數學教師所需嬰的知識問題，已經成為各國教師教育研究和教師培訓工作者關心與討論的熱點．在過去的30年，對教學所需的知識的關注不斷增加，有些人的關心源自感覺，也有些人的關心隨著課程改革而變化．課改的進展對教師的要求與日俱增．各國教師感受的壓力千差萬別，然而，如何界定數學教學所需要的知識，是普遍感到關切的問題．數學教師應該知道什么，他們知道了什么，什么知識是可靠的，這些知識是否可以度量?如何度量?數學教師如何獲得知識，在什么時候獲得知識，在哪里獲得并且鞏固這些知識?都是當前教師職業(yè)教育令人感興趣的問題．
一、國際數學教育界關注的熱點問題
近年已經成立國際社團，專門研究數學教師為教學的知識．在2008年召開的國際數學教育大會(1cME—11)上成立了研究這個問題的專門小組(rI'SG27：教學所需要的數學知識)．教師的數學知識以及作為數學職業(yè)工作者的知識，兩者有相似之處，d王有重要差別．差別何在?既是知識量不同，也在于知識領域不同．差異不僅表現(xiàn)為數學知識的性質，也表現(xiàn)為它的使用功能，人們劉兩者之問的差異正在研討．
一些研究以試驗數據為基礎，一些對教師的數學知識作理論思考，從而提供了教師數學教育的新想法．研究挑戰(zhàn)了現(xiàn)行數學教師教育：一些大學的數學教師教育強調學術型的數學訓練，與數學教學實踐缺乏聯(lián)系．然而，加拿大魁北克雙語區(qū)的數學教師教育令人感到興奮，那兒有數學教師知識研究
的實體，教師教育的作者在其中發(fā)揮主要作用．
本文以及所給的例子說明，這個雙語社團這些年來得到了一批成果．職前數學教師教育取得各種各樣的發(fā)展，也受到一些干預．該團體頒布了數學教師教育的基本原理，它不僅從理論上闡述原理，而且也界定了教師的數學教學知識的范圍．
利用教師合作研究的課例，可以更好地理解教師在數學教學中，在學習情境中所需要的知識．研究源于20世紀70年代，加拿大蒙特利爾大學頒布了中學數學教師教育大綱，提出了數學教師教學所需的數學知識的觀點，指出教師的知識由兩個相互補充的主軸構成：
(1)從理論上說明數學教師在其數學教學中所需要的知識；
(2)從教師的專業(yè)發(fā)展的角度對數學教學知識的結構成分和特點作出說明．
這個大綱雖然幾經修改，但是一直指導著數學教師的職業(yè)發(fā)展．
二、數學教學知識的四維結構
這里所提供的教學課例，是由合作研究中心提出的，有關學生探索數學問題的一些片段，其目的是發(fā)展一個模型的過程，我們從兩個資料來源進行刻畫．論文引用了教師和研究者之間的交流，通過分析學生數學學習的一些過程，說明教師進行數學教學所需要的知識，它們的成分、結構與特征．
課例1(初三)數學課j二，羅伊(Roy)老師提出一個問題，他交給學生一組形狀各異的紙片，讓學生把這組紙片放大到原來的125％．羅伊說明活動的意義．
·他讓學生提m完成任務的方案與檢驗結果的標準，學生進行交流，并就不同的紙片如何一對應取得共識．羅伊給學生說明任務，讓他們思考有關策略，并相互解釋他們放大一個紙片圖形的策略，找出共同認可的策略．
·教師引導學生相互合作進行工作．按照學習大綱的精神，學生個人能力和班級水平，指導學生
“通過合作，實現(xiàn)每個人的潛力”．羅伊強調貫徹學習大綱及教學目標．注意合作學習的重要性，突出
了制度的維度．
·學生記錄活動的過程，數學的維度也隱藏在活動中．就是：
(1)在選擇中體現(xiàn)對放大系數(一個百分數)的關注；
(2)在活動中要求學生進行比例推理，包括需要理解位似中心、位似比和位似變換的知識；
(3)在活動過程中，學生關注各種圖形的幾何特征性質，關注放大因子作為數的性質．
