高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)方法指導(dǎo)：如何突破數(shù)學(xué)命題難點(diǎn)
【摘要】多了解一些考試資訊信息，對(duì)于學(xué)生和家長來講非常重要，數(shù)學(xué)網(wǎng)為大家整理了高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)方法指導(dǎo)：如何突破數(shù)學(xué)命題難點(diǎn)一文，希望對(duì)大家有幫助。
一、 定位整體
新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)常用邏輯用語的定位為:正確使用邏輯用語是現(xiàn)代社會(huì)公民應(yīng)該具備的基本素質(zhì)，無論是進(jìn)行思考、交流，還是從事各項(xiàng)工作，都需要正確的運(yùn)用邏輯用語表達(dá)自己的思想.在本模塊中，同學(xué)們將在義務(wù)教育的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)常用邏輯用語，體會(huì)邏輯用語在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，更好地進(jìn)行交流. 因此，學(xué)習(xí)邏輯用語，不僅要了解數(shù)理邏輯的有關(guān)知識(shí)，還要體會(huì)邏輯用語在表述或論證中的作用，使以后的論證和表述更加準(zhǔn)確、清晰和簡潔.
二、 明確重點(diǎn)
常用邏輯用語分成三大節(jié)，分別為：命題及其關(guān)系，簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞，全稱量詞與存在量詞.
命題及其關(guān)系分兩小節(jié)：一、四種命題，此節(jié)重點(diǎn)在于四種命題形式及其關(guān)系，互為逆否命題的等價(jià)性;二、充分條件和必要條件，此節(jié)重點(diǎn)在于充分條件、必要條件、充要條件的準(zhǔn)確理解以及正確判斷.
簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞重點(diǎn)在于且、 或、 非這三個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞的理解和應(yīng)用.
全稱量詞與存在量詞重點(diǎn)在于理解全稱量詞與存在量詞的意義，以及正確做出含有一個(gè)量詞的命題的否定.
三、 突破難點(diǎn)
1. 四種命題的難點(diǎn)在于分清命題的條件和結(jié)論以及判斷命題的真假
例1 分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假.
(1) 全等三角形的面積相等;
(2) m時(shí)，方程mx2-x+1=0無實(shí)根;
(3) 若sin，則30.
解析 (1) 條件為兩個(gè)三角形全等，結(jié)論為它們的面積相等.因此，原命題即為若兩個(gè)三角形全等，則它們的面積相等，逆命題為若兩個(gè)三角形面積相等，則它們?nèi)龋衩}為若兩個(gè)三角形不全等，則它們的面積不相等，逆否命題為若兩個(gè)三角形面積不相等，則它們不全等.根據(jù)平面幾何知識(shí)，易得原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.
(2) 原命題即為若m，則方程mx2-x+1=0無實(shí)根，逆命題為若方程mx2-x+1=0無實(shí)根，則m，否命題為若m，則方程mx2-x+1=0有實(shí)根，逆否命題為若方程mx2-x+1=0有實(shí)根，則m.根據(jù)判別式=1-4m的正負(fù)可知，原命題、逆命題、否命題、逆否命題均為真命題.
(3) 原命題即為若sin，則30，逆命題為若30，則sin，否命題為若sin=，則=30，逆否命題為若=30，則sin=.直接判斷原命題與逆命題真假有些困難，但考慮到原命題與逆否命題等價(jià)，逆命題與否命題等價(jià)，因此可以先考慮逆否命題和否命題;由三角函數(shù)的知識(shí)，可知原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.
突破 對(duì)于判斷命題的真假，我們需要先弄清何為條件、何為結(jié)論，然后根據(jù)相應(yīng)的知識(shí)進(jìn)行判斷，當(dāng)原命題不容易直接判斷時(shí)，可以先判斷其逆否命題的真假性，從而得到原命題的真假性.
2. 充分條件和必要條件的難點(diǎn)在于充要性的判斷
例2 在下列命題中，判斷p是q的什么條件.(在充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分又不必要條件中選出一種)
(1) p:|p|2，pq:方程x2+px+p+3=0有實(shí)根.
(2) p：圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切;q：c2=(a2+b2)r2，其中a2+b20，r0.
(3) 設(shè)集合M=x2，N=x3，p：xN;q:xN.
