一. 教學內容：
2.1 數(shù)列
2.2 等差數(shù)列
二. 教學目的：
1. 了解數(shù)列的概念，體會數(shù)列是一種特殊函數(shù)，能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出簡單數(shù)列的通項公式。
2. 類比函數(shù)理解數(shù)列的幾種表示（列表、圖象、通項公式等），能根據(jù)項數(shù)多少、數(shù)列的性質對數(shù)列分類。
3. 掌握等差數(shù)列的概念、等差中項的概念，會根據(jù)定義判定數(shù)列是否是等差數(shù)列。
4. 掌握等差數(shù)列的通項公式及推導方法，會類比直線、一次函數(shù)等有關研究等差數(shù)列的性質，能熟練運用通項公式求有關的量：a1，d，n，an。
5. 掌握等差數(shù)列的前n項和公式及推導方法．當al，d，n，an，Sn中已知三個量時 高中生物，能熟練運用通項公式、前n項和公式求另兩個量。靈活運用公式解決與等差數(shù)列有關的綜合問題。能構建等差數(shù)列模型解決實際問題。
三. 教學重點、難點：
重點：數(shù)列的概念、數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式。
難點：等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的推導以及它們的綜合運用。
四. 知識分析：
（一）數(shù)列
1. 數(shù)列的定義：按照一定次序排列的一列數(shù)叫數(shù)列，數(shù)列中每一個數(shù)叫這個數(shù)列的項，第n項記作an，叫做數(shù)列的通項，我們常把一般形式的數(shù)列簡記作{an}。
2. 數(shù)列是特殊函數(shù)
數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N＋（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）為定義域的函數(shù)。an=f(n)，當自變量按照從小到大依次取值時，所對應的一列函數(shù)值。
3. 通項公式：如果數(shù)列{an}的第n項與項數(shù)n之間的函數(shù)關系，可以用一個公式an=f(n)來表示，那么就把這個公式叫這個數(shù)列的通項公式。
通項公式可以看成數(shù)列的函數(shù)解析式。
4. 數(shù)列的分類：
（1）按項數(shù)有限還是無限來分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；
（2）按照項與項之間的大小關系來分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列、常數(shù)列。
5. 前面過數(shù)集，如果把數(shù)集中的元素按一定順序排成一列，就是數(shù)列。但數(shù)列和數(shù)集有較大區(qū)別：數(shù)集中的元素是無序的，也是互異的；而數(shù)列中的元素卻是有序的，而且是可以重復出現(xiàn)的。
6. 根據(jù)所給出的數(shù)列的前幾項，寫出符合要求的一個通項公式，主要方法是：
①要觀察給出的若干數(shù)中的“不變”的內容，注意研究an與n的關系。
②多角度思考，全方位觀察，廣泛聯(lián)想，將原數(shù)列作出適當?shù)霓D化變形后，化為基本數(shù)列或特殊數(shù)列，常用技巧是：分解條件，尋找規(guī)律。
7. 如何利用數(shù)列與函數(shù)的關系來解題？
一方面，數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，因此在解決數(shù)列問題時，要善于利用函數(shù)的知識、函數(shù)的觀點、函數(shù)的思想方法來解題，即用共性來解決特殊問題。如由數(shù)列是定義在N*和它的子集{1，2，3，…，n}的函數(shù)可知an是n的函數(shù)，即an=f(n)。因此當{an}通項公式的一端的某個“n”用某個數(shù)或某個式或某個記號代替后，則兩端的所有的“n”必須用同一個代替，特別地有 )，則圖象呈上升趨勢，即數(shù)列是遞增的，即an遞增 ，對任意的n（n∈N*）都成立。類似地有{an}遞減< > 。對任意的n（n∈N*）都成立。
8. 如果已知數(shù)列{an}的第一項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項an與它的前一項an－1（或前幾項）間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式。
9. 若數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，即 ，則 。
10. 通項公式和遞推公式的區(qū)別在于：通項公式直接反映an和n之間的關系，即an是n的函數(shù)，知道任意一個具體的n值，通過通項公式就可以求出該項的值an；而遞推公式則是間接反映數(shù)列的式子，它是數(shù)列任意兩個（或多個）相鄰項之間的推導關系，不能由n直接得出an
11. 用遞推公式給出一個數(shù)列，必須給出①“基礎”?D?D數(shù)列{an}的第1項或前幾項；②遞推關系?D?D數(shù)列{an}的任一項an與它的前一項an-1（或前幾項）之間的關系，并且這個關系可以用一個公式來表示。
如果兩個條件缺一個，數(shù)列就不能確定。例如，已知數(shù)列{an}的al＝1，a2＝2，這個數(shù)列就不能確定。因為有的說an＝n；有的說 ，則 ，將這些等式相加得到
若a1適合 ，則用一個公式表示an，若al不適合 ，則要用分段形式表示an，此處切不可不求a1，而直接求an.
