數(shù)學(xué)思想方法作為基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分,但又有別于基礎(chǔ)知識(shí)。除基本的數(shù)學(xué)方法以外,其他思想方法都呈隱蔽形式,滲透在學(xué)習(xí)新知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程之中。這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中把握滲透的時(shí)機(jī),選擇適當(dāng)?shù)姆椒?使學(xué)生能夠領(lǐng)悟并逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用這些思想方法去解決問(wèn)題。下面是筆者對(duì)在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法途徑的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)。
一、在知識(shí)的形成過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法
數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程實(shí)際上也是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生過(guò)程。任何一個(gè)概念,都經(jīng)歷著由感性到理性的抽象概括過(guò)程;任何一個(gè)規(guī)律,都經(jīng)歷著由特殊到一般的歸納過(guò)程。如果我們把這些認(rèn)識(shí)過(guò)程返璞歸真,在教師的引導(dǎo)下,讓學(xué)生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn),去參與概念的形成和規(guī)律的揭示過(guò)程,學(xué)生獲得的就不僅是數(shù)學(xué)概念、定理、法則,更重要的是發(fā)展了抽象概括的思維和歸納的思維,還可以養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)。因此,概念的形成過(guò)程、結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程、規(guī)律的被揭示過(guò)程都是滲透數(shù)學(xué)思想方法的極好機(jī)會(huì)和途徑。
1.展開(kāi)概念??不要簡(jiǎn)單地給定義
概念是思維的細(xì)胞,是濃縮的知識(shí)點(diǎn),是感性認(rèn)識(shí)飛躍到理性認(rèn)識(shí)的結(jié)果。而飛躍的實(shí)現(xiàn)要經(jīng)過(guò)分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工,依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)。因此概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)完整地體現(xiàn)這一生動(dòng)的過(guò)程,引導(dǎo)學(xué)生揭示隱藏于知識(shí)之中的思維內(nèi)核。心理學(xué)認(rèn)為,人對(duì)事物的第一次接觸是最敏感的,教學(xué)成功與否,關(guān)鍵是喚起對(duì)舊知識(shí)的回憶,探尋新知識(shí)的清澈的源頭。并通過(guò)事物的發(fā)生和發(fā)展的教學(xué),掌握活的數(shù)學(xué)概念。
例如,函數(shù)的概念學(xué)生在初中階段就已經(jīng)接觸,但較完整的定義卻在高中出現(xiàn)。如何在函數(shù)概念的教學(xué)中滲透函數(shù)思想呢?筆者認(rèn)為:中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)思想包括變數(shù)思想、集合的對(duì)應(yīng)(映射)思想、數(shù)形結(jié)合的思想、研究函數(shù)自變量、函數(shù)取值范圍以及變量之間關(guān)系的不等式控制思想等。其中變數(shù)思想是函數(shù)思想的基礎(chǔ),對(duì)應(yīng)思想是函數(shù)思想的實(shí)質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想和控制思想是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)和應(yīng)用。在函數(shù)知識(shí)的形成與學(xué)習(xí)過(guò)程中,應(yīng)逐步滲透上述思想。為此,根據(jù)高一學(xué)生的認(rèn)知水平,在函數(shù)概念教學(xué)時(shí)應(yīng)該抓住函數(shù)是兩個(gè)變量之間的一種特殊的對(duì)應(yīng)(映射)的思想進(jìn)行滲透�？梢酝ㄟ^(guò)豐富的實(shí)例,讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)是描述變量間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。
2.延遲判斷??不要過(guò)早地下結(jié)論
判斷可以看作是壓縮了的知識(shí)鏈。數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、法則、公理、關(guān)系、規(guī)律等結(jié)論都是一個(gè)個(gè)具體的判斷。教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極參與這些結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過(guò)程,弄清每個(gè)結(jié)論的因果關(guān)系,使學(xué)生看到某個(gè)判斷時(shí),能像回憶自己參加有趣活動(dòng)那樣津津樂(lè)道。當(dāng)然,延遲判斷,必定拉長(zhǎng)了教學(xué)時(shí)間,但磨刀不誤砍柴工,以后應(yīng)用就自如了。
3.激活推理??不要呆板地找關(guān)聯(lián)
激活推理就是要使判斷上下貫通,前后遷移、左右逢源,盡可能從已有的判斷生出眾多的思維觸角,促成思維鏈條的高效運(yùn)轉(zhuǎn),不斷在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下推出一個(gè)個(gè)新的判斷、新的思維結(jié)果。
如在立體幾何三垂線定理的教學(xué)中,為充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維活動(dòng),可以設(shè)計(jì)下列幾個(gè)問(wèn)題:①若直線l與平面α垂直,則l垂直α內(nèi)的任何直線,那么當(dāng)l是平面α的斜線時(shí),l與α內(nèi)的直線有幾種位置關(guān)系呢?②當(dāng)l是平面α的斜線時(shí),平面α內(nèi)有沒(méi)有直線與l垂直,在什么情況下,l與α內(nèi)的直線垂直?讓學(xué)生開(kāi)展討論,并闡述理由。③你覺(jué)得三垂線定理的本質(zhì)是什么?它有什么作用?
