一. 教學內(nèi)容：直線與平面垂直；平面與平面垂直；線面成角、面面成角
二. 教學重、難點：
1. 掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，了解三垂線定理及其逆定理，掌握兩個平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理。
2. 掌握直線與平面、平面與平面所成角的概念和作法，并會計算所求角的大小。
【典型例題
[例1] 如圖所示，在棱長為 的正方體 中，E、F分別是棱AB和BC的中點，EF與BD交于點G。
（1）求二面角 的大��；
（2）M為棱 的值為多少時，能使
解：（1）在底面AC中 ∵ AC⊥BD，EF//AC
∴ BG⊥EF，連結(jié)B1G 又 ∵ B1B⊥底面AC ∴ B1G⊥EF
∴ 二面角 的正切值為
∴ 二面角 的大小為（2）當 時能使證明如下：∵
而∴ ∴ 。求證：MN⊥CD，MN⊥平面PCD。
證明：連結(jié)AC、BD交于O，連結(jié)OM、ON、PM、MC
則NO//PA，又PA⊥平面ABCD
∴ NO⊥平面ABCD ∴ NO⊥CD，又MO⊥CD
∴ CD⊥平面MON ∴ CD⊥MN
在 中， ∴ PA=AD
又 ∵ AM=BM，PA⊥AM，BC⊥BM ∴ ∴ PM=MC ∵ N為PC的中點 ∴ MN⊥PC
又 ，AD=BC= ，將其沿對角線BD折成直二面角。
（1）證明AB⊥平面BCD；
（2）證明平面ACD⊥平面ABD；
（3）求二面角 的大小。
解析：（1）證明：在
∴ ∴ 又 ∵ 二面角 為直二面角， 平面ABD，DB=平面 平面BDC
∴ AB⊥平面BDC
（2）證明：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，∴ DC⊥BD ∵ AB⊥平面BDC，AB 平面ABD
∴ 平面ABD⊥平面BDC
又 ∵ BD=平面 平面BDC，DC 平面BDC，DC⊥平面ABD
又 ∵ DC 平面ADC ∴ 平面ADC⊥平面ABD
（3）作BQ⊥CE于Q，由平面幾何，得
連結(jié)AQ，由三垂線定理，AQ⊥CE ∴ 是二面角 的平面角
在 中，
∴ 即二面角 的大小為（1）AE與CF所成的角；
（2）CF與平面BCD所成的角。
解：（1）如圖，連結(jié)DE，取ED的中點K，連結(jié)FK、CK
∵ F是AD的中點
∴ AE//FK 則設正四面體棱長為 ，則可得在 中，∴在 中，
∴ ，即異面直線AE和CF所成角為
（2）在正四面體ABCD中，∵ 各棱長都相等，E是BC的中點
∴ BC⊥AE，BC⊥DE ∴ BC⊥面AED ∴ 面ADE⊥面BCD，交線為DE
過A作AO⊥DE于O，則AO⊥面BCD
過F作FH⊥DE于H，則FH⊥面BCD，連結(jié)CH
∴ 為CF與面BCD所成的角
∵ ∴ 故CF與面BCD所成的角為
[例5] 在三棱錐 中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分別交AC、SC于D、E，又SA=AB= ，（1）求證：SC⊥平面BDE；
