處理帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運(yùn)動問題，其本質(zhì)是平面幾何與的綜合運(yùn)用。重要的是正確建立完整的模型，畫出準(zhǔn)確、清晰的運(yùn)動軌跡。下面我們從基本問題出發(fā)對“帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動”進(jìn)行分類解析。

一、“帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動”的基本型問題

找圓心、畫軌跡是解題的基礎(chǔ)。帶電粒子垂直于磁場進(jìn)入一勻強(qiáng)磁場后在洛侖茲力作用下必作勻速圓周運(yùn)動，抓住運(yùn)動中的任兩點處的速度，分別作出各速度的垂線，則二垂線的交點必為圓心；或者用垂徑定理及一處速度的垂線也可找出圓心；再利用知識求出圓周運(yùn)動的半徑及粒子經(jīng)過的圓心角從而解答物理問題。

【例1】圖示在y<0的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；一帶正電的粒子以速度V0從O點射入磁場中，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正方向的夾角為θ；若粒子射出磁場的位置與O點的距離為L。求①該粒子的電荷量和質(zhì)量比；②粒子在磁場中的運(yùn)動時間。

分析：①粒子受洛侖茲力后必將向下偏轉(zhuǎn)，過O點作速度V0的垂線必過粒子運(yùn)動軌跡的圓心O’；由于圓的對稱性知粒子經(jīng)過點P時的速度方向與x軸正方向的夾角必為θ，故點P作速度的垂線與點O處速度垂線的交點即為圓心O’（也可以用垂徑定理作弦OP的垂直平分線與點O處速度的垂線的交點也為圓心）。由圖可知粒子圓周運(yùn)動的半徑由有。再由洛侖茲力作向心力得出粒子在磁場中的運(yùn)動半徑為故有，解之。

②由圖知粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角為，故粒子在磁場中的運(yùn)動時間為。

【例2】如圖以ab為邊界的二勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1＝2B2，現(xiàn)有一質(zhì)量為m帶電+q的粒子從O點以初速度V0沿垂直于ab方向發(fā)射；在圖中作出粒子運(yùn)動軌跡，并求出粒子第6次穿過直線ab所經(jīng)歷的時間、路程及離開點O的距離。（粒子重力不計）

分析：粒子在二磁場中的運(yùn)動半徑分別為，由粒子在磁場中所受的洛侖茲力的方向可以作出粒子的運(yùn)動軌跡如圖所示。粒子從點O出發(fā)第6次穿過直線ab時的位置必為點P；故粒子運(yùn)動經(jīng)歷的時間為，而粒子的運(yùn)動周期代入前式有。粒子經(jīng)過的路程。點O與P的距離為。

二、“帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動”的范圍型問題

尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”，然后利用粒子運(yùn)動的實際軌道半徑R與R0的大小關(guān)系確定范圍。

【例3】如圖所示真空中寬為d的區(qū)域內(nèi)有強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場方向如圖，質(zhì)量m帶電-q的粒子以與CD成θ角的速度V0垂直射入磁場中；要使粒子必能從EF射出則初速度V0應(yīng)滿足什么條件？EF上有粒子射出的區(qū)域？

分析：粒子從A點進(jìn)入磁場后受洛侖茲力作勻速圓周運(yùn)動，要使粒子必能從EF射出，則相應(yīng)的臨界軌跡必為過點A并與EF相切的軌跡如圖示，作出A、P點速度的垂線相交于O’即為該臨界軌跡的圓心，臨界半徑R0由有；故粒子必能穿出EF的實際運(yùn)動軌跡半徑R≥R0，即 有。

由圖知粒子不可能從P點下方向射出EF，即只能從P點上方某一區(qū)域射出；又由于粒子從點A進(jìn)入磁場后受洛侖茲力必使其向右下方偏轉(zhuǎn)，故粒子不可能從AG直線上方射出；由此可見EF中有粒子射出的區(qū)域為PG，且由圖知 高中生物。

【例4】如圖所示S為電子射線源能在圖示紙面上和360°范圍內(nèi)向各個方向發(fā)射速率相等的質(zhì)量為m、帶電-e的電子，MN是一塊足夠大的豎直檔板且與S的水平距離OS＝L，檔板左側(cè)充滿垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場；①若電子的發(fā)射速率為V0，要使電子一定能經(jīng)過點O，則磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的條件？②若磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，要使S發(fā)射出的電子能到達(dá)檔板，則電子的發(fā)射速率多大？③若磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，從S發(fā)射出的電子的速度為，則檔板上出現(xiàn)電子的范圍多大？

分析：電子從點S發(fā)出后必受到洛侖茲力作用而在紙面上作勻速圓周運(yùn)動，由于電子從點S射出的方向不同將使其受洛侖茲力方向不同，導(dǎo)致電子的軌跡不同，分析知只有從點S向與SO成銳角且位于SO上方發(fā)射出的電子才可能經(jīng)過點O。

