一. 教學(xué)內(nèi)容：平面向量、平面向量的基本運(yùn)算

二. 本周教學(xué)目標(biāo)：

要求：

1. 理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。

2. 掌握向量的加法和減法。

3. 掌握實數(shù)與向量的積 理解兩個向量共線的充要條件。

三. 本周要點(diǎn)：

知識點(diǎn)歸納：

1. 向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用 ……來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如： ， 。向量的大小即向量的模（長度），記作 即向量的大小，記作｜ ，其方向是任意的， ＝ ｜＝0。由于 平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件。（注意與0的區(qū)別）

③單位向量：模為1個單位長度的向量。

向量 ｜＝1。

④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上。方向相同或相反的向量，稱為平行向量。記作 相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為 。

2. 向量加法

求兩個向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。

設(shè) ＋ ＝ ＝ ；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；

向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：

（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。

（2）三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個向量的起點(diǎn)指向最后一個向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。

當(dāng)兩個向量的起點(diǎn)公共時，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：

長度相等、方向相反的向量，叫做 ＝ ＋（ ）＝（ ）＋ ；

（iii）若 、 是互為相反向量，則 ， ＝ ， 。

②向量減法：向量 加上 的相反向量叫做 與 的差，

記作： 求兩個向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。

③作圖法： 的終點(diǎn)的向量（ 、 有共同起點(diǎn)）。

4. 實數(shù)與向量的積：

①實數(shù)λ與向量 的積是一個向量，記作λ ，它的長度與方向規(guī)定如下：

（Ⅰ） ；

（Ⅱ）當(dāng) 的方向與 的方向相同；當(dāng) 的方向與 的方向相反；當(dāng) 時， 共線 有且只有一個實數(shù) ，使得 ＝ ，有且只有一對實數(shù) 其中不共線的向量 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。

7. 特別注意：

（1）向量的加法與減法是互逆運(yùn)算。

（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件。

（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況。

（4）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)。

本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點(diǎn)的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進(jìn)行綜合考查，是知識的交匯點(diǎn)。

【典型例題

例1. 給出下列命題：

①若 ，則 ；

②若B，C，ABCD為平行四邊形的充要條件；

③若 ， ，則 ，

④ 的充要條件是 且 ；

⑤若 ，<0" style=' > //<1" style=' > ，則<2" style=' > //<3" style=' > ，

其中正確的序號是 。

解：①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同。

②正確．∵ ，∴ 且 ，

又B，C，ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形 且 ，

因此， 。

③正確．∵ ，∴ 的長度相等且方向相同；

又 ，∴ 的長度相等且方向相同，

∴ 的長度相等且方向相同，故 。

④不正確．當(dāng) 且方向相反時，即使 ，也不能得到 ，故 且 不是 的充要條件，而是必要不充分條件。

⑤ 不正確．考慮 這種特殊情況．

綜上所述，正確命題的序號是②③．

點(diǎn)評：本例主要向量的基本概念．向量的基本概念較多，因而容易遺忘．為此，時一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想．

例2. 如圖所示，已知正六邊形O是它的中心，若 ＝ ＝ ， ， ， 分析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量 來表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可．

解：因為六邊形ABCDEF是正六邊形，所以它的中心A，B，ABCO，

所以 ，

所以 ＋ ＝ ＋A，O，ABOF，

所以 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋BCDO中， ＝ ＋（ ）＝ ， －A，C，E，F(xiàn)及 ， ， ，例3. 設(shè)B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡：

①

解：①原式＝

③原式＝ 例4. 設(shè) 、 為已知向量，解方程2 ＋3 -3 ＝0。

－3 ＋ ＝ ＋ 。

例5. 設(shè)非零向量 ＝k ＋k （kÎR），若 ∥

∴由向量共線的充要條件得： ＋ ＝λ（ ＋（1-λk） ＝ 、 不共線

∴由平面向量的基本定理

例6. 如圖：已知在平行四邊形ABCD中，AH＝HD，BF＝MC＝ BC，設(shè) ， 、 分別表示 、

解：∵平行四邊形ABCD中，BF＋MC＝ BC，

∴FM＝ BC＝ AD＝AH ∴FM SHAPE \* MERGEFORMAT AH

∴四邊形AHMF也是平行四邊形，∴AF＝HM

又 ，而 ＝ ＝ - - ） ＝ ＋

例7. 求證：起點(diǎn)相同的三個非零向量 ，3 的終點(diǎn)在同一條直線上。

O， ＝ ＝ ＝3 ，

則 ＝2（ ）， ＝ ， ，

∵A，因此，B， ， －2 中，設(shè) （ ）

A. C.

2. 化簡： A. B. D. 3. 在平行四邊形 中，A. B. D. 4. 給出下列3個向量等式，其中正確的個數(shù)為（ ）

（1）

（2）（3）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5. 若向量A. B.

C. D.

6. 下列命題中，正確的命題是（ ）

A. 且

B. 或

C. 若 則

D. 若

7. 已知 是平行四邊形，O為平面上任意一點(diǎn)，設(shè)A. C. D.

8. 向量A. 向量 ＋ 與B. 向量 ＋ 與 的方向相同；

C. 向量 則向量 同向；

D. 向量 則向量 同向

9. 下列說法中錯誤的是（ ）

A. 零向量沒有方向 B. 零向量與任何向量平行

C. 零向量的長度為零 D. 零向量的方向是任意的

10. 下列命題正確的是（ ）

A. 向量B. 若 ，則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形

C. 若 ＝

D. 兩向量相等的充要條件是它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)相同

11. 在平行四邊形ABCD中， ＋ 等于（ ）

A. C. ?ぜ/p>

12. 下列命題正確的是（ ）

A. 向量 與 平行 且 平行 ，則 。

13. 在平行四邊形 中，若 。

15. 化簡： 、 滿足條件 ， ，則 的最大值是 ；最小值是 。

17. 等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，M為AB的中點(diǎn)，設(shè) ，試用 、 。

18. 一架飛機(jī)從A地按北偏西30°的方向飛行300km后到達(dá)B地，然后向C地飛行。已知C地在A地北偏東60°的方向處，且A、C兩地相距300km，求飛機(jī)從B地向C地飛行的方向及B、C兩地的距離（要求畫出向量圖形）。

【答案

1、B 2、C 3、B 4、C 5、C 6、D

7、B 8、D 9、A 10、A 11、A 12、A

13、矩形 14、 16、

17、 。

18、距離為 ；方向是東偏南15°（或南偏東75°）。

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