銳角三角形的垂足三角形有兩個(gè)重要的性質(zhì)，本文對(duì)這兩個(gè)性質(zhì)加以證明。
性質(zhì)1銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心。
已知：如圖1，銳角△ABC中，AD、BE、CF分別為邊BC、AC、AB上的高，O為垂心。
求證：點(diǎn)O為垂足△DEF的內(nèi)心。
證明：由已知條件可得D、C、E、O四點(diǎn)共圓，所以2=∠4；同理∠1=∠3，又∠3和∠4都與∠ABC互余，所以∠3=∠4；所以∠1=∠2，EB平分∠FED；同理可得FC、DA分別平分∠EFD與∠FDE。所以點(diǎn)O為△DEF的內(nèi)心。性質(zhì)1得證。
性質(zhì)2銳角三角形的所有內(nèi)接三角形中，垂足三角形的周長(zhǎng)最短。
為了證明性質(zhì)2，我們先看幾個(gè)引理：
引理1已知：如圖2，點(diǎn)E為銳角△ABC的邊AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為G，關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為H，GE交AB于點(diǎn)P，EH交BC于點(diǎn)Q，GH交AB、BC分別于點(diǎn)F、D，△EMN是過(guò)點(diǎn)E的任一異于△DEF的內(nèi)接三角形。若△DEF的周長(zhǎng)記為L(zhǎng)1，△EMN的周長(zhǎng)記為L(zhǎng)2。則有⑴L1=2PQ；⑵L1<L2。
證明：⑴連結(jié)MG、MH，由已知條件可得，PQ為△EGH的中位線，所以L1=2PQ；
�、朴梢阎獥l件易得L1=EF+FD+DE=GF+FD+DH=GH，L2=EM+MN+EN=GM+MN+NH>GH，所以L1<L2。
注：引理1證明了過(guò)三角形邊上任一點(diǎn)存在周長(zhǎng)最短的內(nèi)接三角形，且其周長(zhǎng)為定值。
引理2已知：如圖3，若△DEF為銳角△ABC的垂足三角形，則△DEF是過(guò)點(diǎn)E的△ABC的內(nèi)接三角形中周長(zhǎng)最短的三角形。
證明：作點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為G，關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)H，連結(jié)FG、DH、CF，由定理1可知，∠1=∠2；由對(duì)稱性可得，∠3=∠4；再由CF⊥AB于F得，∠2+∠3=∠AFC=90o；所以∠1+∠2+∠3+∠4=2∠AFC=180o，即點(diǎn)G、F、D在同一直線上；同理可得，點(diǎn)H、D、F在同一直線上。所以，點(diǎn)G、F、D、H在同一直線GH上。所以F、D必為GH與AB、BC的交點(diǎn)。所以，由引理1可知△DEF是過(guò)點(diǎn)E的△ABC的內(nèi)接三角形中周長(zhǎng)最短的三角形。引理2得證。
注：引理2證明了垂足三角形是過(guò)某一垂足點(diǎn)的周長(zhǎng)最短的內(nèi)接三角形。
引理3在同圓或等圓中，相等的圓周（心）角所對(duì)的弦相等；在不等圓中，相等的圓周（心）角所對(duì)的弦，大圓的弦大于小圓的弦。（證明略）
性質(zhì)2的證明：如圖4，△DEF為銳角△ABC的垂足三角形（由引理2可得，△DEF為過(guò)點(diǎn)E的周長(zhǎng)最短的內(nèi)接三角形），△D1E1F1是過(guò)點(diǎn)E1的△ABC的內(nèi)接三角形中周長(zhǎng)最短的三角形（E1為AC邊上異于點(diǎn)E的點(diǎn)）。以下證明△DEF的周長(zhǎng)（記為L(zhǎng)1）小于△D1E1F1的周長(zhǎng)（記為L(zhǎng)2）。
作點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為G，關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為H，連結(jié)GE交AB于點(diǎn)P，連結(jié)EH交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)GH必交AB、BC分別于點(diǎn)F、D（由引理2保證）；作點(diǎn)E1關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為G1，關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為H1，連結(jié)G1E1交AB于點(diǎn)P1，連結(jié)E1H1交AC于點(diǎn)Q1，連結(jié)G1H1必交AB、BC分別于點(diǎn)F1、D1（由引理1保證）；由引理1可得，L1=2PQ，L2=2P1Q1；由對(duì)稱性可得EP⊥AB于P，EQ⊥BC于Q，所以，點(diǎn)E、P、B、Q在以BE為直徑的圓上；同理可得點(diǎn)E1、P1、B、Q1在以BE1為直徑的圓上。所以，線段PQ、P1Q1可以分別看以BE、BE1為直徑的兩不等圓中相等的圓周角∠ABC所對(duì)的兩條弦。又因?yàn)锽E是垂線段，所以BE<BE1，由引理3可得PQ<P1Q1，所以L1<L2。性質(zhì)2得證。
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