數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法,在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個遞推的數(shù)學(xué)論證方法,論證的第一步是證明命題在n=1(或n)時成立,這是遞推的基礎(chǔ),第二步是假設(shè)在n=k時命題成立,再證明n=k+1時命題也成立,這是無限遞推下去的理論依據(jù),它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般,實際上它使命題的正確性突破了有限,達到無限。這兩個步驟密切相關(guān),缺一不可,完成了這兩步,就可以斷定“對任何自然數(shù)(或n≥n且n∈N)結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出,數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的,屬于完全歸納。
運用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時,關(guān)鍵是n=k+1時命題成立的推證,此步證明要具有目標(biāo)意識,注意與最終要達到的解題目標(biāo)進行分析比較,以此確定和調(diào)控解題的方向,使差異逐步減小,最終實現(xiàn)目標(biāo)完成解題。
運用數(shù)學(xué)歸納法,可以證明下列問題:與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。
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