（二）等差數(shù)列
1. 等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列{an}從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，用式子可表示為 ，則數(shù)列{an}叫做等差數(shù)列。常數(shù)d叫做等差數(shù)列的公差。
2. 等差數(shù)列的單調性：等差數(shù)列的公差d>0時，數(shù)列為遞增數(shù)列；d<0時，數(shù)列為遞減數(shù)列；d=0時，數(shù)列為常數(shù)列。
3. 等差數(shù)列的通項公式
4. 要證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，只要證明：當 等于同一個常數(shù)d。
5. 對等差數(shù)列{an}而言：
（l）公差是從第二項起，每一項減去它前一項的差（同一常數(shù)），即 都成立。
（3） 時，an是關于n的一次函數(shù)。故 的圖象是直線y=dx （a1?Dd）上當x∈N*時的點的集合。
由此可利用共線的方法解決有關等差數(shù)列問題。
（4）對任意的m，n∈N*，有 。
（5）公式中含四個量a1，an，d，n，已知任意三個，可求第四個量。
6. 如果三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項。
7. 等差數(shù)列的判定方法
（1） 。
（3） 。
（5） 。
（7）數(shù)列 （ 、b是常數(shù)）是公差為 的等差數(shù)列。
（8）下標成等差數(shù)列且公差為m的項 組成公差為md的等差數(shù)列。
（9）若 也為等差數(shù)列，則 仍成等差數(shù)列（首項不一定選 ）。
（11） 是等差數(shù)列，則 。
（2）若有三個數(shù)成等差數(shù)列，則一般設為
2. 若數(shù)列{an}的前n項和公式為 可進一步變形為：
，若令 ， （*），（*）式是等差數(shù)列前n項和公式的另一種表達形式。
（2）當A≠0，即d≠0時，（*）式是n的二次函數(shù)，即（n，Sn）在 的圖象上，因此，當d≠0時，數(shù)列S1，S2，S3，…，Sn的圖象是拋物線 上的一群離散的點。
（3）在求等差數(shù)列的和Sn時，如已知al、an、n，可用公式 來解，如已知al、n、d，則可用公式 ）是等差數(shù)列，其公差等于kd。
6 . 若在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d<0，則Sn存在最大值；若在等差數(shù)列{an}中，a1<0，d>0，則Sn存在最小值。
7. 若
（四）與和有關的等差數(shù)列的性質：
1. 若項數(shù)為2n ，則 ；
若項數(shù)為 ，
。
4. 若 也為等差數(shù)列。
【典型例題】
例1. 寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：
解析：若要根據(jù)給出的前 4 項寫出數(shù)列的通項公式，首先要細心觀察四個數(shù)變化的規(guī)律，為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律應注意兩點：
第一是將個別破壞規(guī)律的項還原，如（l）中首先觀察發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)1應寫成分數(shù) ，然后發(fā)現(xiàn)分母應從小變大，則第三個數(shù)應還原為 。再由 很容易寫出其通項公式。（2）題中由分母為31、32、33、34，分子為10、20、10、40，發(fā)現(xiàn)均為第三個數(shù)破壞了規(guī)律，分析可知應還原為 ，再寫分子為n 1，最后寫分母為 ，又如（4）的分母的規(guī)律不易看出，可將分母一分為二，變?yōu)?， 。
點評：
1. 求數(shù)列的通項公式時，一般通過分解?D?D探索?D?D綜合的方法進行歸納。要注意觀察數(shù)列中的各項通過分解后哪些部分是不變的，哪些部分是變化的，變化的部分隨其序號的變化情況如何，歸納時要重視從整體上把握數(shù)列的構成規(guī)律，寫出通項公式。
2. 為了方便，掌握下面一些簡單的常用數(shù)列的通項公式是有好處的：
。求證：當
。
證明：
整理得 解得n≥9
∴從第1項到第9項遞增，從第10項起遞減。
點評：數(shù)列是特殊函數(shù)，可用研究函數(shù)的方法研究數(shù)列相應問題（如本題數(shù)列的增減性）
例3. 已知數(shù)列 為等差數(shù)列， 。