數學活動的關鍵因素是教師對活動的設計，它是教學計劃的核心．在教學設計中，教師要調用四
個維度的知識，即：
(1)教學規(guī)定的維度：教學大綱，相應的教材和教學參考書，這些文獻所涉及的知識；
(2)教學目標的維度：對活動目標的分析，關心它能夠推動什么，思考學生在活動中應該得到哪些方面的發(fā)展；
(3)數學的維度：與活動相關的數學知識，如課例1，需要進行數學推理，推理中所用的概念，定理與性質，推理的數學表述，數學活動過程的記錄；
(4)教學法的維度：與他人一起學習，在數學活動中，班級、小組構成小社會，師生交流，相互爭論，教學相長．
由課例l可見，教師要從多方面考慮設計數學活動，需要把各種各樣的知識與能力有機結合起來，從而說明教師數學教學知識的多樣性與綜合性．
三、數學教學知識的實踐性與綜合性
以下提供的教學課例，用以說明教師對兩個不同學生小組的引領，看到教師對學習活動的指導作
用，在教學中教師對行動作出各種調整．以下用不同年級、不同內容的教學課例，說明數學教學知識的特征．
課例2(初一)教室里有兩堆不同顏色的單位小立方塊．教師讓學生小組考慮：利用這小立方塊可以堆砌高度一定的不同的塔．這些塔是用白色或黃色方塊構建的，同顏色的兩個方塊不能堆疊在一起，每個小塔的底部只放一個方塊．學生使用方塊做嘗試、教師問：
·如規(guī)定小塔有五個方塊高，可以構建多少座不同構成的小塔?如規(guī)定小塔有六個方塊高，可以構建多少座不同構成的小塔?
·是否可以找到構建塔數的規(guī)律和方法?解釋你是怎樣想到的．
小組A學生根據問題進行工作，一些問題迅速呈現(xiàn)出來：
(1)與任務相關問題的約束條件：羅伊推動學生重述沒有同顏色的方塊能夠堆疊在一起(但是除去這個條件后，再讓學生說明約束條件對解題的限制)，重新解決約束條件的問題．
(2)提出有關塔的對稱性的相關問題：有學生問，如果塔的顏色依次為白白白白黃，是否等同于黃白白白白?羅伊建議想象一個真正的塔，其底層涂了黃色或白色，他問：“如果我們在每個不同的水平上涂色，我們是否得到同樣的塔?如果你說是或否，說出你的理由．”
(3)有關只用一種顏色構建塔的可能性的問題，羅伊問他們：“如何看待這些塔要滿足題日的條件，即同顏色的方塊不能堆疊?”
小組B有些學生欣賞從較小的塔人手的想法．某些小組開始明確敘述一個模式，并開始說明對于任意高度所能構建的符合條件的塔的個數．經過一段時間合作努力，小組得到較簡單情況下的結果．如下表．
經過討論，學生達成了一些共識：
·當高度是l到6時，所構建的塔都有兩種模式；
·當高度是2以上時，塔的模式都是兩色相間的；
·高度是3，5，7等奇數時，一種顏色方塊數日是奇數，另一顏色方塊數目是偶數；
·高度是2，4，6等偶數時，構成塔的兩種顏色的方塊數目相等．
還有一些意見是非數學的，例如有學生指出，“塔不能太高，否則塔就站不穩(wěn)了．”
開始時，學生對問題的處理是發(fā)散的，而教師的即時處理必須是根據課堂活動的具體情況機靈
而有創(chuàng)意．在教師的指導下，學生傾向于注意約束條件，例如，規(guī)定從底層是一個方塊開始，這樣上面每一層也只放一個方塊．教師的教學處理不能預先設定，而要根據活動的具體進展“見機行事”，比較各組學生的情況，有針對性地進行．
什么是“見機行事”?沒有必要做具體的解釋，教師在教學中的現(xiàn)場扮演，是對學生在活動中的具體處理的及時應答．
·這種“在行動中扮演”就好比下棋，看學生如何做，教師要先讀棋，再應答．棋子支配著羅伊分析學生思維中的有關因素．例如，B組在開始概括模式時遇到困難，羅伊建議從簡單情況開始．又如出現(xiàn)同色兩方塊相鄰時，教師讓A組重述問題的約束條件．這種讀懂學生的思維表述，在一定的程度上是羅伊回答學生問題的標準．學生的行動是受一定的思維所支配的，教師應該關注學生的問題、解法、困難以及應對問題的途徑．