①要使電子一定能經(jīng)過點O，即SO為圓周的一條弦，則電子圓周運(yùn)動的軌道半徑必滿足，由。

②要使電子從S發(fā)出后能到達(dá)檔板，則電子至少能到達(dá)檔板上的O點，故仍有粒子圓周運(yùn)動半徑，由有。

③當(dāng)從S發(fā)出的電子的速度為時，電子在磁場中的運(yùn)動軌跡半徑，但由于電子發(fā)射出的方向不同則其軌道不同，因而到達(dá)MN板的位置不同。由此作出圖示的二臨界軌跡，故電子擊中檔板的范圍在P1P2間；對SP1弧由圖知，且該電子的發(fā)射方向與SO必成30°向SO下方發(fā)射；對SP2弧由圖知，且該電子的發(fā)射方向與SO成α為而向SO的左上方發(fā)射。

三、“帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動”的極值型問題

尋找產(chǎn)生極值的條件：①直徑是圓的最大弦；②同一圓中大弦對應(yīng)大的圓心角；③由軌跡確定半徑的極值。

【例5】圖中半徑r＝10cm的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，其邊界跟y軸在坐標(biāo)原點O處相切；磁場B＝0．33T垂直于紙面向內(nèi)，在O處有一放射源S可沿紙面向各個方向射出速率均為的α粒子；已知α粒子質(zhì)量為，電量，則α粒子通過磁場空間的最大偏轉(zhuǎn)角θ及在磁場中運(yùn)動的最長時間t各多少？

分析：α粒子從點O進(jìn)入勻強(qiáng)磁場后必作勻速圓周運(yùn)動，其運(yùn)動半徑由一定；由于α粒子從點O進(jìn)入磁場的方向不同故其相應(yīng)的軌跡與出場位置均不同，則粒子通過磁場的速度偏向角θ不同；要使α粒子在運(yùn)動中通過磁場區(qū)域的偏轉(zhuǎn)角θ 最大，則必使粒子在磁場中運(yùn)動經(jīng)過的弦長最大；因而圓形磁場區(qū)域的直徑OP即為粒子在磁場中運(yùn)動所經(jīng)過的最大弦；故α粒子從點O入磁場而從點P出場的軌跡如圖圓O’所對應(yīng)的圓弧示，該弧所對的圓心角即為最大偏轉(zhuǎn)角θ。由前面計算知△SO/P必為等邊三角形，故α＝30°且θ＝2α＝60°。此過程中粒子在磁場中運(yùn)動的時間由即為粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間。

【例6】一質(zhì)量m、帶電q的粒子以速度V0從A點沿等邊三角形ABC的AB方向射入強(qiáng)度為B的垂直于紙面的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域中，要使該粒子飛出磁場后沿BC射出，求圓形磁場區(qū)域的最小面積。

分析：由題中條件求出粒子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動的半徑為一定，故作出粒子沿AB進(jìn)入磁場而從BC射出磁場的運(yùn)動軌跡圖中虛線圓所示，只要小的一段圓弧PQ能處于磁場中即能完成題中要求；故由直徑是圓的最大弦可得圓形磁場的最小區(qū)域必為以直線PQ為直徑的圓如圖中實線圓所示。由于三角形ABC為等邊三角形，故圖中 α＝30°，那么 ，故最小磁場區(qū)域的面積為。

【例7】有一粒子源置于一平面直角坐標(biāo)原點O處，如圖所示相同的速率v0向第一象限平面內(nèi)的不同方向發(fā)射電子，已知電子質(zhì)量為m，電量為e。欲使這些電子穿過垂直于紙面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場后，都能平行于x軸沿+x方向運(yùn)動，求該磁場方向和磁場區(qū)域的最小面積s。

分析：由于電子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動的半徑R＝mv0/Be是確定的，設(shè)磁場區(qū)域足夠大，作出電子可能的運(yùn)動軌道如圖所示，因為電子只能向第一象限平面內(nèi)發(fā)射，所以電子運(yùn)動的最上面一條軌跡必為圓O1，它就是磁場的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點O為圓心，以R為半徑的圓弧O1O2On。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場，故由幾何知識有電子的飛出點必為每條可能軌跡的最高點。如對圖中任一軌跡圓O2而言，要使電子能平行于x軸向右飛出磁場，過O2作弦的垂線O2A，則電子必將從點A飛出，相當(dāng)于將此軌跡的圓心O2沿y方向平移了半徑R即為此電子的出場位置。由此可見我們將軌跡的圓心組成的圓弧O1O2On沿y方向向上平移了半徑R后所在的位置即為磁場的下邊界，圖中圓弧OAP示。綜上所述，要求的磁場的最小區(qū)域為弧OAP與弧OBP所圍。利用正方形OO1PC的面積減去扇形OO1P的面積即為OBPC的面積；即R2-πR2/4。根據(jù)幾何關(guān)系有最小磁場區(qū)域的面積為S＝2（R2-πR2/4）＝（π/2 -1）（mv0/Be）2。

四、“帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動”的多解型問題

抓住多解的產(chǎn)生原因：①速度方向的不確定引起的多解，②與自然數(shù)相關(guān)的多解即粒子運(yùn)動時間與運(yùn)動周期的倍數(shù)不確定。

