10. 已知數(shù)列{xn}，{yn}滿足x1=x2=1，y1=y2=2，并且

　　-=λ-，-λ-(λ為非零參數(shù)，n=2，3，4，…)

　　(Ⅰ)若x1，x3，x5成等比數(shù)列，求參數(shù)λ的值；

　　(Ⅱ)當(dāng)λ>0時，證明--(n∈N*)；

　　當(dāng)λ>1時，證明-+-+…+-<-(n∈N*)

　　解(Ⅰ)n=2 -=λ-→x3=λ；n=3 -=λ-→x4=λ3

　　n=4 -=λ-→x5=λ6

　　∵x1，x3，x5成等比

　　∴x32=x1·x5→λ2=λ6，λ≠0

　　∴λ=±1

　　(Ⅱ)-=λ-=λ2-=…=λn-1-，∴-=λn-1

　　y1=y2=2>0，λ>0→yn>0

　　-λ-λ2-…λn-1-

　　∴-λn-1→--

　　∴--

　　(Ⅲ)由已知 x1=x2=1，y1=y2=2，y3λy2，x3=λx2 又λ>1，∴y3>x3

　　進(jìn)一步易推得 yn>xn

　　-=-，yn+1-xn+1λn-1yn-λn-1xn=λn-1(yn-xn)>0

　　--

　　--=-

　　∴--，(n2)

　　-+-+…+-1+-+…+-<-=-

　　注：第(Ⅱ)問是用逐次代入法解決等量與不等量遞推。

　　(三)綜合題與應(yīng)用題

　　綜合題主要是數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與不等式的綜合.數(shù)列部分的應(yīng)用題是以“增長率”為基礎(chǔ)加以變化.

　　1. 已知二次函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為f‘(x)=6x-2，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖像上。

　　(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；

　　(Ⅱ)設(shè)bn=-，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn<-對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m。

　　解(Ⅰ)∵f(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點

　　∴f(0)=c=0

　　又f‘(x)=2ax+b=6x-2

　　∴a=3，b=-2

　　∴f(x)=3x2-2x

　　Sn=f(n)=3n2-2n， a1=S1=1

　　Sn-1=3(n-1)2-3(n-1)

　　an=Sn-Sn-1=6n-5，n2

　　a1=1也滿足上式

　　∴an=6n-5，(n=1，2，…)

　　(Ⅱ)bn=-=-[---]

　　Tn=-(1--)<-

　　m>10--

　　g(n)=10--，n↑，g(n)↑

　　-g(n)=10 ∴m=10

　　注：本題是函數(shù)與數(shù)列綜合，第(Ⅱ)問要有極限思想。

　　2. 已知An(an，bn)(n∈N*)是曲線y=ex上的點，a1=a，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn2=3n2an+Sn-12，an≠0，n=2，3，4，…

　　(Ⅰ)證明：數(shù)列{-}(n2)是常數(shù)列；

　　(Ⅱ)確定a的取值集合M，使a∈M時，數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；

　　(Ⅲ)證明：當(dāng)a∈M時， 弦AnAn+1(n∈N*)的斜率隨n單調(diào)遞增。

　　解：(Ⅰ)Sn2-S2n-1=3n2gan，

　　(Sn+Sn-1)gan=3n2gan，n2，an≠0

　　∴Sn+Sn-1=3n2

　　Sn+1+Sn=3(n+1)2

　　兩式相減：Sn+1-Sn-1=6n+3

　　∴an+1+an=6n+3

　　an+2+an+1=6n+9

　　又兩式相減an+2-an=6，n2

　　-=-=-=e6。得證

　　分析(2)由Sn+Sn-1=3n2

　　n=2:S2+S1=12→a2=12-2a

　　由an+1+an=6n+3

　　n=2:a3=3+2a

　　n=3:a4=18-2a

　　a2，a4，…，a2k是以a2為首項，公差為6的等差遞增數(shù)列。

　　a3，a5，…，a2k-1是以a3為首項，公差為6的等差遞增數(shù)列。

　　若{an}為遞增數(shù)列，應(yīng)有a1

　　-

　　證明(3)kn=-，kn+1=-

　　分析：{an}↑，{-}↑，要證{kn}↑

　　注意到，{an}不是以6為公差的等差遞增數(shù)列，用比較法kn+1-kn在計算中顯然行不通。過去是“量”的轉(zhuǎn)換，現(xiàn)在把數(shù)列轉(zhuǎn)換成函數(shù)，用函數(shù)單調(diào)性解決數(shù)列的單調(diào)性。

