(shù)集 、 ;整數(shù)集 ;有理數(shù)集 、實數(shù)集 。

(4)集合的表示法： 列舉法 ， 描述法 ， 韋恩圖 。

(5)空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

2)、 集合中元素的個數(shù)的計算： (1)若集合 中有 n個元素，則集合 的所有不同的子集個數(shù)為_________，所有真子集的個數(shù)是__________，所有非空真子集的個數(shù)是 。

3)、 若 ; 則 是 的充分非必要條件 ;

若 ; 則 是 的必要非充分條件 ;

若 ; 則 是 的充要條件 ;

若 ; 則 是 的既非充分又非必要條件 ;

4)、 原命題與逆否命題，否命題與逆命題具有相同的 ;

5)、 反證法：當(dāng)證明“若 ，則 ”感到困難時，改證它的等價命題“若 則 ”成立，

步驟：1、假設(shè)結(jié)論反面成立;2、從這個假設(shè)出發(fā)，推理論證，得出矛盾;3、由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定結(jié)論正確。

矛盾的來源：1、與原命題的條件矛盾;2、導(dǎo)出與假設(shè)相矛盾的命題;3、導(dǎo)出一個恒假命題。

適用與待證命題的結(jié)論涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼時。

正面詞語 等于 大于 小于 是 都是 至多有一個

否定

正面詞語 至少有一個 任意的 所有的 至多有n個 任意兩個

否定

二、函數(shù)

1)、映射與函數(shù)：

(1)映射的概念：

(2)一一映射：

(3)函數(shù)的概念：

2)、函數(shù)的三要素： ， ， 。

(1)函數(shù)解析式的求法： ①定義法(拼湊)：②換元法：③待定系數(shù)法：④賦值法：

(2)函數(shù)定義域的求法： 含參問題的定義域要分類討論; 對于實際問題，在求出函數(shù)解析式后;必須求出其定義域，此時的定義域要根據(jù)實際意義來確定。

(3)函數(shù)值域的求法： ①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值;②逆求法(反求法)：通過反解，用y來表示x，再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍;④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想;⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域;⑥基本不等式法：利用平均值不等式公式來求值域;⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。

3)、函數(shù)的性質(zhì)： 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

單調(diào)性：定義：注意定義是相對與某個具體的區(qū)間而言。

判定方法有：定義法(作差比較和作商比較) 導(dǎo)數(shù)法(適用于多項式函數(shù)) 復(fù)合函數(shù)法和圖像法。

應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。

奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點對稱，比較f(x) 與f(-x)的關(guān)系。f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函數(shù); f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)為奇函數(shù)。

判別方法：定義法， 圖像法 ，復(fù)合函數(shù)法 應(yīng)用：把函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。

周期性：定義：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期。

其他：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(x-a),則2a為函數(shù)f(x)的周期.

應(yīng)用：求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式。

4)、圖形變換：函數(shù)圖像變換：(重點)要求掌握常見基本函數(shù)的圖像，掌握函數(shù)圖像變換的一般規(guī)律。

常見圖像變化規(guī)律：(注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移聯(lián)系起來思考)

平移變換 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

注意：(?)有系數(shù)，要先提取系數(shù)。如：把函數(shù)y=f(2x)經(jīng)過 平移得到函數(shù)y=f(2x+4)的圖象。

(?)會結(jié)合向量的平移，理解按照向量 (m，n)平移的意義。

對稱變換 y=f(x)→y=f(-x),關(guān)于y軸對稱

y=f(x)→y=-f(x) ,關(guān)于x軸對稱

y=f(x)→y=fx,把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱

y=f(x)→y=f(x)把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關(guān)于y軸對稱。(注意：它是一個偶函數(shù))

伸縮變換：y=f(x)→y=f(ωx),

y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。

5)、反函數(shù)：

(1)定義：

(2)函數(shù)存在反函數(shù)的條件： ;

(3)互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系： ;

(4)求反函數(shù)的步驟：①將 看成關(guān)于 的方程，解出 ，若有兩解，要注意解的選擇;②將 互換，得 ;③寫出反函數(shù)的定義域(即 的值域)。

(5)互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系：

(6)原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性;

(7)原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù);原函數(shù)為偶函數(shù)，它一定不存在反函數(shù)。