（2）求平面BDE與平面BDC所成二面角的大小。
解：（1）證明：∵ SA⊥平面ABC，AB、AC、BD 平面ABC
∴ SA⊥AB、SA⊥AC、SA⊥BD ∴
∵ 又 DE⊥SC ∴ SC⊥平面BDE
（2）由（1）的結(jié)論及∴ 由AB⊥BC，得
在
∴
[例6] 如圖所示，矩形ABCD中，PD⊥平面ABCD，若PB=2，PB與平面PCD所成的角為 角。
（1）求CD的長；
（2）求PB與CD所成的角；
（3）求二面角 的余弦值。
解：（1）∵ PD⊥平面ABCD ∴ PD⊥BC 又 BC⊥DC
∴ BC⊥平面PDC ∴ 為PB與平面PCD所成的角，即同理， 即為PB與平面ABD所成的角
∴ 在 中，
在 中，<2" style='width:96pt; > ∴ CD=1
（2）∵ AB//CD ∴ PB與CD所成的角即為PB與AB所成的角，∵ PD⊥平面ABCD，AD⊥AB ∴ PA⊥AB
在（3）由點C向BD作垂線，垂足為E，由點E向PB作垂線，垂足為F，連結(jié)CF
∵ PD⊥平面ABCD ∴ PD⊥CE 又 CE⊥BD ∴ CE⊥平面PBD
CF為平面PBD的斜線，由于EF⊥PB ∴ PB⊥CF
∵ 為二面角<7" > 的平面角
在 中，<9" style='width:48pt; > ，DC=1，BD=∴ CE=在 ∴
∴ 二面角 的余弦值為 中，（1）證明 ；
（2）AE等于何值時，二面角
解：（1）證明：∵ AD=AA1 ∴ 四邊形ADD1A1為正方形
故 又 ∴ AB⊥平面AA1D1D 又 平面AA1D1D ∴ AB⊥A1D
又 平面∴ ∴
（2）過D作DH⊥CE于H，連結(jié)D1H
由于D1D⊥平面ABCD，EC 平面ABCD ∴ 故 平面 ，則∴ 的平面角
設 在 中，∵ ∵ 在 中，
∴ 在 中， 中，
在 中，
∴
∴ AE 的大小為
【模擬】
一. 選擇題：
1. 在正方形 中，E、F分別是 、A. AB⊥平面EFB B. AD⊥平面EFB
C. BF⊥平面AEF D. BD⊥平面AEF
2. 空間四邊形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點，則四邊形EFGH為（ ）
A. 平行四邊形 B. 菱形 C. 矩形 D. 不能確定
3. 已知直線 ，那么必定有（ ）
A. B. C. 且
4. 正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都是1，則側(cè)棱與底面所成的角為（ ）
A. C.
5. 在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，G、H、I分別為DE、FC、EF的中點，將A. B. C.
6. PA、PB、PC是從P點出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為 A. B. D. ，A. C.
8. 如圖，在正三棱柱 ，則A. B. C.
二. 解答題：
1. 在四面體 中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，求二面角B?DAP?DC的大小。
2. 如圖甲，在直角梯形PDCB中，PD//CB，CD⊥PD，PD=6，BC=3，DC= 角，設E、F分別為AB、PD的中點。
（1）求證：AF//平面PEC；
（2）求二面角 的大小。
3. 如圖，四棱錐 的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=（1）求證： ；
（2）求面ASD與面BSC所成二面角的大��；
（3）設棱SA的中點為M，求異面直線DM與SB所成角的大小。
【試題答案】
一.
1. A
解析：由 ⊥面BEF
2. C
解析：根據(jù)三角形中位線定理可得四邊形EFGH為平行四邊形，又 ∵ AC⊥BD，∴ EF⊥FG，∴ 四邊形EFGH為矩形。
3. A
解析：由已知4. C
解析：如圖， 為側(cè)棱與底面所成的角，∵ ，PA=1，∴
5. A
解析：如圖， 為BG與IH所成的角為
6. C
解析：過C作平面PAB的垂線，則垂足O在設PC= 在 中，
∴
7. D
解析：不妨設PM=PN=
∴
MN=
∴
8. D
解析：本題考查直線與平面所成的角，如圖，E、O為B、D在平面A1C上的射影，則 即為所求。易知 ，AD= ，則
二.
1. 解析：過點B作BE⊥AC于E，過E作EF⊥PA于F，連結(jié)BF
∵ PC⊥平面ABC ∴ BE⊥平面PAC ∴ BE⊥PA
∴ 設PC=1，則AB=BC=CA=PC=1 ∴ E為AC的中點
∴
∴
∴ 所求二面角的大小為
2. 解析：（1）證明：取PC的中點，連結(jié)FG、EG，則FG//CD，且∵ AE//CD，且 ∴
從而四邊形AEGF為平行四邊形 ∴ AF//EG ∵ ∴ AF//平面PEC
（2）∵ CD⊥平面PAD ∴ 平面PAD⊥平面ABCD
∵ PA=AD，∴ PA⊥BC ∵ BC&perp 高一;AB ∴ BC⊥平面PAB ∴ BC⊥PB
∴ 在∴ 二面角 大小為3. 解析：（1）證法一：如圖，∵ 底面ABCD是正方形，∴ BC⊥DC
∵ SD⊥底面ABCD
∴ DC是SC在平面ABCD上的射影，由三垂線定理得BC⊥SC
證法二：如圖所示
∵ 底面ABCD是正方形 ∴ BC⊥CD ∵ SD⊥底面ABCD ∴ SD⊥BC
又 （2）一：∵ SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形
∴ 可以把四棱錐S?DABCD補形為長方體 ，如圖所示，面ASD與面BSC所成的二面角就是面 與面∵ SC⊥BC，BC//A1S ∴ SC⊥A1S，又 SD⊥A1S
∴ 為所求二面角的平面角
在∴
方法二：如圖所示，過點S作直線 ，∴ 在面ASD上
∵ 底面ABCD為正方形 ∴ ∴ 在面BSC上
∴ 為面ASD與面BSC的交線 ∵ SD⊥AD，BC⊥SC
∴
（3）如圖所示，取AB中點P，連結(jié)MP、DP
在 中，由中位線定理得MP//SB ∴ ∵
∴ 在∴ 異面直線DM與SB所成的角為
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