從角的歷史來看，其核心作用在于描述方向的改變.因此，凡是與方向以及方向改變有關的內容都與角相關聯.
比如“平移與旋轉”，所謂“平移”就是物體沿著直線運動，不改變方向.這里所說的不改變方向可以從兩個方面理解，一是物體上的同一個點在運動過程中永遠在同一條直線上，不改變方向；二是物體上兩個不同的點分別沿著兩條直線運動，這樣的兩條直線方向是一致的，也即是平行的.“旋轉”是一種物體在運動過程中，方向不斷改變的運動.所謂方向不斷改變的含義是物體上的同一個點在任意兩個不同時刻，在旋轉一周之內其運動方向都不一樣.數學中描述這種方向的改變通常依賴的是“圓心角”或切線的斜率，這些概念都是與角密切相關的.由此進一步說明了角的核心作用在于描述方向的改變.旋轉作為方向不斷改變的一種運動，其特殊性在于方向改變的均勻性.這種均勻性表現為物體上一個點如果轉過的弧長相同，那么對應的圓心角也一定是相同的.
由此可見，“平移與旋轉”這一課程內容，與角的認識密不可分.在教學中應當充分認識到這一點，將方向與角的相關聯系融入到教學中，使得學生逐步熟悉角這一概念用于描述方向的重要作用.類似于此，與方向和角有關的內容，還有方向與位置、圓的認識、鐘表的認識、平行與相交、多邊形內角和等.從度量的角度說，方向還可以通過線段長度的比來確定.因此，角與比也是密不可分的.下面通過例子說明這些關聯性.
一、折線統(tǒng)計圖與角
“折線統(tǒng)計圖”通常被認為是描述發(fā)展趨勢的.這種說法有一定道理，但并不完全準確.因為“趨勢”指的是將來會怎么樣，是一種主觀的預測.影響這種預測的因素根據實際問題的不同，差異是很大的.嚴格意義上來說，從折線統(tǒng)計圖上可以看到從過去到現在的發(fā)展狀況，至于未來的發(fā)展趨勢，需要具體問題具體分析.比如，如果圖1的橫軸表示時間，縱軸表示氣溫，那么從早晨到中午是上升的趨勢，由此就不能說往后氣溫還會繼續(xù)上升.
這里主要想說明折線統(tǒng)計圖與角的聯系.從圖1上的折線可以看出，總體是上升的，但上升的“坡度”是有變化的.比如，從O到A上升的坡度就小于從A到B的上升坡度；從B到C就沒有上升；從C到D與開始從O到A的上升坡度是一樣的.從數學的意義看，決定這種“坡度”的因素是什么呢？
從O到B在A點出現了“拐彎”，也就是出現了“角”，這就是《幾何原本》英譯本中說的“傾斜”.為什么會出現角，原因就是從A到B與從O到A相比，方向發(fā)生了改變.換一個說法，就是線段OA和線段AB各自所在直線的方向不同了.這種方向的不同在數學中通常是用水平方向（橫軸）作為比較的標準.從圖1不難看出，線段OA與水平方向的夾角∠AOE,要小于線段AB與水平方向的夾角∠BAF.所以方向的改變反映出的是角的大小的改變，又一次說明了角用于表達方向的意義.
另外從圖1看到，在三角形AOE中，線段AE與OE的比是1∶2；在三角形ABF中，類似的比是3∶2.所以角的變化還與相應線段長度的比有關，中學將要學習的三角函數和直線的斜率就是由此產生的.上面的比值1/2和3/2分別叫做線段OA和線段AB所在直線的斜率，即傾斜的程度.也就是直線與橫軸向右的方向夾角的正切.圖1中BC線段的方向與水平方向一致，所以斜率為0，意味著沒有變化；CD的斜率是2/4=1/2，與OA的斜率相同，說明與OA方向一致.如果把線段OA和CD分別延長，就會發(fā)現這兩條直線平行.所以決定折線統(tǒng)計圖上升坡度的因素是角.
折線統(tǒng)計圖的教學不能僅限于所謂的實際意義方面，還應當把角的理解融入進去，使得這一內容具有“數學味”.這樣不僅能夠加深對角相關知識的理解，還能提升學生說理的能力，從知識和能力方面為今后的學習奠定基礎.
二、速度與角
與運動有關的問題通常需要研究運動的時間、距離和速度三者之間的關系.對于運動過程中速度不變的運動叫做勻速運動，速度發(fā)生變化的運動叫做變速運動.為了研究的方便，可以畫出如下的折線圖（見圖2）.
在圖2中，假設某點從O點經A、B、C點向D點運動，橫軸表示運動經過的時間.從O點到A點的運動時間與從A點到B點的運動時間是相同的（因為OE=AF），但從圖2中明顯看出運動距離EA和FB是不一樣的.相同時間運動距離不同，說明運動速度不同.在圖2中顯示出的就是EA和FB與水平方向的夾角∠AOE和∠BAF不同.從B點到C點和從C點到D點運動時間和運動距離都是相同的，說明速度沒有發(fā)生變化，圖2中顯示出的是∠CBG和∠DCI相同.因此，從B到D就是勻速運動.
如果用這樣的折線圖研究距離、速度和時間三者的關系，那么運動速度實際上在圖中是由角度決定的.如果運動速度時時刻刻都在變化，可以想象折線就會成為曲線了，因為角度是在不斷變化，數學中通常叫做連續(xù)變化.對于角度連續(xù)變化的曲線，就要利用曲線的“切線”及其斜率來描述速度的變化規(guī)律了，微積分中的導數概念就是這樣產生的.在微積分中計算曲線弧的長度實際上也是利用這樣的方法.
