一.觀察法
通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。
例1求函數(shù)y=3+√(2-3x)的值域。
點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√(2-3x)的值域。
解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3�！嗪瘮�(shù)的值域?yàn)閧y?y≥3｝.
點(diǎn)評：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：(1)被開方數(shù)的非負(fù)性，(2)值的非負(fù)性。
本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。練習(xí)：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域?yàn)椋簕0，1，2，3，4，5｝)
二.反函數(shù)法
當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。
例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。
點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。
解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域?yàn)閥≠1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)閧y?y≠1,y∈R｝。
點(diǎn)評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。
這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數(shù)的值域?yàn)閧y?y1｝)
三.配方法
當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以利用配方法求函數(shù)值域
例3：求函數(shù)y=√(-x2+x+2)的值域。
點(diǎn)撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。
解：由-x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[-1，2]。此時(shí)-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]
點(diǎn)評：求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。
配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。練習(xí)：求函數(shù)y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域?yàn)閧y?y≤3})
四.判別式法
若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。
例4求函數(shù)y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
點(diǎn)撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。
解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)當(dāng)y≠2時(shí),由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2當(dāng)y=2時(shí),方程(*)無解。∴函數(shù)的值域?yàn)?點(diǎn)評：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實(shí)數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。
練習(xí)：求函數(shù)y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域?yàn)閥≤-8或y>0)。
五.最值法
對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。
點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。
解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。當(dāng)x=-1時(shí)，z=-5;當(dāng)x=3/2時(shí)，z=15/4。∴函數(shù)z的值域?yàn)閧z?-5≤z≤15/4｝。
點(diǎn)評：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。
練習(xí)：若√x為實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域?yàn)?)A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)；(答案：D)。
六.圖象法
通過觀察函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。
例6求函數(shù)y=?x+1?+√(x-2)2的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)絕對值的意義，去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。
解：原函數(shù)化為-2x+1(x≤1)y=3(-12)顯然函數(shù)值y≥3,所以，函數(shù)值域[3，+∞]。
點(diǎn)評：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點(diǎn)。利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。
七.單調(diào)法
利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。
例7求函數(shù)y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
點(diǎn)撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域?yàn)閤≤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。
解：設(shè)f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x在定義域?yàn)閤≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域?yàn)閧y|y≤4/3｝。
點(diǎn)評：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。
練習(xí)：求函數(shù)y=3+√4-x的值域。(答案：{y|y≥3｝)
八.換元法
以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進(jìn)而求出值域。
例8求函數(shù)y=x-3+√2x+1的值域。
點(diǎn)撥：通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。
解：設(shè)t=√2x+1(t≥0),則x=1/2(t2-1)。于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≥-7/2｝。
點(diǎn)評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。
練習(xí)：求函數(shù)y=√x-1?x的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝
九.構(gòu)造法
根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。
例9求函數(shù)y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
點(diǎn)撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識，確定出函數(shù)的值域。
解：原函數(shù)變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一個(gè)長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個(gè)單位正方形。設(shè)HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1。由三角形三邊關(guān)系知，AK+KC≥AC=5。當(dāng)A、K、C三點(diǎn)共線時(shí)取等號�！嘣瘮�(shù)的值域?yàn)閧y|y≥5｝。
點(diǎn)評：對于形如函數(shù)y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數(shù))，均可通過構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。
練習(xí)：求函數(shù)y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y≥5√2｝)
十.比例法
對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而求出原函數(shù)的值域。
例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。
點(diǎn)撥：將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。
解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。當(dāng)k=-3/5時(shí)，x=3/5,y=-4/5時(shí)，zmin=1。函數(shù)的值域?yàn)閧z|z≥1｝.
點(diǎn)評：本題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識。
練習(xí)：已知x,y∈R，且滿足4x-y=0,求函數(shù)f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)
十一.利用多項(xiàng)式的除法
例11求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。
點(diǎn)撥：將原分式函數(shù)，利用長除法轉(zhuǎn)化為一個(gè)整式與一個(gè)分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)�！�1/(x+1)≠0，故y≠3�！嗪瘮�(shù)y的值域?yàn)閥≠3的一切實(shí)數(shù)。
點(diǎn)評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。
練習(xí)：求函數(shù)y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案：y≠2)
十二.不等式法
例12求函數(shù)Y=3x/(3x+1)的值域。
點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)自變量的取值范圍，構(gòu)造不等式。
解：易求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log3[x/(1-x)],由對數(shù)函數(shù)的定義知x/(1-x)>0，1-x≠0。解得：01或y
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來源：新東方
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