M：帕特先生沿著一條小路向山頂進發(fā)。他早晨七點動身，當(dāng)晚七點到達山頂。
M：他在山頂做了一夜的考察，第二天早晨七點沿同一條小路下山。
M：那天晚上七點鐘，他到達山腳。在那里，他遇到了他的拓撲學(xué)克萊因夫人。
克萊因：你好，帕特！你可曾知道你今天下山時走過這樣一個地點，你通過這點的時刻恰好與你昨天上山時通過這點的時刻完全相同？
帕特：您一定是在開我的玩笑！這絕對不可能。我走路時快時慢，有時還停下來吃飯和休息。
M：盡管這樣，克萊因夫人還是對的。
克萊因：當(dāng)你開始登山的時候，設(shè)想你有個替身在同一時刻開始下山，你們必定會在小路上的某一點相遇。
克萊因：我不能斷定你們在哪一點相遇，但一定會有這樣一點。你和你的替身當(dāng)然是在同一時刻經(jīng)過這一點。正因為這樣 高考，我才說在小路上一定有這樣一點，你上山和下山時經(jīng)過這點的時刻完全相同。
這個故事為拓撲學(xué)家所稱的“不動點定理”提供了一個很簡單的例證。其證明是個“存在性證明”，它告訴我們至少存在一個這樣的點，并沒告訴我們這個點在什么地方。當(dāng)把拓撲學(xué)應(yīng)用于其它分支或其它各門科學(xué)時，不動點定理起著非常重要的作用。
們一定會對下面這個著名的不動點定理感。這個定理可以這樣來說明：取一個淺盒和一張紙，紙恰好蓋住盒內(nèi)的底面�？上攵藭r紙上的每個點與正在它下面的盒底上的那些點配成對。把這張紙拿起來，隨機地揉成一個小球，再把小球扔進盒里。拓撲學(xué)家已經(jīng)證明，不管小球是怎樣揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的紙上至少有一個這樣的點，它恰好處在它盒底原來配對點的正上方！關(guān)于這個定理可參見理查德·庫朗和赫伯特·羅賓斯所著《什么是數(shù)學(xué)？》一書中“一個不動點定理”這一節(jié)。
這個定理首先為荷蘭數(shù)學(xué)家L.E.J. 布勞爾在1912年所證明。它具有許多奇妙的應(yīng)用。例如，由這個定理可以斷言：在任一時刻，在地球上至少有一個地點沒有風(fēng)。用它還證明了這樣的事實：如果一個球面完全被毛發(fā)所覆蓋那么無論如何也不能把所有的毛發(fā)疏平。有趣的是，我們卻可以把覆蓋整個圓環(huán)面上的毛發(fā)疏平。
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