一. 教學(xué)內(nèi)容：直線與圓的位置關(guān)系（一）
二. 重點、難點：
1. 圓周角定理
2. 圓心角定理
3. 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補
4. 圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角
5. 圓內(nèi)接四邊形判定定理
6. 切線的判定定理
7. 切線的性質(zhì)定理
8. 弦切角定理
【典型例題】
[例1] 如圖，OA、OB、OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC，求證：∠ACB=2∠BAC。
證明：
< >
[例2] 如圖，已知：AB是⊙O的直徑，CD是弦，AF⊥CD于F，BE⊥CD于E，連結(jié)OE、OF。求證：OE=OF及CE=DF。
證明：延長EO交AF于N點 ∵ BE⊥CD，AF⊥CD ∴ EB//AF ∴ B= A
在△BEO與△ANO中，BO=AO ∠B=∠A，∠BOE=∠AON
∴ EO=NO ∴ OF=EO=NO
過O作OM⊥CD于M ∴ CM=DM EM=MF ∴CE=DF
[例3] 已知：如圖所示，AB是⊙O的直徑，M是AB上一點，過M作弦CD且MC=MO，求證： 。
證明：連結(jié)CO且延長交⊙O于E點 ∵ MC=MO ∴ ∠MCO=∠MOC
∵ ∠EOB=∠MOC ∴ ∠MCO =∠EOB
∴ ∵∠MCO是圓周角
∴ ∴
[例4] 已知：如圖AB是直徑，C是 的中點，CD⊥AB于D交AE于F，求證：CF=AF。
證明：連結(jié)AC，CB ∵ C是AE的中點 ∴ ∠B=∠CAE ∵ AB是直徑
∴ ∠ACB=90° ∵ CD⊥AB
∴ ∠ACD=∠B ∴ ∠ACD=∠CAF ∴ CF=AF
[例5] 已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，弦AB的垂直平分線和CA及BC的延長線分別交于點D及E，交⊙O于F兩點，求證：ED?DO=AD?DC。
證明：延長AO交⊙O于M點，連結(jié)CM ∵ AM是⊙O的直徑
∴ ∠ACM=90° 又EH⊥AB ∴ ∠EHB=90° ∵ ∠AMC=∠ABC
∴ ∠CAM=∠E 又∠ADO=∠CDE ∴ △ADO∽△CDE
∴
證明：連結(jié)AB ∵ ABEC是⊙O1的內(nèi)接四邊形 ∴ ∠BAD=∠E
又 ∵ ADFB是⊙O2的內(nèi)接四邊形 ∴ ∠BAD ∠F=180°
∴ ∠E ∠F=180° ∴ CE//DF
[例7] 四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線是直徑，AC與BD相交于點E，BO⊥AD于H，AD=OA=2。求：
（1）∠ABD和∠BEC的度數(shù)；
（2）OE：EC；
（3）四邊形ABCD的面積。
證明：（1）∵ BO⊥AC ∴ AH=HD ∴ AD=OA=2 ∴ AH=1
∴ ∠OAH=60° ∵ AC是⊙O直徑 ∴ ∠ADC=90°
∴ ∠ACD=90°－∠OAH=90°－60°=30°
∵ ∠ABD=∠ACD ∴ ∠ABD=30°
∵ BH是AD的垂直平分線 ∴ BA=BD
∴ ∠BDA=∠BAD=在Rt△ADE中， AED=180°－（ EAD EDA）=180°－（60° 75°）=45°
∴ BEC= AED=45°
（2）在Rt△ADC中，DC=
∵ AD⊥DC，AH⊥BH ∴ BH//DC ∴ ∴ OE：EC=1：（3）在
∴
作BF⊥DC交DC的延長線于F，則四邊形DHBF是矩形
∴ BF=HD=1 ∴ ∴
[例8] 已知點A、B、C、D順次在⊙O上， ，BM垂直于AC，垂足為M，證明：AM=DC CM。
證明：延長DC至N，使CN=CM，連結(jié)BN
由∠BAD ∠BCD=180° ∠BCN ∠BCD=180° 知∠BAD=∠BCN
由 知∠BAD=∠BCA AB=BD ∴ ∠BCM=∠BCN
而BC=BC，CM=CN，BM⊥AC ∠BMC=90°
∴ △BCM≌△BCN BM=BN，∠BNC=∠BMC=90°
在Rt△ABM與Rt△DBN中，AB=BD，BM=BN，∠BMA=∠BNC=90°
∴ Rt△ABM≌Rt△DBN AM=DN ∴ AM=DC CM
[例9] 已知弦CD垂直于圓O的直徑AB，L為垂足，弦AE平分半徑OC于H，求證：弦DE平分弦BC于M。
證明：連結(jié)BD，由 ∴ ∠BAE=∠BDE
由直徑AB⊥CD知BC=BD ∠DBC=2∠CBA
又∠AOC=2∠ABC 故∠AOH=∠DBM ∴ △AOH∽△DBM
∴ 分析：CD是⊙O的切線，連結(jié)OC，則OC⊥CD，連結(jié)圓心與切點是作輔助線常用的之一。
證明：連結(jié)OC
∴ AC平分∠DAB
[例11] AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于AD，求證：DC是⊙O的切線。
分析：切線要滿足：（1）過半徑外端；（2）與半徑垂直，而直線CD過半徑OD的外端，故關(guān)鍵在于證明CD與OD的垂直關(guān)系，利用三角形全等可以證明∠ODC=90°。
證明：連結(jié)OD ∵ OA=OD ∴ ∠1=∠2 ∵ AD//OC
∴ ∠2=∠4 ∠1=∠3 ∴ ∠3=∠4 ∴ OB=OD ∠3=∠4 OC=OC
∴ △OBC≌△ODC ∴ ∠OBC=∠ODC
∵ BC是⊙O的切線 ∴ ∠OBC=90° ∴ ∠ODC=90° ∴ DC是⊙O的切線
