“悖論”這個(gè)詞的意義比較豐富，它包括一切與人的直覺和日常經(jīng)驗(yàn)相矛盾的數(shù)學(xué)結(jié)論。那些結(jié)論會使我們驚訝無比。悖論主要有三種形式：1.一種論斷看起來好象肯定錯(cuò)了，實(shí)際上卻是對的（佯謬）；2.一種論斷看起來好象肯定對了，實(shí)際上卻錯(cuò)了（似是而非）；3.一系列理論看起來好象無懈可擊，卻導(dǎo)致了邏輯上自相矛盾。
悖論有點(diǎn)象變戲法，人們看完以后，幾乎沒有一個(gè)不驚訝得馬上就想知道：“這套戲法是怎么搞成的？”當(dāng)把技巧告訴他后，他便不知不覺地被引進(jìn)深?yuàn)W而有趣的數(shù)學(xué)世界中。
著名的《科學(xué)美國人》雜志社編的《數(shù)學(xué)悖論奇景》中，有不少生動(dòng)而奇妙的題目，下面幾則便選自其中。有的題目作了簡略的分析，有的只提出問題，留侍讀者去思索。
1.唐·吉訶德悖論
小說《唐·吉訶德》里描寫過一個(gè)國家，它有一條奇怪的法律，每個(gè)旅游者都要回答一個(gè)問題：“你來這里做什么？”回答對了，一切都好辦；回答錯(cuò)了，就要被絞死。
一天，有個(gè)旅游者回答：“我來這里是要被絞死。”
旅游者被送到國王那里。國王苦苦想了好久：他回答得是對還是錯(cuò)？究竟要不要把他絞死。如果說他回答得對，那就不要絞死他——可這樣一來，他的回答又成了錯(cuò)的了！如果說他回答錯(cuò)了，那就要絞死他——但這恰恰又證明他回答對了。實(shí)在是左右為難！
2.梵學(xué)者的預(yù)言
一天，梵學(xué)者與他的女兒蘇耶發(fā)生了爭論。
蘇椰：你是一個(gè)大騙子，爸爸。你根本不能預(yù)言未來。
學(xué)者：我肯定能。
蘇椰：不，你不能。我現(xiàn)在就可以證明它！
蘇椰在一張紙上寫了一些字，折起來，壓在水晶球下。她說：
“我寫了一件事，它在3點(diǎn)鐘前可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。請你預(yù)言它究竟是不是會發(fā)生，在這張白卡片上寫下‘是’字或‘不’字。要是你寫錯(cuò)了，你答應(yīng)現(xiàn)在就買輛汽車給我，不要拖到以后好嗎？”
“好，一言為定。”學(xué)者在卡片上寫了一個(gè)字。
3點(diǎn)鐘時(shí)，蘇椰把水晶球下面的紙拿出來，高聲讀道：“在下午3點(diǎn)以前，你將寫一個(gè)‘不’字在卡片上。”
學(xué)者在卡片上寫的是“是”字，他預(yù)言錯(cuò)了：“在下午3點(diǎn)以前，寫一個(gè)‘不’字在卡片上”這一件事并未發(fā)生。但如果他在卡片上寫的是“不”呢？也還錯(cuò)！因?yàn)閷?ldquo;不”就表示他預(yù)言卡片上的事不會發(fā)生，但它恰恰發(fā)生了——他在卡片上寫的就是一個(gè)‘不’字。
蘇椰笑了：“我想要一輛紅色的賽車，爸爸，要帶斗形座的。”
3.意想不到的老虎
公主要和邁克結(jié)婚，國王提出一個(gè)條件：
“我親愛的，如果邁克打死這五個(gè)門后藏著的一只老虎，你就可以和他結(jié)婚。邁克必須順次序開門，從1號門開始。他事先不知道哪個(gè)房間里有老虎，只有開了那扇門才知道。這只老虎的出現(xiàn)將是料想不到的。”
邁克看著這些門，對自己說道：
“如果我打開了四個(gè)空房間的門，我就會知道老虎在第五個(gè)房間�？墒�，國王說我不能事先知道它在哪里，所以老虎不可能在第五個(gè)房間。”
“五被排除了，所以老虎必然在前四個(gè)房間內(nèi)。同樣的推理，老虎也不會在最后一個(gè)房間——第四間內(nèi)。”