解析 (1) 當(dāng)|p|2時(shí)，例如p=3，此時(shí)方程x2+px+p+3=0無實(shí)根，因此若p則q為假命題;當(dāng)方程x2+px+p+3=0有實(shí)根時(shí)，根據(jù)判別式有p-2或p6，此時(shí)|p|2成立，因此若q則p為真命題.故p是q的必要不充分條件.
(2) 若圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切，則圓心(0，0)到直線ax+by+c=0的距離等于r，即r=，化簡可得c2=(a2+b2)r2，因此若p則q為真命題;反過來，由c2=(a2+b2)r2，可得r=，即圓心(0，0)到直線ax+by+c=0的距離等于r，由解析幾何知識(shí)得圓與直線相切，因此若q則p為真命題.故p是q的充要條件.
(3) MN=(2，3)，MN=R，若x(2，3)，此時(shí)顯然有xR，因此若p則q為真命題;反過來，若xR，例如x=5，此時(shí)x?埸(2，3)，因此若q則p為假命題.故p是q的充分不必要條件.
突破 ①從邏輯的觀點(diǎn)理解：判斷充分性、必要性的前提是判斷給定命題的真假性，若若p則q為真命題，則p是q的充分條件;若若q則p為真命題，則p是q的必要條件;若兩者都是真命題，則p是q的充要條件;若兩者都是假命題，則p是q的既不充分也不必要條件.②從集合的觀點(diǎn)理解：建立命題p，q相應(yīng)的集合. p：A=p(x)成立，q：B=x.那么:若A?哿B，則p是q的充分條件;若B?哿A，則p是q的必要條件;若A=B，則p是q的充要條件.若A?芫B且B?芫A，則p是q的既不充分也不必要條件.
例3 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=pn+q(p0且p1)，求證:數(shù)列an為等比數(shù)列的充要條件為q=-1.
解析 充分性:當(dāng)q=-1時(shí)，a1=p-1;當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).于是當(dāng)n1時(shí)，=p，即數(shù)列an為等比數(shù)列.
必要性：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=p+q;當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1
=pn-1(p-1).因?yàn)閜0且p1，于是=p.又因?yàn)閿?shù)列an為等比數(shù)列，所以==p，即=p，解之得q=-1.
綜上所述，q=-1為數(shù)列an為等比數(shù)列的充要條件.
突破 證明p是q的充要條件需要分兩步：①充分性，把p作為已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出q;②必要性，把q作為已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出p.最后綜上所述，可得p是q的充要條件.特別注意:充分條件的意義只在于保證結(jié)論成立，而不管它對(duì)結(jié)論成立是否必要;必要條件的意義只在于要使結(jié)論成立它必不可少，而不管它對(duì)結(jié)論成立是否充分.因此，在進(jìn)行恒等變形或探求充要條件的過程中，只注意推導(dǎo)過程的充分性，其結(jié)果有可能縮小范圍;只注意推導(dǎo)過程的必要性，其結(jié)果有可能擴(kuò)大范圍.
3. 簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的難點(diǎn)在于復(fù)合命題的真假性判斷以及命題的否定與否命題的區(qū)分
例4 指出下列命題的真假.
(1) -1是奇數(shù)或偶數(shù);
(2) 屬于集合Q，也屬于集合R;
(3) A?埭(AB).
解析 (1) 此命題為p或q的形式，其中p：-1是奇數(shù);q：-1是偶數(shù).因?yàn)閜為真命題，所以原命題為真命題.
(2) 此命題為p且q的形式，其中p：屬于集合Q;q：屬于集合R.因?yàn)橹挥衠為真命題，所以原命題為假命題.
(3) 此命題為非p的形式，其中p：A?哿(AB).因?yàn)閜為真命題，所以原命題為假命題.
突破 判斷如p或q、p且q、非p形式的復(fù)合命題的真假時(shí)，首先要確定命題的構(gòu)成形式，然后判斷其中各簡單命題的真假，最后再利用真值表判斷復(fù)合命題的真假.
例5 寫出下列各命題的否定和否命題.
(1) 若x+y是偶數(shù)，則x，y都是奇數(shù);
(2) 若xy=0，則x=0或y=0.
解析 (1) 命題的否定：若x+y是偶數(shù)，則x，y不都是奇數(shù);否命題：若x+y不是偶數(shù)，則x，y不都是奇數(shù).