·這種“見機行事”，涉及做事的方式．例如羅伊應答組A的關于塔的對稱性問題，他建議學生考慮顏色的順序，使得能夠按照相同標準處理．
·這種“見機行事”涉及教帥教學的重要方面，這就意味著，教師通過適當的問題，讓學生鑒別他們的解答．這里也隱含師牛交流各自數學觀點以及解決問題的方法．
從課例2可見，數學教師的教學知識，主要是在教學中產生，并在教學中得到檢驗和強化．在教
學中所用到的知識，往往不局限于某個章節(jié)的知識，而是與數學其他分支，其他學科的知識綜合交
織在一起的．對于課例1，用到了四個維度的知識；對于課例2，教師要用到排列組合的準備知識，數的奇偶性知識，重心與平衡的知識，模式與結構的知識，等等．在教學中所用到的知識，也不局限于數學內容的知識，還包括動手實踐，探索發(fā)現(xiàn)，從簡單到復雜，從特殊到一般等科學認識淪和方法論的原理．
四、對學生解答的感知與教學決策
對學生的關心與理解，是正確教學決策的前提，也是課堂教學有魅力的保證．下課前二十來分
鐘時，羅伊要求學生寫出他們的問題和解答，他在班內巡視，看學生正在做什么，這涉及選取的策略
和所用的理由．課后，他選出某些解答，第二天提供其他學生小組分享．這些選用的解答是對或者錯?
哪些解題策略能在類似的情況下優(yōu)先使用?迅速引起其他學生思考．他從中選出一個想法與眾不同的學生向全班介紹．事實上，羅伊傾向于請出不同學生，他認為，如果所請的學生過于集中，有時會引起負面效果．
這是教學決策另一個關鍵方面：讓人人享有平等的機會，讓機敏而新穎的見解得以傳播，讓誤解及時得到澄清；讓人人學有所得，為后續(xù)教學的再投資留下伏筆．
課例3對學生問題的再投資(高二)
在一個國際活動中，來自不同國家的10位代表第一次見面，他們兩兩握手做自我介紹．試問：(a)在這次見面中有多少次不同的握手?(b)如果代表的人數多于10人，共有多少次握手?對于任意人數赴會，能否找出一種辦法計算不同的握手次數?(這問題和我國高中數學選修系列2—3課本第28頁例3實質是一樣的．)
教師讓學生回憶該問題，有學生說很容易，羅伊認為這太好了，因為他想看到學生各種各樣的具體的思路，而不僅僅是答案．
第一小組受邀上臺，卡拉與克羅蒂亞到講壇上出示答案，他的答案是=45．對于第二個問題，卡拉解釋說：例如，不妨設有20人，必須握手20×19次，再除以2．教師問為什么要除以2？卡拉
回答說：甲乙握手與乙甲握手是一樣的，故要除以2．問題似乎已經解決，但教師還希望擴大收獲，此
時恰有另一個學生伯納發(fā)問：
為什么10個人得到45次握手，20人得到190握手呢?羅伊發(fā)動班里展開討論，并且問：“你們是
怎樣想的?”兩個互相矛盾的觀點呈現(xiàn)在同學面前．
伯納：“計算是錯誤的，因為如同10人的情況，你必須考慮到這樣的事實，握手的次數是隨著人數的減少而減少的．”
巴卡爾：“對于20人，應該兩倍乘以l0人的握手數，因此答案是90而不是190．”
羅伊要求學生考慮5人的情況：“我們應該如何處理?是不是該握手22．5次?”，有學生提出答案應該是握手15次，卡拉提出握手次數不可能是22．5··…·
問題源于組合計數的章節(jié)，伯納的見解含有正確的成分，就是“人數越少，握手次數也少”；然而，他把握手次數)，與人數n的關系誤解為正比例關系，而實際不是如此．
教師巧妙的設問以及所使用的反例，正是引導學生走出認知誤區(qū)的亮點．