三、數(shù)列

本章是高考命題的主體內(nèi)容之一，應(yīng)切實進(jìn)行全面、深入地復(fù)習(xí)，并在此基礎(chǔ)上，突出解決下述幾個問題：(1)等差、等比數(shù)列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數(shù)列的前 項和 ，則其通項為 若 滿足 則通項公式可寫成 .(2)數(shù)列計算是本章的中心內(nèi)容，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、前 項和公式及其性質(zhì)熟練地進(jìn)行計算，是高考命題重點考查的內(nèi)容.(3)解答有關(guān)數(shù)列問題時，經(jīng)常要運用各種數(shù)學(xué)思想.善于使用各種數(shù)學(xué)思想解答數(shù)列題，是我們復(fù)習(xí)應(yīng)達(dá)到的目標(biāo). ①函數(shù)思想：等差等比數(shù)列的通項公式求和公式都可以看作是 的函數(shù)，所以等差等比數(shù)列的某些問題可以化為函數(shù)問題求解.

②分類討論思想：用等比數(shù)列求和公式應(yīng)分為 及 ;已知 求 時，也要進(jìn)行分類;

③整體思想：在解數(shù)列問題時，應(yīng)注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運用整

體思想求解.

(4)在解答有關(guān)的數(shù)列應(yīng)用題時，要認(rèn)真地進(jìn)行分析，將實際問題抽象化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用有關(guān)數(shù)列知識和方法來解決.解答此類應(yīng)用題是數(shù)學(xué)能力的綜合運用，決不是簡單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關(guān)的等比數(shù)列的第幾項不要弄錯.

1)、基本概念：

1、 數(shù)列的定義及表示方法：

2、 數(shù)列的項與項數(shù)：

3、 有窮數(shù)列與無窮數(shù)列：

4、 遞增(減)、擺動、循環(huán)數(shù)列：

5、 數(shù)列{an}的通項公式an：

6、 數(shù)列的前n項和公式Sn:

7、 等差數(shù)列、公差d、等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)：

8、 等比數(shù)列、公比q、等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)：

2)、基本公式：

9、一般數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系：an=

10、等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當(dāng)d≠0時，an是關(guān)于n的一次式;當(dāng)d=0時，an是一個常數(shù)。

11、等差數(shù)列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn=

當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0;當(dāng)d=0時(a1≠0)，Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。

12、等比數(shù)列的通項公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k

(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)

13、等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q=1時，Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式);

當(dāng)q≠1時，Sn= Sn=

3)、有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論

14、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數(shù)列。

15、等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則

16、等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則

17、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數(shù)列。

18、兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。

19、兩個等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列

{an bn}、 、 仍為等比數(shù)列。

20、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

21、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

22、三個數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d;四個數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

23、三個數(shù)成等比的設(shè)法：a/q,a,aq;

四個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3

24、{an}為等差數(shù)列，則 (c>0)是等比數(shù)列。

25、{bn}(bn>0)是等比數(shù)列，則{logcbn} (c>0且c 1) 是等差數(shù)列。

4) 、數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關(guān)鍵是找數(shù)列的通項結(jié)構(gòu)。

28、分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n

29、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n

30、裂項法求和：如an=1/n(n+1)

31、倒序相加法求和：如an=

32、在等差數(shù)列 中,有關(guān)Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解：

在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

四、常用的初等函數(shù)：

(1)一元二次函數(shù)： 一般式： ;對稱軸方程是 ;頂點為 ;

兩點式： ;對稱軸方程是 ;與 軸的交點為 ;

頂點式： ;對稱軸方程是 ;頂點為 ;

①一元二次函數(shù)的單調(diào)性：

②二次函數(shù)求最值問題：首先要采用配方法，

Ⅰ、若頂點的橫坐標(biāo)在給定的區(qū)間上，則 時：在頂點處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點處取得; 時：在頂點處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點處取得;

Ⅱ、若頂點的橫坐標(biāo)不在給定的區(qū)間上，則 時：最小值在距離對稱軸較近的端點處取得，最大值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點處取得; 時：最大值在距離對稱軸較近的端點處取得，最小值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點處取得;

有三個類型題型： (1)頂點固定，區(qū)間也固定。(2)頂點含參數(shù)(即頂點變動)，區(qū)間固定，這時要討論頂點橫坐標(biāo)何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外。 (3)頂點固定，區(qū)間變動，這時要討論區(qū)間中的參數(shù).