(2) 命題的否定:若xy=0，則x0且y否命題:若xy0，則x0且y0.
突破 命題的否定只是否定命題的結(jié)論，而否命題既否定題設(shè)，又否定結(jié)論.需注意x=0或y=0的否定是0且y而不是0或y;x，y都是奇數(shù)的否定是x，y不都是奇數(shù)而不是x，y都不是奇數(shù).
4. 全稱量詞與存在量詞的難點(diǎn)在于全稱命題和存在性命題的真假性判斷以及含有一個(gè)量詞的命題的否定
例6 判斷下列命題是否為全稱命題或存在性命題，并判斷真假.
(1) 有一個(gè)實(shí)數(shù)，tan無意義;
(2) 任何一條直線都有斜率;
(3) ?堝x0，使x2+x+5
(4) 自然數(shù)的平方是正數(shù).
解析 (1) 存在性命題，當(dāng)=時(shí)，tan無意義，因此原命題為真命題.
(2) 全稱命題，當(dāng)傾斜角為時(shí)，該直線斜率不存在，因此原命題為假命題.
(3) 存在性命題，由判別式可知=1-45=-190，所以對(duì)?坌xR，x2+x+50，因此原命題為假命題.
(4) 全稱命題，存在自然數(shù)0，其平方不是正數(shù)，因此原命題為假命題.
突破 ①要判定全稱命題?坌xM，p(x)為真命題，需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x，證明p(x)成立;如果集合M中找到一個(gè)元素x0，使得p(x)不成立，那么這個(gè)全稱命題為假命題.②要判定存在性命題?堝x0M，p(x)為真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使得p(x0)成立即可;如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么這個(gè)存在性命題是假命題.
例7 寫出下列命題的否定.
(1) 面積相等的三角形是全等三角形;
(2) 有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù);
(3) 對(duì)?坌xR，x2+x+1=0都成立;
(4) ?堝xR，x2+2x+50.
解析 (1) 原命題是全稱命題，故其否定為:存在面積相等的三角形不是全等三角形.
(2) 原命題是存在性命題，故其否定為:所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù).
(3) 原命題是全稱命題，故其否定為:?堝xR，使x2+x+10.
(4) 原命題是存在性命題，故其否定為: 對(duì)?坌xR，x2+2x+50都成立.
突破 全稱命題與存在性命題的區(qū)別在于構(gòu)成兩種命題的量詞不同.實(shí)質(zhì)上，全稱量詞與存在量詞正好構(gòu)成了意義相反的表述，因此在書寫全稱命題與存在性命題的否定時(shí)，一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞，從對(duì)量詞的否定入手書寫命題的否定.全稱命題的否定是存在性命題，而存在性命題的否定是全稱命題.
1. (2011年安徽理科卷)命題所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)的否定是______________.
2. ( 2011年山東文科卷)已知a，b，cR，命題若a+b+c=3，則a2+b2+c2的否命題是________.
3. (2011年湖南文科卷)1是|x|的
__________條件.
4. (2011年福建理科卷)若aR，則a=2是(a-1)(a-2)=0的______________條件.
5. (2011年浙江理科卷)=是cos2=的______________條件.
6. (2011年山東理科卷)對(duì)于函數(shù)y=f(x)，xR，y=|f(x)|的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱是y=f(x)是奇函數(shù)的____________條件.
7. (2011年浙江文科卷)若a，b為實(shí)數(shù)，則0
8. (2011年四川文科卷)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，若x1，x2A且f (x1)=f(x2)時(shí)，總有x1=x2，則稱f(x)為單函數(shù).例如，函數(shù)f(x)=2x+1(xR)是單函數(shù).
給出下列命題：① 函數(shù)f(x)=x2(xR)是單函數(shù);② 指數(shù)函數(shù)f(x)=2x(xR)是單函數(shù);③ 若f(x)為單函數(shù)，x1，x2A且x1x2，則f(x1)④ 在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù).其中的真命題是________.(寫出所有真命題的編號(hào))
1. 存在一個(gè)能被2整除的數(shù)不是偶數(shù). 2. 若a+b+c3，則a2+b2+c23. 3. 充分而不必要. 4. 充分而不必要. 5. 充分而不必要. 6. 必要而不充分. 7. 既不充分也不必要. 8. ②③④.
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