一. 教學(xué)內(nèi)容：

2.1 數(shù)列

2.2 等差數(shù)列

二. 教學(xué)目的：

1. 了解數(shù)列的概念，體會(huì)數(shù)列是一種特殊函數(shù)，能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出簡(jiǎn)單數(shù)列的通項(xiàng)公式。

2. 類比函數(shù)理解數(shù)列的幾種表示（列表、圖象、通項(xiàng)公式等），能根據(jù)項(xiàng)數(shù)多少、數(shù)列的性質(zhì)對(duì)數(shù)列分類。

3. 掌握等差數(shù)列的概念、等差中項(xiàng)的概念，會(huì)根據(jù)定義判定數(shù)列是否是等差數(shù)列。

4. 掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)方法，會(huì)類比直線、一次函數(shù)等有關(guān)研究等差數(shù)列的性質(zhì)，能熟練運(yùn)用通項(xiàng)公式求有關(guān)的量：a1，d，n，an。

5. 掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及推導(dǎo)方法．當(dāng)al，d，n，an，Sn中已知三個(gè)量時(shí) 高中生物，能熟練運(yùn)用通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求另兩個(gè)量。靈活運(yùn)用公式解決與等差數(shù)列有關(guān)的綜合問題。能構(gòu)建等差數(shù)列模型解決實(shí)際問題。

三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：數(shù)列的概念、數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式。

難點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)以及它們的綜合運(yùn)用。

四. 知識(shí)分析：

（一）數(shù)列

1. 數(shù)列的定義：按照一定次序排列的一列數(shù)叫數(shù)列，數(shù)列中每一個(gè)數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)記作an，叫做數(shù)列的通項(xiàng)，我們常把一般形式的數(shù)列簡(jiǎn)記作{an}。

2. 數(shù)列是特殊函數(shù)

數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N＋（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）為定義域的函數(shù)。an=f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。

3. 通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，可以用一個(gè)公式an=f(n)來表示，那么就把這個(gè)公式叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

通項(xiàng)公式可以看成數(shù)列的函數(shù)解析式。

4. 數(shù)列的分類：

（1）按項(xiàng)數(shù)有限還是無限來分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；

（2）按照項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系來分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列、常數(shù)列。

5. 前面過數(shù)集，如果把數(shù)集中的元素按一定順序排成一列，就是數(shù)列。但數(shù)列和數(shù)集有較大區(qū)別：數(shù)集中的元素是無序的，也是互異的；而數(shù)列中的元素卻是有序的，而且是可以重復(fù)出現(xiàn)的。

6. 根據(jù)所給出的數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出符合要求的一個(gè)通項(xiàng)公式，主要方法是：

①要觀察給出的若干數(shù)中的“不變”的內(nèi)容，注意研究an與n的關(guān)系。

②多角度思考，全方位觀察，廣泛聯(lián)想，將原數(shù)列作出適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化變形后，化為基本數(shù)列或特殊數(shù)列，常用技巧是：分解條件，尋找規(guī)律。

7. 如何利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系來解題？

一方面，數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)，因此在解決數(shù)列問題時(shí)，要善于利用函數(shù)的知識(shí)、函數(shù)的觀點(diǎn)、函數(shù)的思想方法來解題，即用共性來解決特殊問題。如由數(shù)列是定義在N*和它的子集{1，2，3，…，n}的函數(shù)可知an是n的函數(shù)，即an=f(n)。因此當(dāng){an}通項(xiàng)公式的一端的某個(gè)“n”用某個(gè)數(shù)或某個(gè)式或某個(gè)記號(hào)代替后，則兩端的所有的“n”必須用同一個(gè)代替，特別地有 )，則圖象呈上升趨勢(shì)，即數(shù)列是遞增的，即an遞增 ，對(duì)任意的n（n∈N*）都成立。類似地有{an}遞減< > 。對(duì)任意的n（n∈N*）都成立。

8. 如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。

9. 若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，即 ，則 。

10. 通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別在于：通項(xiàng)公式直接反映an和n之間的關(guān)系，即an是n的函數(shù)，知道任意一個(gè)具體的n值，通過通項(xiàng)公式就可以求出該項(xiàng)的值an；而遞推公式則是間接反映數(shù)列的式子，它是數(shù)列任意兩個(gè)（或多個(gè)）相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系，不能由n直接得出an

11. 用遞推公式給出一個(gè)數(shù)列，必須給出①“基礎(chǔ)”?D?D數(shù)列{an}的第1項(xiàng)或前幾項(xiàng)；②遞推關(guān)系?D?D數(shù)列{an}的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)）之間的關(guān)系，并且這個(gè)關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示。

如果兩個(gè)條件缺一個(gè)，數(shù)列就不能確定。例如，已知數(shù)列{an}的al＝1，a2＝2，這個(gè)數(shù)列就不能確定。因?yàn)橛械恼fan＝n；有的說 ，則 ，將這些等式相加得到

若a1適合 ，則用一個(gè)公式表示an，若al不適合 ，則要用分段形式表示an，此處切不可不求a1，而直接求an.