指數(shù)運算法則：

指數(shù)函數(shù)：y= (a>o,a≠1)，圖象恒過點(0，1)，單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a>1和0

(5)對數(shù)函數(shù)：

指數(shù)運算法則：

對數(shù)函數(shù)：y= (a>o,a≠1) 圖象恒過點(1，0)，單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a>1和0

注意：(1)比較兩個指數(shù)或?qū)��?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)或?qū)��?shù)函數(shù)，若底數(shù)不相同時轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)��?shù)，還要注意與1比較或與0比較。

五、不等式

1)、不等式的基本性質(zhì)：

注意：(1)特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用于不成立的命題。

(2)注意課本上的幾個性質(zhì)，另外需要特別注意： ①若ab>0，則 。即不等式兩邊同號時，不等式兩邊取倒數(shù)，不等號方向要改變。 ②如果對不等式兩邊同時乘以一個代數(shù)式，要注意它的正負(fù)號，如果正負(fù)號未定，要注意分類討論。 ③圖象法：利用有關(guān)函數(shù)的圖象(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)的圖象)，直接比較大小。 ④中介值法：先把要比較的代數(shù)式與“0”比，與“1”比，然后再比較它們的大小

2)、均值不等式：兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

基本應(yīng)用：①放縮，變形;②求函數(shù)最值：注意：①一正二定三取等;②積定和小，和定積大。

常用的方法為：拆、湊、平方;

3)、絕對值不等式： 注意：上述等號“=”成立的條件;

4)、常用的基本不等式：

5)、證明不等式常用方法：(1)比較法：作差比較：

作差比較的步驟： ⑴作差：對要比較大小的兩個數(shù)(或式)作差。 ⑵變形：對差進(jìn)行因式分解或配方成幾個數(shù)(或式)的完全平方和。 ⑶判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號。

注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。 (2)綜合法：由因?qū)Ч��?(3)分析法：執(zhí)果索因。基本步驟：要證……只需證……，只需證…… (4)反證法：正難則反。(5)放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。

放縮法的方法有： ⑴添加或舍去一些項， ⑵將分子或分母放大(或縮小) ⑶利用基本不等式， ⑷利用常用結(jié)論：(6)換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。(7)構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式;

6)、不等式的解法：

(1)一元一次不等式：

Ⅰ、 ：⑴若 ，則 ;⑵若 ，則 ;

Ⅱ、 ：⑴若 ，則 ;⑵若 ，則 ;

(2)一元二次不等式： 一元二次不等式二次項系數(shù)小于零的，同解變形為二次項系數(shù)大于零;注：要對 進(jìn)行討論：

(5)絕對值不等式：若 ，則 ; ;

注意：(1).幾何意義：

(2)解有關(guān)絕對值的問題，考慮去絕對值，去絕對值的方法有：

⑴對絕對值內(nèi)的部分按大于、等于、小于零進(jìn)行討論去絕對值;

(3).通過兩邊平方去絕對值;需要注意的是不等號兩邊為非負(fù)值。

(4).含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間討論”的方法來解。

(6)分式不等式的解法：通解變形為整式不等式;

(7)不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個不等式的解集，然后求其交集，即是這個不等式組的解集，在求交集中，通常把每個不等式的解集畫在同一條數(shù)軸上，取它們的公共部分。

(8)解含有參數(shù)的不等式：

解含參數(shù)的不等式時，首先應(yīng)注意考察是否需要進(jìn)行分類討論.如果遇到下述情況則一般需要討論：

①不等式兩端乘除一個含參數(shù)的式子時，則需討論這個式子的正、負(fù)、零性.

②在求解過程中，需要使用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，則需對它們的底數(shù)進(jìn)行討論.

③在解含有字母的一元二次不等式時，需要考慮相應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向，對應(yīng)的一元二次方程根的狀況(有時要分析△)，比較兩個根的大小,設(shè)根為 (或更多分 、 、 討論。

六 ，三角公式匯總

1)、任意角的三角函數(shù)

在角 的終邊上任取一點 ，記： ，

正弦： 余弦：

正切： 余切：

正割： 余割：

注：我們還可以用單位圓中的有向線段表示任意角的三角函數(shù)：如圖，與單位圓有關(guān)的有向線段 、 、 分別叫做角 的正弦線、余弦線、正切線。

2)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

倒數(shù)關(guān)系： ， ， 。

商數(shù)關(guān)系： ， 。

平方關(guān)系： ， ， 。

3)、誘導(dǎo)公式

⑴ 、 、 、 、 的三角函數(shù)值，等于 的同名函數(shù)值，前面加上一個把 看成銳角時原函數(shù)值的符號。(口訣：函數(shù)名不變，符號看象限)