　　設(shè)函數(shù)f(x)=-

　　f‘(x)=-，需證f‘(x)>0，可推出f(x)↑

　　又設(shè)g(x)=ex(x-x0)-(ex--)

　　g‘(x)=ex(x-x0)

　　xx0

　　g‘(x)>0，g(x)↑，

　　∴x=x0是g(x)唯一極小值點。

　　∴g(x)>g(x0)=0，即g(x)>0

　　∴f‘(x)>0，f(x)↑

　　單調(diào)區(qū)間(-∞，x0)∪(x0，+∞)

　　上面是把數(shù)列轉(zhuǎn)化為函數(shù)，下面還要把函數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)列。

　　令x0=an，an

　　∴-<-

　　再令x0=an+2，an

　　->-

　　∴kn

　　注：數(shù)列也是函數(shù)，用處理函數(shù)的思路，與方法也適用于數(shù)列，關(guān)鍵是抓住“轉(zhuǎn)化”的轉(zhuǎn)折點。

　　2008年物理復(fù)習(xí)：巧用能量守恒定律

　　天津四十二中學(xué) 楊震

　　[例2]：如圖所示，傳送帶與水平地面夾370，以恒定的速率v0=2m/s運行。把一個質(zhì)量為10kg的物體輕放在傳送帶底端，物體被運送到高為h=2m處，物體與傳送帶的動摩擦因數(shù)

μ=0.866，不計其他摩擦以及能量損失，求：

　　(1)此過程產(chǎn)生的內(nèi)能是多少？

　　(2)此過程中拉動傳送帶的電動機(jī)消耗的電能是多少？

　　解：(1)分析：首先，木塊在滑動摩擦力和重力下滑分量的作用下做勻加速運動，末速度為v0，木箱的對地位移為s，相對滑動的時間為t則：

　　a=μgcos370-gsin370 v02=2as ，t=-

　　E內(nèi)=fs相對=f(v0t-s)

　　(2)由能量轉(zhuǎn)化觀點，電動機(jī)輸出能量轉(zhuǎn)化成物體的動能，摩擦生熱和物體的重力勢能

　　E=-mv02+mgh+fs相對

　　[例3]：(2007學(xué)年度北京市東城區(qū)高三期末教學(xué)目標(biāo)抽測)

　　如圖所示，光滑水平面上有一質(zhì)量M=4.0kg的帶有圓弧軌道的平板車，車的上表面是一段長L=1.0m的粗糙水平軌道，水平軌道左側(cè)連一半徑R=0.25m 的-光滑圓弧軌道，圓弧軌

道與水平軌道在O′點相切。車右端固定一個尺寸可以忽略、處于鎖定狀態(tài)的壓縮彈簧，一質(zhì)量m=1.0kg的小物塊緊靠彈簧放置，小物塊與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.5。整個裝

置處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)將彈簧解除鎖定，小物塊被彈出，恰能到達(dá)圓弧軌道的最高點A。取g=10m/s2，求：

　　(1)小物塊到達(dá)A點時，平板車的速度大��；

　　(2)解除鎖定前彈簧的彈性勢能；

　　(3)小物塊第二次經(jīng)過O′點時的速度大小；

　　(4)小物塊與車最終相對靜止時，它距O′點的距離。

　　解：分析：此題物體的受力多為變力，運動過程也很復(fù)雜，緊緊抓住能量的轉(zhuǎn)化關(guān)系便可將復(fù)雜問題簡單化。

　　(1)平板車與小物塊組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，故到達(dá)圓弧最高點A時兩者共同的速度為0
 

本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/2699.html

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