有學生指出y=，而伯納誤以為y與n是正比例關系，這正是一種誤解．教師及時理解學生進入數學誤區(qū)的原因，這是本課例取得成功的關鍵．教師要求學生們判斷伯納的想法是否正
第二組同學指出，握手的次數不可能是22．5，因為握于次數是正整數，第一組所說的二次函數的定義域還應該是離散型的集合(圖3)，因為赴會人數n也是正整數．
教師及時作了總結，同學們通過合作學習，把組合問題與二次函數聯(lián)系起來，義把連續(xù)型函數與離散型函數區(qū)分開來，我們的學習有了，新的收獲．
這可見到教師在教學中各種各樣的扮演，在教育的水平上，羅伊把學生的問題拋回給學生分
享，引導他們負責任地提出有效的解答．(在這里我們再次看到他堅持讓學生進行說理．)在數學的水
平上，羅伊找出并提供反例，“如果是5人的情況，是否握手22．5次?”剛這個反例，反擊“加倍”的策略．這種反例也是對學生引導的策略，這種策略具有教育的意圖，因為羅伊的日的是引導學生反思自己的解答，推動并激發(fā)學生產生疑問．
五、問題的突發(fā)性與應答的機敏性
前面的課例，討論了教師數學教學的知識有三個基本特點：
(1)它的性質接近于在行動中的知識，一個“見機行事”更甚于實際的知識；
(2)它的情境特點：它與課堂出現(xiàn)的問題，以及解決問題的思路緊密相連；
(3)學生問題的出現(xiàn)具有不可預知性，新課程要求教師能及時跟蹤學生的想法，要恰當地引導學生走出誤區(qū)，教師必須有較高的知識水平與較強的引領能力．
數學教師在他們的教學中所從事的情境，在方法上與數學家大不相同．以上的課例說明了這些差
異．在對問題的探索中(例如計算塔的個數問題)，一個數學家肯定把注意力集中在組合模型，尋找一般的公式，找出所有可能的塔數．在其中要規(guī)定各種各樣的約束條件(不同的顏色，不同的安排，等等)．教師在實際教學中處理這個問題時，就會從不同的視覺進入．他會聯(lián)系到學生，聯(lián)系到學牛各種各樣的策略，聯(lián)系到自然產生的模型，教師會根據這個模型，對問題及其各種解法進行再投資．如同課例2，教師不僅對排列組合模型感興趣，更對學生自然產生的模型，他們所陳述的道理，這些理由的有效性，以及他們所取得的進步感興趣．
數學教學知識總是在教與學的線索中得以建立，得到解釋．設計教學情境，同時用到了各種各樣的知識來源，包括教育的，教學法的，數學的甚至是規(guī)定性的．這些維度不足一成不變的．數學思想
方法的滲透是潛移默化的，關鍵是對學生情況的理解．課堂中的數學情境，總是把求解、探索結合在一起，各種因素綜合交織．各種因素不會單獨地扮演，它們總是相互影響，相互選擇，聯(lián)袂演出．
在上述教學實踐中所需要的知識，即使稱之為教師的為教學的數學知識，也永遠不是純數學知識．它是各種知識的交織與組合，是非常特殊的知識．
數學課堂教學，教師的職業(yè)活動，建構知識在教學中的切入點，指導著教師在教學中的扮演．
這些知識通過其他活動得以發(fā)展和提煉，對學生發(fā)揮引領作用．這是近來研究教師教育實踐的新線
索，也是教師職業(yè)發(fā)展的新趨勢．教師的感悟在實踐中生成，它是動態(tài)發(fā)展的知識，它既相對獨立實踐，又在實踐中逐步形成其意義．
參考文獻
[1]王林全．數學教師職業(yè)發(fā)展的現(xiàn)狀與前景一一來自南方的一組調查與分析[J]．數學教育學報，2009，(4)．
【作者簡介】王林全，華南師范大學(510631)．
【原文出處】《中學數學月刊》(蘇州)，2011．1．1～4
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/268464.html
相關閱讀：數學解題一種有效的方法