二、在解題探索過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法
教學(xué)大綱明確指出:“要加強(qiáng)對(duì)解題的正確指導(dǎo),引導(dǎo)學(xué)生從解題的思想方法上作必要的概括�！睌�(shù)學(xué)中的化歸、數(shù)學(xué)模型、數(shù)形結(jié)合、類比、歸納猜想等思想方法,既是解題思路分析中必不可少的思想方法,又是具有思維導(dǎo)向型的思想方法。如,學(xué)生一旦形成了化歸意識(shí),就能化未知為已知、化繁為簡(jiǎn)、化一般為特殊,優(yōu)化解題方法;數(shù)學(xué)思想方法在解題思路探索中的滲透,可以使學(xué)生的思維品質(zhì)更具合理性、條理性和敏捷性。如:
例1求f(x)=3sin(x+20°)+sin(x+80°)的最大值和最小值。
不少同學(xué)直接使用公式展開(kāi),結(jié)果相當(dāng)繁瑣,造成思維混亂�；膺@一問(wèn)題的方法是,將x+20°(或x+80°)看成一個(gè)整體,x+80°化為(x+20°)+60°。這里涉及了換元思想方法(整體思想方法)和化繁為簡(jiǎn)的化歸思想方法。在具體教學(xué)中,可以告知學(xué)生從函數(shù)解析式的特點(diǎn)看本題,本題的焦點(diǎn)是角度不同(即自變量不同)。因此,關(guān)鍵在于如何利用三角恒等變換公式將函數(shù)中的角化成同一個(gè)角。
例2圓周上有2007個(gè)點(diǎn),每?jī)牲c(diǎn)間連一條弦,如果其中任意三條弦在圓內(nèi)不共點(diǎn),求以這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)。
這是一個(gè)計(jì)數(shù)問(wèn)題,如果直接計(jì)算有相當(dāng)大的難度。為此,思考每一個(gè)圓內(nèi)三角形與圓上的點(diǎn)有什么關(guān)系?這種想法的實(shí)質(zhì)就是對(duì)應(yīng)思想(映射思想),是化歸思想方法中的一種。圓的三條弦恰好在圓內(nèi)交出一個(gè)三角形,弦不同所得的三角形也不同�？梢�(jiàn),每一個(gè)圓內(nèi)三角形與圓上的6個(gè)不同的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)一一映射,即f:{圓內(nèi)三角形}→{圓上六點(diǎn)組}。因此,符合條件的三角形有個(gè)。
三、在問(wèn)題的解決過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法
問(wèn)題解決,是以思考為內(nèi)涵,以問(wèn)題目標(biāo)為定向的心理活動(dòng),是在新情景下通過(guò)思考去實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的活動(dòng),“思考活動(dòng)”和“探索過(guò)程”是問(wèn)題解決的內(nèi)核。數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問(wèn)題解決,與其他科學(xué)領(lǐng)域用數(shù)學(xué)去解決問(wèn)題不同。數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的問(wèn)題解決,不僅關(guān)心問(wèn)題的結(jié)果,而且關(guān)心求得結(jié)果的過(guò)程,即問(wèn)題解決的整個(gè)思考過(guò)程。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決,是按照一定的思維對(duì)策進(jìn)行的思維過(guò)程。在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程中,既運(yùn)用抽象、歸納、類比、演繹等邏輯思維形式,又運(yùn)用直覺(jué)、靈感(頓悟)等非邏輯思維形式來(lái)探索問(wèn)題的解決辦法。
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