反證法是根據(jù)“正難則反”的原理,即如果正面證明有困難時(shí),或者直接證明需要分多種情況而反面只有一種情況時(shí),可以考慮用反證法。反證法不僅在幾何中有著廣泛的應(yīng)用,而且在代數(shù)中也經(jīng)常出現(xiàn)。用反證法證明不等式就是最好的應(yīng)用。
要證明不等式A>B,先假設(shè)A≤B,然后根據(jù)題設(shè)及不等式的性質(zhì),推出矛盾,從而否定假設(shè)。要證明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼,若正面難以找到解題的突破口,可轉(zhuǎn)換視角,用反證法往往立見(jiàn)奇效。
例1. 設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),求證:下列三個(gè)不等式①a+b<c+d,②< > < style='width:116.25pt; > ,③ 。
由不等式③得 高中英語(yǔ),< style='width:204.75pt;>
因?yàn)?,所以
綜合不等式②,得 ,即 ,即 求證: 。
證明:由 知 ,則 ,即
從而 ,與已知矛盾。
∴假設(shè)不成立,從而
同理,可證 。
例3. 若 。
因?yàn)?所以
又 ,即 ,即 。
例4. 設(shè)a,b,c均為小于1的正數(shù),求證: , 不能同時(shí)大于 。
證明:假設(shè) 同時(shí)大于 ,即 , ,可得 , ,所以假設(shè)不成立。
∴原結(jié)論成立。
例5. 若 ,
假設(shè)有
同理,
①+②+③,得 , 不能同時(shí)大于1。
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