作者：聶立川，暢娜麗，邵洪波

　　摘要：本文通過一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解題過程，探索解題中滲透的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法，并概括了數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)，力求能夠指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題的教學(xué)。

　　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；邏輯思維；非邏輯思維；數(shù)學(xué)思維

　　學(xué)數(shù)學(xué)就要解數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生鞏固知識(shí)、培養(yǎng)素質(zhì)、發(fā)展能力和促進(jìn)個(gè)性心理發(fā)展都有及其重要的作用和意義，因此數(shù)學(xué)教學(xué)離不開數(shù)學(xué)解題的教學(xué)，數(shù)學(xué)解題過程中存在著三種思維活動(dòng)：數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)、數(shù)學(xué)教師的思維活動(dòng)、學(xué)生自己的思維活動(dòng)。數(shù)學(xué)解題教學(xué)就是教學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)，并逐步使其思維結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)家的相似，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維。

　　一、問題的提出

　　數(shù)學(xué)解題活動(dòng)主要是利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)(知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu))對(duì)抽象的形式化思想材料進(jìn)行加工的過程，是數(shù)學(xué)符號(hào)及數(shù)學(xué)命題在人的大腦里的內(nèi)部操作過程，也就是一種思維活動(dòng)。這就必然導(dǎo)致數(shù)學(xué)解題教學(xué)是一個(gè)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的過程。首先看一例題：

　　例1：根據(jù)下面數(shù)列找出它的規(guī)律

　　11，31，41，61，71，101，131，….

　　答案：末位數(shù)為1的素?cái)?shù)

　　然而本題給20名數(shù)學(xué)系大四的學(xué)生15分鐘的思考時(shí)間，20人竟無一人能回答正確。他們中間的同學(xué)試圖從數(shù)字之和去考慮問題，比如1+1=2，3+1=4，4+1=5，6+1=7，這樣可以出現(xiàn)131、151、161(錯(cuò))、181…。行不通：而后又考慮3+1=4，4+3-1=6，6+4-3=7，7+6-4=9，9+7-6=10，10+9-7=11，11+10-9=12，12+11-10=13這樣得出除末位數(shù)外的前面的數(shù)字，出現(xiàn)了41、61、71、91(錯(cuò))、101、111(錯(cuò))、121(錯(cuò))、131、…。之所以沒有答案筆者認(rèn)為他們的思維方向不對(duì)。課后的追訪驗(yàn)證了我的答案。

　　教師：這些數(shù)有什么的特點(diǎn)?

　　學(xué)生：個(gè)位數(shù)都是1

　　教師：還有什么特點(diǎn)?

　　學(xué)生：憑感覺認(rèn)為后面的數(shù)是151、181，再往后就不知道了，看不到它們的規(guī)律。

　　教師：再從另一個(gè)角度考慮，比如素?cái)?shù)、和數(shù)方面想想?

　　學(xué)生：呵!它們都是素?cái)?shù)。

　　教師；這樣你可以說出答案了吧。

　　學(xué)生：(想…)還是不行，還是找不到它的通項(xiàng)公式。

　　教師：答案是末位數(shù)為1的素?cái)?shù)。

　　學(xué)生：就是這樣的答案嗎?不是讓找它的通項(xiàng)公式嗎?我考慮的太多了，我們都認(rèn)為是讓找通項(xiàng)公式。

　　可以看到學(xué)生認(rèn)為這道數(shù)列的題目是讓找通項(xiàng)公式，這與他們?cè)?a href="http://www.yy-art.cn/gaozhong/shuxue/" target="_blank">高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中作過大量這樣的題目有關(guān)，以前的思維定勢讓他們認(rèn)為應(yīng)該有一個(gè)通項(xiàng)公式來表達(dá)這個(gè)規(guī)律，然而本題卻沒有通項(xiàng)公式。

　　從上面例題可以看出，在解決問題時(shí)往往從特殊的簡單情形開始，給人一種返璞歸真的感覺，但在解題中必須明確，返璞歸真的目的不是為了找出幾個(gè)簡單情形的解法，而是為了通過簡單情形的解法，悟出規(guī)律，抓住題魂，所謂的“返璞歸真不為玉，意在靈性通題魂”，體現(xiàn)了“以退為進(jìn)”的角色模式。但是，邏輯思維能力是一個(gè)需要畢生精力不斷苦練的功夫，功夫不到就可能跌入新的誤區(qū)，任何人跌入誤區(qū)的原因都是未能把握住這條邏輯鏈——具體問題具體分析，這是研究一切問題的靈魂。如上面的例題一樣，遇到數(shù)列找規(guī)律的問題就不能想當(dāng)然的認(rèn)為找通項(xiàng)公式。

　　二、數(shù)學(xué)解題教學(xué)的幾點(diǎn)思考與建議

　　學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須學(xué)會(huì)解題，我國是解題的王國，學(xué)生解題的基本功非常好，但相當(dāng)部分學(xué)生的功夫是通過“解題類型+方法”機(jī)械訓(xùn)練而來的，忽視了解題中數(shù)學(xué)思維與方法的學(xué)習(xí)，造成出現(xiàn)上面的種種弊端。因此如何應(yīng)用數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)解題是當(dāng)前一個(gè)非常關(guān)鍵的問題。

　　(一)更新解題觀念

　　什么是解題，不同的人有不同的觀念，按現(xiàn)代教學(xué)論與心理學(xué)，可以這么說，數(shù)學(xué)解題是在數(shù)學(xué)思維與方法指導(dǎo)下，有目的地運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能分析與解決數(shù)學(xué)問題的過程。G.Polya在《怎樣解題》一書一開始，把解題過程歸結(jié)為四個(gè)階段：(1)弄清問題；(2)制定計(jì)劃；(3)實(shí)現(xiàn)計(jì)劃：(4)回顧；另外，在《數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)》中，波利亞又從思維活動(dòng)的形式這一角度對(duì)此作出了更為明確的描述：他指出解題過程是由以下的思維活動(dòng)所組成的：集中目標(biāo)，估計(jì)前景，對(duì)途經(jīng)的尋找，對(duì)更有希望局面的尋找，對(duì)有關(guān)知識(shí)的尋找，重新估計(jì)形式。他認(rèn)為解題是人類最富有特征的一種活動(dòng)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的中心環(huán)節(jié)，是一種實(shí)踐性技能，是發(fā)展學(xué)生思維能力、培養(yǎng)良好心理品種的重要手段。我們應(yīng)從“過程、環(huán)節(jié)、技能、手段”角度去理解數(shù)學(xué)解題的概念，數(shù)學(xué)解題教學(xué)是用通過典型數(shù)學(xué)題的學(xué)習(xí)，去探究數(shù)學(xué)問題解決的基本規(guī)律，學(xué)會(huì)象數(shù)學(xué)家那樣“數(shù)學(xué)的思維”，因此數(shù)學(xué)解題的教學(xué)目的不僅是提高學(xué)生的解題能力，深化鞏固所學(xué)的知識(shí)，而且應(yīng)是掌握其思維與方法、全面提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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