解法一：設數(shù)列 的首項為 ，公差為d
由已知得
解之得
則由題設，得
故所求四數(shù)分別為2，5，8，11或11，8，5，2
解法二：設這四個數(shù)分別為
所以所求四數(shù)分別為2，5，8，11或11，8，5，2
點評：本題巧設未知數(shù)，減少了未知量，簡化了運算。一般地，三個數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和已知時，可設為a－d，a，a d。而四個數(shù)可設為a－3d，a－d，a d，a 3d（公差為2d）。
例5. （2005年北京市模擬題）已知a，b，c成等差數(shù)列，那么a2（b＋c），b2（c a），c2（a b）是否構成等差數(shù)列？
證明：∵a，b，c成等差數(shù)列 ∴
即 。
（2）
整理得
解之得n=12或
解之得n=4
又由
即得
解法二：由
得
點評：a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個基本量，an和Sn都可以用這三個基本量來表示，五個量 a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式中“知三求二”的問題，一般是通過通項公式和前n項和公式聯(lián)立方程（組）求解。這種方法是解決數(shù)列運算的基本方法，在具體求解過程中應注意已知與未知的聯(lián)系及整體思想的運用。
例7. 已知數(shù)列 的前n項和 ，求數(shù)列 的前n項和
∵n=1也適合上式
∴數(shù)列
由 時
（2）當
故
點評：由an與Sn的關系求通項公式是一類重要題型，要注意分類討論的必要性。
例8. （2005年西安市統(tǒng)考題）一個等差數(shù)列的前10項之和為100，前100項之和為10，求前110項之和。
解法一：設等差數(shù)列 的公差為d，前n項和
則
由已知得
①×10－②整理得
故此數(shù)列的前110項之和為－110
解法二：設
解法三：設等差數(shù)列的首項為 ，公差為d
則
①－②得
成等差數(shù)列，設其公差為D。前10項的和
又
點評：本例解法較多，望同學們認真分析每種解法的思想實質，達到開闊思想探索研究，尋求簡捷解法的目的。解法一是基本方法，不容忽視，解法二屬函數(shù)觀點，高瞻遠矚，解法三運用整體思想，解法四則利用性質，簡捷明快，解法五利用了等差數(shù)列的性質。
【模擬】
1. 數(shù)列 的通項公式 ，作為函數(shù)，它的定義域是（ ）
A. 正整數(shù)集N*
B. 自然數(shù)集N
C. 正整數(shù)集N*或N*的任一子集
D. 正整數(shù)集N*，或其有限子集{1，2，…，n}
2. 下列說法中，正確的是（ ）
A. 數(shù)列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7}
B. 數(shù)列1，0，－1，－2與數(shù)列－2，－1，0，1是相同的數(shù)列
C. 數(shù)列 ）兩數(shù)之間插入n個數(shù)，使它們與a,b組成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差為（ ）
A. C.
4. 在數(shù)列{ ，則 都是等差數(shù)列，且 ，則 ＋ ，則此數(shù)列前20項的和等于（ ）
A. 160 B. 180 C. 200 D. 220
7. （2004年福建文）設Sn是等差數(shù)列 的前n項和，若 （ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D.
8. （2004年重慶卷）若 是等差數(shù)列，首項 成立的最大自然數(shù)n是（ ）
A. 4005 B. 4006 C. 4007 D. 4008
9. （2005年吉林省實驗第一次檢測）在等差數(shù)列 中， ，則 等于__________。
11. 等差數(shù)列 __________。
12. 在數(shù)列 中，已知 ，那么使其前n項和 ，兩個數(shù)列： 都是等差數(shù)列，求
其中每行、每列都是等差數(shù)列， 的計算公式。
15. 設 為等差數(shù)列， 為數(shù)列 的前n項和，已知 的前n項和，求 。
（1）求通項 12. 12
13. 解：設兩個等差數(shù)列的公差分別為
解得
14. 解：（1）
第二行是首項為7，公差為5的等差數(shù)列
，公差為
15. 解：設等差數(shù)列 的公差為d，則
解得
16. 解：（1）
故
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