（二）等差數(shù)列

1. 等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，用式子可表示為 ，則數(shù)列{an}叫做等差數(shù)列。常數(shù)d叫做等差數(shù)列的公差。

2. 等差數(shù)列的單調(diào)性：等差數(shù)列的公差d>0時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；d<0時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列；d=0時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列。

3. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

4. 要證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，只要證明：當(dāng) 等于同一個(gè)常數(shù)d。

5. 對(duì)等差數(shù)列{an}而言：

（l）公差是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它前一項(xiàng)的差（同一常數(shù)），即 都成立。

（3） 時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)。故 的圖象是直線y=dx （a1?Dd）上當(dāng)x∈N*時(shí)的點(diǎn)的集合。

由此可利用共線的方法解決有關(guān)等差數(shù)列問題。

（4）對(duì)任意的m，n∈N*，有 。

（5）公式中含四個(gè)量a1，an，d，n，已知任意三個(gè)，可求第四個(gè)量。

6. 如果三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)。

7. 等差數(shù)列的判定方法

（1） 。

（3） 。

（5） 。

（7）數(shù)列 （ 、b是常數(shù)）是公差為 的等差數(shù)列。

（8）下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng) 組成公差為md的等差數(shù)列。

（9）若 也為等差數(shù)列，則 仍成等差數(shù)列（首項(xiàng)不一定選 ）。

（11） 是等差數(shù)列，則 。

（2）若有三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則一般設(shè)為

2. 若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為 可進(jìn)一步變形為：

，若令 ， （*），（*）式是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的另一種表達(dá)形式。

（2）當(dāng)A≠0，即d≠0時(shí)，（*）式是n的二次函數(shù)，即（n，Sn）在 的圖象上，因此，當(dāng)d≠0時(shí)，數(shù)列S1，S2，S3，…，Sn的圖象是拋物線 上的一群離散的點(diǎn)。

（3）在求等差數(shù)列的和Sn時(shí)，如已知al、an、n，可用公式 來解，如已知al、n、d，則可用公式 ）是等差數(shù)列，其公差等于kd。

6 . 若在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d<0，則Sn存在最大值；若在等差數(shù)列{an}中，a1<0，d>0，則Sn存在最小值。

7. 若

（四）與和有關(guān)的等差數(shù)列的性質(zhì)：

1. 若項(xiàng)數(shù)為2n ，則 ；

若項(xiàng)數(shù)為 ，

。

4. 若 也為等差數(shù)列。

【典型例題】

例1. 寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：

解析：若要根據(jù)給出的前 4 項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，首先要細(xì)心觀察四個(gè)數(shù)變化的規(guī)律，為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律應(yīng)注意兩點(diǎn)：

第一是將個(gè)別破壞規(guī)律的項(xiàng)還原，如（l）中首先觀察發(fā)現(xiàn)第一個(gè)數(shù)1應(yīng)寫成分?jǐn)?shù) ，然后發(fā)現(xiàn)分母應(yīng)從小變大，則第三個(gè)數(shù)應(yīng)還原為 。再由 很容易寫出其通項(xiàng)公式。（2）題中由分母為31、32、33、34，分子為10、20、10、40，發(fā)現(xiàn)均為第三個(gè)數(shù)破壞了規(guī)律，分析可知應(yīng)還原為 ，再寫分子為n 1，最后寫分母為 ，又如（4）的分母的規(guī)律不易看出，可將分母一分為二，變?yōu)?， 。

點(diǎn)評(píng)：

1. 求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，一般通過分解?D?D探索?D?D綜合的方法進(jìn)行歸納。要注意觀察數(shù)列中的各項(xiàng)通過分解后哪些部分是不變的，哪些部分是變化的，變化的部分隨其序號(hào)的變化情況如何，歸納時(shí)要重視從整體上把握數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式。

2. 為了方便，掌握下面一些簡(jiǎn)單的常用數(shù)列的通項(xiàng)公式是有好處的：

。求證：當(dāng)

。

證明：

整理得 解得n≥9

∴從第1項(xiàng)到第9項(xiàng)遞增，從第10項(xiàng)起遞減。

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列是特殊函數(shù)，可用研究函數(shù)的方法研究數(shù)列相應(yīng)問題（如本題數(shù)列的增減性）

