作為集合大小的定義，應(yīng)該滿(mǎn)足什么樣的基本要求?我們當(dāng)然要盡可能地使它符合集合大小定義的基本要求，其中有許多是要比整體大于部分更加要緊的。

首先，一個(gè)集合的大小只應(yīng)該取決于這個(gè)集合本身。

我們知道一個(gè)集合可以用多種方法來(lái)構(gòu)造和表示，比如說(shuō)，

A={小于等于2的正整數(shù)｝

B={1,2｝

C={x2-3x+2=0的根｝

其實(shí)都是同一個(gè)集合，

D={n|n為自然數(shù)，且方程xn+yn=zn有xyz0的整數(shù)解｝

又怎么樣呢?1996年英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了費(fèi)爾馬大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一個(gè)集合，它里面有兩個(gè)元素1和2。我們記得，一個(gè)集合由它所含的元素唯一決定，所以它的大小也不能取決于它被表示的方法，或者被構(gòu)造的途徑，它只應(yīng)該取決于它本身。

一個(gè)集合得和自己一樣大，這個(gè)沒(méi)有什么好說(shuō)的;

其次，如果集合A不小于(也就是說(shuō)或者大于，或者一樣大)集合B，而集合B也不小于集合A，那么它們就必須是一樣大的;

第三，如果集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必須不小于集合C。在數(shù)學(xué)上，我們稱(chēng)滿(mǎn)足這三個(gè)條件的關(guān)系為偏序關(guān)系(注：嚴(yán)格地說(shuō)，這個(gè)偏序關(guān)系并不定義在集合之間，而是定義在集合按一樣大這個(gè)等價(jià)關(guān)系定義出的等價(jià)類(lèi)之間，關(guān)于偏序關(guān)系的嚴(yán)格定義的敘述和上面所說(shuō)的也有區(qū)別，但這些問(wèn)題在這里并不要緊，你如果看不懂這個(gè)注在講什么也不要緊)。如果一個(gè)關(guān)于集合大小的定義違反了上面所說(shuō)的三條之一，這個(gè)定義的怪異程度一定會(huì)超過(guò)上面使用一一對(duì)應(yīng)原則的定義!

舉個(gè)例子，比如說(shuō)我對(duì)某位科幻小說(shuō)作家的喜愛(ài)程度就是一個(gè)偏序關(guān)系。如果我喜歡阿西莫夫勝于喜歡凡爾納，而喜歡凡爾納又勝于喜歡克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜歡阿西莫夫。不過(guò)一個(gè)偏序關(guān)系并不要求任意兩個(gè)對(duì)象都能相互比較。比如說(shuō)劉慈欣的水平當(dāng)然不能和克拉克這樣的世界級(jí)科幻大師比，但是喜歡是一種很個(gè)人的事情，作為一個(gè)中國(guó)人，我對(duì)中國(guó)的科幻創(chuàng)作更感興趣所以似乎不能說(shuō)我更喜歡克拉克，但也不能說(shuō)我更喜歡劉慈欣，而且也不能說(shuō)同樣喜歡，因?yàn)橄矚g的地方不一樣所以更確切地也許應(yīng)該說(shuō)，他們倆之間不能比較。但偏序關(guān)系中存在這樣的可能性，有一個(gè)對(duì)象可以和兩個(gè)不能相互比較的對(duì)象中的每一個(gè)相比較，比方說(shuō)我喜歡阿西莫夫勝過(guò)劉慈欣和克拉克中的任一個(gè)。

不過(guò)作為集合大小的定義，我們希望能夠比較任意兩個(gè)集合的大小。所以，對(duì)于任何給定的兩個(gè)集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一樣大，這三種情況必須有一種正確而且只能有一種正確。這樣的偏序關(guān)系被稱(chēng)為全序關(guān)系。

最后，新的定義必須保持原來(lái)有限集合間的大小關(guān)系。有限集合間的大小關(guān)系是很清楚的，所謂的大，也就是集合中的元素更多，有五個(gè)元素的集合要比有四個(gè)元素的集合大，在新的擴(kuò)充了的集合定義中也必須如此。這個(gè)要求是理所當(dāng)然的，否則我們沒(méi)有理由將新的定義作為老定義的擴(kuò)充。

集合大小定義的基本要求的全部?jī)?nèi)容就是這些，數(shù)學(xué)網(wǎng)希望考生可以考上理想的大學(xué)。

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/476526.html

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