⑵ 、 、 、 的三角函數(shù)值，等于 的異名函數(shù)值，前面加上一個把 看成銳角時原函數(shù)值的符號。(口訣：函數(shù)名改變，符號看象限)

4)、和角公式和差角公式

5)、二倍角公式

…

二倍角的余弦公式 有以下常用變形：(規(guī)律：降冪擴角，升冪縮角)

， ， 。

6)、萬能公式(可以理解為二倍角公式的另一種形式)

， ， 。

萬能公式告訴我們，單角的三角函數(shù)都可以用半角的正切來表示。

7)、和差化積公式

…⑴

…⑵

…⑶

…⑷

了解和差化積公式的推導(dǎo)，有助于我們理解并掌握好公式：

兩式相加可得公式⑴，兩式相減可得公式⑵。

兩式相加可得公式⑶，兩式相減可得公式⑷。

8)、積化和差公式

我們可以把積化和差公式看成是和差化積公式的逆應(yīng)用。

9)、輔助角公式

()

其中：角 的終邊所在的象限與點 所在的象限相同，

， ， 。

10)、正弦定理

( 為 外接圓半徑)

11)、余弦定理

七、平面向量

1.基本概念：

向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。

2. 加法與減法的代數(shù)運算：

(1) .

(2)若a=( ),b=( )則a b=( ).

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

向量加法有如下規(guī)律： + = + (交換律); +( +c)=( + )+c (結(jié)合律);

+0= +(- )=0.

3.實數(shù)與向量的積：實數(shù) 與向量 的積是一個向量。

(1) = • ;

(2) 當(dāng) >0時， 與 的方向相同;當(dāng) <0時， 與 的方向相反;當(dāng) =0時， =0.

(3)若 =( )，則 • =( ).

兩個向量共線的充要條件：

(1) 向量b與非零向量 共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù) ，使得b= .

(2) 若 =( ),b=( )則 ‖b .

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) ， ，使得 = e1+ e2.

4.P分有向線段 所成的比：

設(shè)P1、P2是直線 上兩個點，點P是 上不同于P1、P2的任意一點，則存在一個實數(shù) 使 = ， 叫做點P分有向線段 所成的比。

當(dāng)點P在線段 上時， >0;當(dāng)點P在線段 或 的延長線上時， <0;

分點坐標(biāo)公式：

5. 向量的數(shù)量積：

(1).向量的夾角：

(2).兩個向量的數(shù)量積：

(3).向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

(4) .向量的數(shù)量積的運算律：

6.主要思想與方法：

本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進(jìn)行綜合考查，是知識的交匯點。

八、立體幾何

1.平面的基本性質(zhì)：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。

能夠用斜二測法作圖。

2.空間兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面的概念;

會求異面直線所成的角和異面直線間的距離;證明兩條直線是異面直線一般用反證法。

3.直線與平面

①位置關(guān)系：平行、直線在平面內(nèi)、直線與平面相交。

②直線與平面平行的判斷方法及性質(zhì),判定定理是證明平行問題的依據(jù)。

③直線與平面垂直的證明方法有哪些?

④直線與平面所成的角：關(guān)鍵是找它在平面內(nèi)的射影，范圍是{00.900}

⑤三垂線定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個定理. 三垂線定理及其逆定理主要用于證明垂直關(guān)系與空間圖形的度量.如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線.

4.平面與平面

(1)位置關(guān)系：平行、相交，(垂直是相交的一種特殊情況)

(2)掌握平面與平面平行的證明方法和性質(zhì)。

(3)掌握平面與平面垂直的證明方法和性質(zhì)定理。尤其是已知兩平面垂直，一般是依據(jù)性質(zhì)定理，可以證明線面垂直。

(4)兩平面間的距離問題→點到面的距離問題→

(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：

①定義法，一般要利用圖形的對稱性;一般在計算時要解斜三角形;

②垂線、斜線、射影法，一般要求平面的垂線好找，一般在計算時要解一個直角三角形。

③射影面積法，一般是二面交的兩個面只有一個公共點，兩個面的交線不容易找到時用此法?

九、三角形的面積公式

(兩邊一夾角)

( 為 外接圓半徑)

( 為 內(nèi)切圓半徑)

…海侖公式(其中 )

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