例3. 已知數(shù)列 為等差數(shù)列， 。

解法一：設(shè)數(shù)列 的首項(xiàng)為 ，公差為d

由已知得

解之得

則由題設(shè)，得

故所求四數(shù)分別為2，5，8，11或11，8，5，2

解法二：設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為

所以所求四數(shù)分別為2，5，8，11或11，8，5，2

點(diǎn)評(píng)：本題巧設(shè)未知數(shù)，減少了未知量，簡(jiǎn)化了運(yùn)算。一般地，三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和已知時(shí)，可設(shè)為a－d，a，a d。而四個(gè)數(shù)可設(shè)為a－3d，a－d，a d，a 3d（公差為2d）。

例5. （2005年北京市模擬題）已知a，b，c成等差數(shù)列，那么a2（b＋c），b2（c a），c2（a b）是否構(gòu)成等差數(shù)列？

證明：∵a，b，c成等差數(shù)列 ∴

即 。

（2）

整理得

解之得n=12或

解之得n=4

又由

即得

解法二：由

得

點(diǎn)評(píng)：a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，an和Sn都可以用這三個(gè)基本量來表示，五個(gè)量 a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中“知三求二”的問題，一般是通過通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程（組）求解。這種方法是解決數(shù)列運(yùn)算的基本方法，在具體求解過程中應(yīng)注意已知與未知的聯(lián)系及整體思想的運(yùn)用。

例7. 已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和 ，求數(shù)列 的前n項(xiàng)和

∵n=1也適合上式

∴數(shù)列

由 時(shí)

（2）當(dāng)

故

點(diǎn)評(píng)：由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式是一類重要題型，要注意分類討論的必要性。

例8. （2005年西安市統(tǒng)考題）一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和為100，前100項(xiàng)之和為10，求前110項(xiàng)之和。

解法一：設(shè)等差數(shù)列 的公差為d，前n項(xiàng)和

則

由已知得

①×10－②整理得

故此數(shù)列的前110項(xiàng)之和為－110

解法二：設(shè)

解法三：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為 ，公差為d

則

①－②得

成等差數(shù)列，設(shè)其公差為D。前10項(xiàng)的和

又

點(diǎn)評(píng)：本例解法較多，望同學(xué)們認(rèn)真分析每種解法的思想實(shí)質(zhì)，達(dá)到開闊思想探索研究，尋求簡(jiǎn)捷解法的目的。解法一是基本方法，不容忽視，解法二屬函數(shù)觀點(diǎn)，高瞻遠(yuǎn)矚，解法三運(yùn)用整體思想，解法四則利用性質(zhì)，簡(jiǎn)捷明快，解法五利用了等差數(shù)列的性質(zhì)。

【模擬】

1. 數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ，作為函數(shù)，它的定義域是（ ）

A. 正整數(shù)集N*

B. 自然數(shù)集N

C. 正整數(shù)集N*或N*的任一子集

D. 正整數(shù)集N*，或其有限子集{1，2，…，n}

2. 下列說法中，正確的是（ ）

A. 數(shù)列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7}

B. 數(shù)列1，0，－1，－2與數(shù)列－2，－1，0，1是相同的數(shù)列

C. 數(shù)列 ）兩數(shù)之間插入n個(gè)數(shù)，使它們與a,b組成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差為（ ）

A. C.

4. 在數(shù)列{ ，則 都是等差數(shù)列，且 ，則 ＋ ，則此數(shù)列前20項(xiàng)的和等于（ ）

A. 160 B. 180 C. 200 D. 220

7. （2004年福建文）設(shè)Sn是等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和，若 （ ）

A. 1 B. －1 C. 2 D.

8. （2004年重慶卷）若 是等差數(shù)列，首項(xiàng) 成立的最大自然數(shù)n是（ ）

A. 4005 B. 4006 C. 4007 D. 4008

9. （2005年吉林省實(shí)驗(yàn)第一次檢測(cè)）在等差數(shù)列 中， ，則 等于__________。

11. 等差數(shù)列 __________。

12. 在數(shù)列 中，已知 ，那么使其前n項(xiàng)和 ，兩個(gè)數(shù)列： 都是等差數(shù)列，求

其中每行、每列都是等差數(shù)列， 的計(jì)算公式。

15. 設(shè) 為等差數(shù)列， 為數(shù)列 的前n項(xiàng)和，已知 的前n項(xiàng)和，求 。

（1）求通項(xiàng) 12. 12

13. 解：設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列的公差分別為

解得

14. 解：（1）

第二行是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列

，公差為

15. 解：設(shè)等差數(shù)列 的公差為d，則

解得

16. 解：（1）

故

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