一．等差數(shù)列的傳奇故事
高斯是德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，被譽(yù)為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名。高斯7歲那年，父親送他進(jìn)了耶卡捷林寧國(guó)民小學(xué)，讀書不久，高斯在數(shù)學(xué)上就顯露出了常人難以比較的天賦，最能證明這一點(diǎn)的是高斯十歲那年，教師彪特耐爾布置了一道很繁雜的計(jì)算題，要求學(xué)生把1到 100的所有整數(shù)加起來，教師剛敘述完題目，高斯即刻把寫著答案的小石板交了上去。彪特耐爾起初并不在意這一舉動(dòng)，心想這個(gè)小家伙又在搗亂，但當(dāng)他發(fā)現(xiàn)全班唯一正確的答案屬于高斯時(shí)，才大吃一驚。而更使人吃驚的是高斯的算法，他發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)數(shù)加最后一個(gè)數(shù)是101，第二個(gè)數(shù)加倒數(shù)第二個(gè)數(shù)的和也是101，……共有50對(duì)這樣的數(shù)，用101乘以50得到5050。這種算法是教師未曾教過的計(jì)算等級(jí)數(shù)的方法，高斯的才華使彪特耐爾十分激動(dòng)，下課后特地向校長(zhǎng)匯報(bào)，并聲稱自己已經(jīng)沒有什么可教高斯的了。相信現(xiàn)在學(xué)習(xí)等差數(shù)列的同學(xué)肯定都聽過高斯的故事，也都希望自己將來在這方面有所作為。
二．等差數(shù)列的性質(zhì)
1.公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d．
2.公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd．
3.若{an}{bn}為等差數(shù)列，則{ an ±bn }與{kan ＋bn}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列．
4.對(duì)任何m、n ，在等差數(shù)列中有：an = am + (n－m)d（m、n∈N+)，特別地，當(dāng)m = 1時(shí)，便得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等差數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性．
5.一般地，當(dāng)m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）時(shí)，am+an=ap+aq .
6.公差為d的等差數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd( k為取出項(xiàng)數(shù)之差)．
7.下表成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)ak.ak+m.ak+2m.....(k,m∈N+）組成公差為md的等差數(shù)列。
8.在等差數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列末項(xiàng)除外)都是它前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)．
9.當(dāng)公差d＞0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大；當(dāng)d＜0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的減少而減��；d＝0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個(gè)常數(shù)．
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三．等差數(shù)列的公式
如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。
1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為： an=a1+(n-1)d (1)
2.前n項(xiàng)和公式為： Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)
以上n均屬于正整數(shù) 從1式可以看出，an是n的一次數(shù)函(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由2式知，Sn是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0，a1≠0)，且常數(shù)項(xiàng)為0。
在等差數(shù)列中，等差中項(xiàng)：一般設(shè)為Ar，Am+An=2Ar,所以Ar為Am，An的等差中項(xiàng)。 且任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為： an=am+(n-m)d 它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式。
從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式還可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有 am+an=ap+aq Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差數(shù)列，等等。
和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2 項(xiàng)數(shù)＝（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差＋1 首項(xiàng)=2和÷項(xiàng)數(shù)-末項(xiàng) 末項(xiàng)=2和÷項(xiàng)數(shù)-首項(xiàng) 末項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）×公差 等差數(shù)列的應(yīng)用：
日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列如：在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級(jí)別 時(shí)，當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時(shí)，常按等差數(shù)列進(jìn)行分級(jí)。
若為等差數(shù)列，且有an=m,am=n.則a(m+n)＝0。
等差數(shù)列是一個(gè)神奇的數(shù)學(xué)問題，當(dāng)你深入到其中的時(shí)候，就會(huì)被它獨(dú)特的數(shù)學(xué)魅力所傾倒，沉浸在其中無法自拔，這也許就是很多數(shù)學(xué)家之所以能取得巨大成就的原因之一，不知道你有沒有被等差數(shù)列這個(gè)深邃的問題所傾倒呢？
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/348588.html
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