一. 教學內(nèi)容：平面向量、平面向量的基本運算
二. 本周教學目標：
要求：
1. 理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。
2. 掌握向量的加法和減法。
3. 掌握實數(shù)與向量的積 理解兩個向量共線的充要條件。
三. 本周要點：
知識點歸納：
1. 向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用 ……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如： ， 。向量的大小即向量的模（長度），記作 即向量的大小，記作｜ ，其方向是任意的， ＝ ｜＝0。由于 平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件。（注意與0的區(qū)別）
③單位向量：模為1個單位長度的向量。
向量 ｜＝1。
④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上。方向相同或相反的向量，稱為平行向量。記作 相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為 。
2. 向量加法
求兩個向量和的運算叫做向量的加法。
設 ＋ ＝ ＝ ；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；
向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：
（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。
（2）三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點。
當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：
長度相等、方向相反的向量，叫做 ＝ ＋（ ）＝（ ）＋ ；
（iii）若 、 是互為相反向量，則 ， ＝ ， 。
②向量減法：向量 加上 的相反向量叫做 與 的差，
記作： 求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。
③作圖法： 的終點的向量（ 、 有共同起點）。
4. 實數(shù)與向量的積：
①實數(shù)λ與向量 的積是一個向量，記作λ ，它的長度與方向規(guī)定如下：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ）當 的方向與 的方向相同；當 的方向與 的方向相反；當 時， 共線 有且只有一個實數(shù) ，使得 ＝ ，有且只有一對實數(shù) 其中不共線的向量 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。
7. 特別注意：
（1）向量的加法與減法是互逆運算。
（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件。
（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況。
（4）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)。
本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進行綜合考查，是知識的交匯點。
【典型例題
例1. 給出下列命題：
①若 ，則 ；
②若B，C，ABCD為平行四邊形的充要條件；
③若 ， ，則 ，
④ 的充要條件是 且 ；
⑤若 ，<0" style=' > //<1" style=' > ，則<2" style=' > //<3" style=' > ，
其中正確的序號是 。
解：①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同。
②正確．∵ ，∴ 且 ，
又B，C，ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形 且 ，
因此， 。
③正確．∵ ，∴ 的長度相等且方向相同；
又 ，∴ 的長度相等且方向相同，
∴ 的長度相等且方向相同，故 。
④不正確．當 且方向相反時，即使 ，也不能得到 ，故 且 不是 的充要條件，而是必要不充分條件。
⑤ 不正確．考慮 這種特殊情況．
綜上所述，正確命題的序號是②③．
點評：本例主要向量的基本概念．向量的基本概念較多，因而容易遺忘．為此，時一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與中、生活中的模型進行類比和聯(lián)想．
例2. 如圖所示，已知正六邊形O是它的中心，若 ＝ ＝ ， ， ， 分析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量 來表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可．
解：因為六邊形ABCDEF是正六邊形，所以它的中心A，B，ABCO，
所以 ，
所以 ＋ ＝ ＋A，O，ABOF，
所以 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋BCDO中， ＝ ＋（ ）＝ ， －A，C，E，F(xiàn)及 ， ， ，例3. 設B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡：
①
解：①原式＝
③原式＝ 例4. 設 、 為已知向量，解方程2 ＋3 -3 ＝0。
－3 ＋ ＝ ＋ 。
例5. 設非零向量 ＝k ＋k （kÎR），若 ∥
∴由向量共線的充要條件得： ＋ ＝λ（ ＋（1-λk） ＝ 、 不共線
∴由平面向量的基本定理
例6. 如圖：已知在平行四邊形ABCD中，AH＝HD，BF＝MC＝ BC，設 ， 、 分別表示 、
解：∵平行四邊形ABCD中，BF＋MC＝ BC，
∴FM＝ BC＝ AD＝AH ∴FM SHAPE \* MERGEFORMAT AH
∴四邊形AHMF也是平行四邊形，∴AF＝HM
又 ，而 ＝ ＝ - - ） ＝ ＋
例7. 求證：起點相同的三個非零向量 ，3 的終點在同一條直線上。
O， ＝ ＝ ＝3 ，
則 ＝2（ ）， ＝ ， ，
∵A，因此，B， ， －2 中，設 （ ）
A. C.
2. 化簡： A. B. D. 3. 在平行四邊形 中，A. B. D. 4. 給出下列3個向量等式，其中正確的個數(shù)為（ ）
（1）
（2）（3）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 若向量A. B.
C. D.
6. 下列命題中，正確的命題是（ ）
A. 且
B. 或
C. 若 則
D. 若
7. 已知 是平行四邊形，O為平面上任意一點，設A. C. D.
8. 向量A. 向量 ＋ 與B. 向量 ＋ 與 的方向相同；
C. 向量 則向量 同向；
D. 向量 則向量 同向
9. 下列說法中錯誤的是（ ）
A. 零向量沒有方向 B. 零向量與任何向量平行
C. 零向量的長度為零 D. 零向量的方向是任意的
10. 下列命題正確的是（ ）
A. 向量B. 若 ，則A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形
C. 若 ＝
D. 兩向量相等的充要條件是它們的始點、終點相同
11. 在平行四邊形ABCD中， ＋ 等于（ ）
A. C. ?ぜ/p>
12. 下列命題正確的是（ ）
A. 向量 與 平行 且 平行 ，則 。
13. 在平行四邊形 中，若 。
15. 化簡： 、 滿足條件 ， ，則 的最大值是 ；最小值是 。
17. 等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，M為AB的中點，設 ，試用 、 。
18. 一架飛機從A地按北偏西30°的方向飛行300km后到達B地，然后向C地飛行。已知C地在A地北偏東60°的方向處，且A、C兩地相距300km，求飛機從B地向C地飛行的方向及B、C兩地的距離（要求畫出向量圖形）。
【答案
1、B 2、C 3、B 4、C 5、C 6、D
7、B 8、D 9、A 10、A 11、A 12、A
13、矩形 14、 16、
17、 。
18、距離為 ；方向是東偏南15°（或南偏東75°）。
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