三、周角與三角形內角和
周長與周角中的“周”意義是相同的，都有“旋轉一圈”的意思.用角度理解“旋轉一圈”，就是旋轉了360度.以長方形為例，在圖3長方形ABCD中，想象A點位置有一只螞蟻向右沿著AB邊爬行，到B點拐彎向上沿著BC邊繼續(xù)爬行，到C點拐彎向左沿著CD邊爬行，到D點拐彎向下爬行到A點拐彎向右，并停止爬行.這時候，螞蟻回到出發(fā)時的狀態(tài)，即位于A點，頭朝向B點方向.那么螞蟻爬行的軌跡就形成了這個長方形的“周”，螞蟻爬行的距離就是長方形的周長.如果把螞蟻從出發(fā)到回來的方向因素考慮進來，那么螞蟻在爬行過程中拐彎所轉過的角度總和一定等于周角360度.比如，螞蟻爬行到B點時，爬行方向由“向右”轉向“向上”，轉過的角度是90度；到C點由“向上”轉向“向左”，轉過的角也是90度.依此類推，螞蟻從出發(fā)到回來，一共拐彎4次，每次轉過的角度都是90度，所以螞蟻爬行一周所轉過的角度總和是360度.用類似方法還可以證明“三角形內角和等于180度”.
在圖4三角形ABC中，假設一只螞蟻從A點出發(fā)，沿著三角形的三條邊爬行，最后回到A點位置，并且頭的朝向與出發(fā)前一致，即朝向B點方向.全程共拐彎三次，雖然對任意三角形不知道每次拐彎轉過的角度，但所轉過的角度總和應當等于周角即360度，即：∠EBC+∠FCA+∠DAB=360（度）.
另外從圖4中看出，∠ABE、∠BCF、∠CAD分別都是平角180度.分別去上面螞蟻拐彎時轉過的角，就得到三角形的三個內角.其總和就是：
180×3-360=180（度）
從這個方法可以聯想出任意多邊形內角和.比如一個10邊形，應當有10條邊和10個頂點.假設一只螞蟻從一個頂點出發(fā)，沿著10邊形的各條邊爬行，最后回到原來狀態(tài).由于螞蟻每次拐彎都是在頂點處，所以一共拐彎10次.拐彎轉過角度總和仍然是360度，類似于上面的平角一共10個，所以10邊形內角和就是：
180×10-360=1440（度）
這樣的方法與中學乃至大學課程中的向量有關.所謂向量就是不僅考慮量的大小，還考慮量的方向.前面例子中，不僅考慮螞蟻爬行的距離，還考慮螞蟻爬行的方向，描述這種方向的方法就是拐彎時轉過的角度.這些思想和方法如果在小學階段有所滲透，無疑對學生今后的學習和發(fā)展是有益的.
四、形狀與角
數學中研究平面圖形形狀首先關心是否完全一樣，所謂完全一樣就是可以重合，這樣的兩個圖形叫做“全等（Congruent）”.兩個圖形如果全等，就意味著不僅形狀一樣，而且大小相同；如果大小不一樣，就關心模樣“像不像”的問題，所謂“像”的含義好比把一個人的照片放大，雖然人的大小不同，但模樣是一樣的，這時候叫做“相似（Similar）”.兩個圖形相似就意味著通過對其中一個圖形成比例地放大或縮小，能夠使得兩者全等，也就是可以重合.
兩條直線通過移動位置可以完全重合，這說明所有直線都是全等的.同樣道理，所有射線也都是全等的.任意兩條線段中的一條都可以通過延長或縮短，與另外一條線段重合，這說明任意兩條直線段都是相似的，這樣的性質曲線就不具備.其原因是直線或直線段的方向是確定的，曲線的方向是不確定的.由此看來，形體的形狀與方向是密切相關的，也就是與角是相關聯的.
不難發(fā)現，所有的正方形模樣都一樣.就是說通過放大或縮小一個正方形，可以與任何一個正方形重合，也就是任意兩個正方形都相似.兩條邊長不同的長方形就不具備這個特征.這是為什么呢？
圖5中是任意兩個大小不同的正方形，有一個共同特征，就是相同位置的線段所形成的角度都是一樣的.比如底邊與對角線的夾角∠ACD=∠EGH=45度.再看長方形的情況.圖6中兩個長方形對應的角度∠ACD和∠EGH顯然是不相等的.導致它們的模樣就不像，也就是不相似.因此，制約兩個圖形是否相似的因素就是對應的角.兩個圖形如果相似，那么所有對應位置線段所形成的角度都相等.反過來，兩個圖形所有對應位置的角度都相等，那么這兩個圖形相似.如前所說，角的大小可以通過相應邊長的比來確定，所以中學數學中的三角函數與“相似三角形對應邊成比例”都與此相關.
在數學中所說的正多邊形，當邊數相同的時候，一定是相似的.所以正多邊形中的“正（Regular）”，其含義是形狀的確定性或規(guī)范性.類似具有形狀的確定性和規(guī)范性的圖形還有圓、正方體、球等等.
應當承認，在小學數學課程內容中，關于角的內容的系統(tǒng)性相對比較薄弱.這種薄弱主要反映在出現頻率少和對相關聯的知識認識的不足.導致的結果是小學階段的學生對角很不熟悉，進入中學學習諸如平面圖形的關系、三角函數、極坐標、向量以及物理中的角速度、變速運動、力的分解等內容時，都會感覺到生疏困難.以上內容旨在說明在小學數學的課程與教學中應當加強對角及其相關知識系統(tǒng)性的認識。（來源：中國教育文摘）
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