[例12] 如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB和CD相等，且AB與小圓相切于點E，求證：CD與小圓相切。
證明：連結(jié)OE，過O作OF⊥CD，垂足為F，AB與小圓O切于點E
∴ OE⊥AB ∵ OF⊥CD AB=CD ∴ OE=OF
又OF⊥CD ∴ CD與小圓O相切
【模擬
1. 下列三個命題：
① 圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；
② 垂直于弦的直徑平分這條弦；
③ 相等的圓心角所對的弧相等；
其中是真命題的有（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
2. 一塊手表，早上8時的時針、分針的位置如圖所示，那么分針與時針?biāo)傻慕堑亩葦?shù)是（ ）
A. 60° B. 80° C. 120° D. 150°
3. 已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心到AB的距離為3cm，則⊙O的半徑是（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 8cm
4. 如圖，A，B，C三點在⊙O上，且∠AOB=80°，則∠ACB等于（ ）
A. 100° B. 80° C. 50° D. 40°
5. 如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，且AB=8cm，OC=5cm，則OD的長是（ ）
A. 3cm B. 2.5cm C. 2cm D. 1cm
6. 已知如圖，⊙O的兩條弦AE、BC相交于點D，連接AC、BE，若∠ACB=60°，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. ∠AOB=60° B. ∠ADB=60° C. ∠AEB=60° D. ∠AEB=30°
7. 如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于E，則下列結(jié)論中不一定成立的是（ ）
A. ∠COE=∠DOE B. CE=DE C. OE=BE D.
8. 下列語句：① 相等的圓心角所對的弧相等；② 平分弦的直徑垂直于弦；③ 圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸；④ 三角形的外心到各頂點的距離相等，其中不正確的有（ ）
A. 3個 B. 2個 C. 1個 D. 以上都不對
9. 如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的動點，則線段OM長的最小值為（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 如圖P（x，y）是以坐標(biāo)原點為圓心，5為半徑的圓周上的點，若x、y都是整數(shù)，則這樣的點共有（ ）
A. 4個 B. 8個 C. 12個 D. 16個
11. 如圖，梯形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB//CD，AB為直徑，DO平分∠ADC，則∠DAO的度數(shù)是（ ）
A. 90° B. 80° C. 70° D. 60°
12. 如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，若AB=1，CD=8cm，則A，B兩點到直線CD的距離之和為（ ）
A. 12cm B. 1 C. 8cm D. 6cm
13. 下列圖中能夠說明∠1>∠2的是（ ）
14. 如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑且∠AOC=50°，過A作AE//CD交⊙O于E，則 的度數(shù)為（ ）
A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°
15. 如圖，一圓內(nèi)切于四邊形ABCD，且AB=16，CD=10，此四邊形的周長為（ ）
A. 50 B. 52 C. 54 D. 56
16. 如圖，AB是⊙O的直徑，點D，E是半圓的三等分點，AE，BD的延長線交于點C，若CE=2，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A. B.
17. 托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形對邊積的和等于兩條對角線的積。
18. 如圖，已知在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，過D作AC的垂線，垂足為E，求證：DE是⊙O的切線。
【試題答案
1. D 2. C 3. C 4. D 5. A 6. C 7. C 8. C 9. B 10. C
11. D 12. D 13. B 14. D 15. B 16. A
17. 如圖，作∠ABP=∠DBC，BP與AC交于P點，可得△ABP∽△DBC
有 高中化學(xué)，同理可證△BCP∽△BDA
有
則
18. 證明：連結(jié)OD ∵ AB=AC ∴ ∠B=∠C ∵ OB=OD ∴ ∠B=∠ODB
∴ ∠ODB=∠C，OD//AC 又DE⊥AC ∴ OD⊥DE而OD是⊙O的半徑
∴ DE是⊙O的切線
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