【例8】在前面“【例4】”中若將檔板取走，磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，當(dāng)電子以速率從點S射出后要擊中O點，則點S處電子的射出方向與OS的夾角為多少？從S到點O的時間多少？

分析：由已知條件知電子圓周運(yùn)動的半徑，電子從點S射出后要經(jīng)過點O即直線SO為圓的一條弦，由圖知必有兩種運(yùn)動軌跡存在；由于題中SO＝L＝r，故∠OSO2＝60°，那么電子從點S的發(fā)射速度V2的方向與SO所成的夾角α＝30°；圖中∠OSO1＝60°，故電子的發(fā)射速度V1的方向與SO所成的夾角θ＝150°。

【例9】一質(zhì)量m帶電q的粒子以速率V垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，粒子經(jīng)過一段時間受到的沖量的大小為mv，粒子重力不計。則此過程經(jīng)歷的時間為多少？

分析：粒子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動的半徑，右圖示設(shè)粒子的初位置為a，因其受沖量的大小為mv而方向未知故必有右圖中的兩種情況，即未動量的方向有P1、P2兩個，對應(yīng)的沖量方向仍有I1、I2兩個。粒子作勻速圓周運(yùn)動中動量的大小始終為mv不變，由動量定理可知而；故粒子在該過程中經(jīng)歷的時間為，，其中。

【例10】在半徑為r的圓筒中有沿筒軸線方向的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；一質(zhì)量為m帶電+q的粒子以速度V從筒壁A處沿半徑方向垂直于磁場射入筒中；若它在筒中只受洛侖茲力作用且與筒壁發(fā)生彈性碰撞，欲使粒子與筒壁連續(xù)相碰撞并繞筒壁一周后仍從A處射出；則B必須滿足什么條件？帶電粒子在磁場中的運(yùn)動時間？

分析：由于粒子從A處沿半徑射入磁場后必作勻速圓周運(yùn)動，要使粒子又從A處沿半徑方向射向磁場，且粒子與筒壁的碰撞次數(shù)未知，故設(shè)粒子與筒壁的碰撞次數(shù)為n（不含返回A處并從A處射出的一次），由圖可知，其中n為大于或等于2的整數(shù)（當(dāng)n＝1時即粒子必沿圓O的直徑作直線運(yùn)動，表示此時B＝0）；由圖知粒子圓周運(yùn)動的半徑R為，再由粒子在磁場中的運(yùn)動半徑可求出。

粒子在磁場中的運(yùn)動周期為，粒子每碰撞一次在磁場中轉(zhuǎn)過的角度由圖得，粒子從A射入磁場再從A沿半徑射出磁場的過程中將經(jīng)過n+1段圓弧，故粒子運(yùn)動的總時間為：，將前面B代入T后與共同代入前式得。

五、“帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動”的動力學(xué)問題

注意洛侖茲力不做功，洛侖茲力的方向?qū)㈦S物體的運(yùn)動方向的變化而發(fā)生相應(yīng)的變化；正確結(jié)合變速圓周運(yùn)動中的動力學(xué)關(guān)系與能量守恒定律處理。

【例11】金屬小球質(zhì)量m帶電-q，由長L的絕緣細(xì)線懸掛于圖示勻強(qiáng)磁場中的O點，然后將小球拉到θ＝600處由靜止釋放，小球沿圓弧運(yùn)動到最低點時懸線上的張力恰好為0；求①磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝？②小球住復(fù)擺動中懸線上的最大張力多少？

分析：①小球從點A由靜止釋放后在繞點O運(yùn)動中必同時受到重力、線的拉力及洛侖茲力作用，由左手定則知小球從A向P運(yùn)動中洛侖茲力方向必沿半徑指向圓心，且洛侖茲力對小球不做功；故小球到達(dá)P點的速度大小為……⑴；小球在P點受力如圖示由圓周運(yùn)動有……⑵；……⑶；由⑴⑵⑶共得，由“⑴”求出故。

②小球從右向左運(yùn)動或從左向右運(yùn)動中由于所受洛侖茲力的方向?qū)�發(fā)生變化故懸線上的張力大小將作相應(yīng)的變化，分析可知當(dāng)小球從左向右運(yùn)動經(jīng)過點P時線上的張力必有最大值，小球從左向右經(jīng)過點P時的速度大小仍為有 ；小球從左向右過P點時其受到的洛侖茲力方向必沿半徑向外，故P點處線上的張力Tp為可得，將及θ＝600代入前式得到。

總之在處理帶電粒子在磁場中的勻速圓周運(yùn)動問題中，我們必須將物理規(guī)律與數(shù)學(xué)知識緊密結(jié)合，準(zhǔn)確分析粒子運(yùn)動過程及臨界狀態(tài)與極值條件；處理帶電粒子在磁場中的變速圓周運(yùn)動問題時，時刻注意洛侖茲力的方向變化并在解答中注意洛侖茲力不做功，正確利用動力學(xué)規(guī)律與能量守恒定律。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/50364.html

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