按同樣的理由推下去，邁克證明老虎不能在第三、第二和第一個(gè)房間。邁克十分快樂，他滿懷信心地去看門。使他驚駭?shù)氖�，老虎從第二個(gè)房間跳了出來。
邁克的推理并沒有錯(cuò)，但他失敗了。老虎的出現(xiàn)完全出乎意料，表明國王遵守了他的諾言。也許，邁克進(jìn)行推理的本身就與國王關(guān)于老虎“料想不到”的條件發(fā)生了矛盾。迄今為止，邏輯學(xué)家對于邁克究竟錯(cuò)在哪里還末得到一致意見。
4.錢包游戲
史密斯教授和兩個(gè)學(xué)生一道吃午飯。教授說：“我來告訴你們一個(gè)新游戲。把你們的錢包放在桌子上，我來數(shù)里面的錢。錢少的人可以贏掉另一個(gè)錢包中的所有錢。”
學(xué)生甲想：“如果我的錢多，就會輸?shù)粑疫@些錢；如果他的多，我就會贏多于我的錢。所以贏的要比輸?shù)亩�，這個(gè)游戲?qū)ξ矣欣?rdquo;
同樣的道理，學(xué)生乙也認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)λ欣?
請問，一個(gè)游戲怎么會對雙方都有利呢？
5.一塊錢哪兒去了？
一個(gè)唱片商店里，賣30張老式硬唱片，一塊錢兩張；另外30張軟唱片是一塊錢三張。那天，這60張唱片賣光了。30張硬唱片收入15元，30張軟唱片收入10元，總共是25元。
第二天，老板又拿出60張唱片。他想：“如果30張唱片是一塊錢賣兩張，30張是一塊錢賣三張，何不放在一起，兩塊錢賣5張呢？”這一天，60張唱片全按兩塊錢5張賣出去了。老板點(diǎn)錢時(shí)才發(fā)現(xiàn)，只賣得24元，而不是25元。
這一塊錢到哪兒去了呢？
6.驚人的編碼
外星的一位科學(xué)家基塔先生，來到地球收集人類的資料，遇到了赫爾曼博士。
赫爾曼：“你何不帶一套大英百科全書回去？這套書最全面地匯總了我們的所有知識。”
基塔：“可惜，我?guī)Р蛔吣敲粗氐臇|西。不過，我可以把整套百科全書編碼，然后只要在這根金屬棒上作個(gè)標(biāo)記，就代表了百科全書中的全部信息。”真是再簡單不過了！
基塔先生是怎樣做到的呢？
基塔：“我先把每個(gè)字母、數(shù)字、符號，都用一個(gè)數(shù)來代表，零用來隔開它們。例如cat一詞就編為3－0－1－0－22。我用高級袖珍計(jì)算機(jī)快速掃描，就能把百科全書的全部內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋�(gè)龐大的數(shù)字。前面加一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，就使它變成了一個(gè)十進(jìn)制的分?jǐn)?shù)，例如0.2015015011……
基塔先生在金屬棒上找到了一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)將棒分為a和b兩段，而a／b剛好等于上面那個(gè)十進(jìn)制分?jǐn)?shù)值。
基塔：“回去后，測出a和b的值，就求出了它們的比值；根據(jù)編碼的規(guī)定，你們的百科全書就被破譯出來了。”
這樣，基塔離開地球時(shí)只帶了一根金屬棒，而他卻已“滿載而歸”了！
7.不可逃遁的點(diǎn)
帕特先生沿著一條小路上山。他早晨七點(diǎn)動(dòng)身，當(dāng)晚七點(diǎn)到達(dá)山頂。第二天早晨沿同一小路下，晚上七點(diǎn)又回到山腳，遇見了拓?fù)鋵W(xué)老師克萊因。
克萊因：“帕特，你可曾知道你今天下山時(shí)走過這樣一個(gè)地點(diǎn)，你通過這點(diǎn)的時(shí)刻恰好與你昨天上山時(shí)通過這點(diǎn)的時(shí)刻完全相同？”
帕特：“這絕不可能！我走路時(shí)快時(shí)慢，有時(shí)還停下來休息。”
克萊因：“當(dāng)你開始下山時(shí)，設(shè)想你有一個(gè)替身同時(shí)開始登山，這個(gè)替身登山的過程同你昨天登山時(shí)完全相同。你和這個(gè)替身必定要相遇。我不能斷定你們在哪一點(diǎn)相遇，但一定會有這樣一點(diǎn)。……”
帕特明白了。你明白了嗎？
8.橡皮繩上的蠕蟲
橡皮繩長1公里,一條蠕蟲在它的一端。蠕蟲以每秒1厘米的穩(wěn)定速度沿橡皮繩爬行；而橡皮繩每過1秒鐘就拉長1公里。如此下去，蠕蟲最后究竟會不會到達(dá)終點(diǎn)呢？
乍一想，隨著橡皮繩的拉伸，蠕蟲離終點(diǎn)越來越遠(yuǎn)了。但細(xì)心的讀者會想到：隨著橡皮繩的每次拉伸，蠕蟲也向前挪了。
如果用數(shù)學(xué)公式表示，蠕蟲在第n秒未在橡皮繩上的位置，表示為整條繩的分?jǐn)?shù)就是（推導(dǎo)過程從略）：
當(dāng)n足夠大（約為e100000）時(shí)，上式的值就超過了1，也就是說蠕蟲爬到了終點(diǎn)。
9.棘手的電燈
一盞電燈，用按鈕來開關(guān)。假定把燈擰開一分鐘，然后關(guān)掉半分鐘，再擰開1/4分鐘，再關(guān)掉1／8分鐘，如此往復(fù)，這一過程的末了恰好是兩分鐘。
那么，在這一過程結(jié)束時(shí)，電燈是開著，還是關(guān)著？這個(gè)問題實(shí)在是難！
10、羅素悖論
一天，一個(gè)理發(fā)師掛出了一塊招牌：“村里所有不自己理發(fā)的人都由我給他們理發(fā)，我也只給這些人理發(fā)。”于是有人問他：“您的頭發(fā)由誰理呢？”理發(fā)師頓時(shí)啞口無言。因?yàn)槿绻o自己理發(fā)，那么他就屬于自己給自己理發(fā)的那一類。但是，招牌上說明他不給這類理發(fā)，因此他不能自己理發(fā)。如果由另外一個(gè)人給他理發(fā)，他就是不給自己理發(fā)的人，而招牌上說明他要給所有不自己理發(fā)的人理發(fā)，因此他應(yīng)該自己理。由此可見，不管做怎樣的推論，理發(fā)師所說的話總是自相矛盾的。這是一個(gè)著名的悖論，稱為“羅素悖論”。這是由英國哲學(xué)家羅素提出來的，他把關(guān)于集合論的一個(gè)著名悖論用故事通俗地表述出來。 1874年，德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論，很快滲透到大部分?jǐn)?shù)學(xué)分支，成為他們的基礎(chǔ)。到19世紀(jì)末，全部數(shù)學(xué)幾乎都建立在集合論是基礎(chǔ)上了。就在這時(shí)，集合論中接連出現(xiàn)了一些自相矛盾的結(jié)果，特別是1902年“羅素悖論”的提出，它極為簡單、明確、通俗。于是，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)被動(dòng)搖了，這就是所謂的第三次“數(shù)學(xué)危機(jī)”。此后，為了克服這些悖論，數(shù)學(xué)家們做了大量研究工作，由此產(chǎn)生了大量新成果，也帶來了數(shù)學(xué)觀念的變革。
11、上帝不是萬能的
用反證法證明 證明：假設(shè)上帝是萬能的，那么上帝能造出一塊他自己都舉不起來的石頭， 否則上帝就不是萬能的；但是上帝又舉不起這塊石頭，因此上帝不是萬能的，這與假設(shè)矛盾；所以原假設(shè)不成立，即上帝不是萬能的
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