1、 明確事物間的相互聯(lián)系。認(rèn)識現(xiàn)實(shí)生活中變量間除了存在確定的關(guān)系外，仍存在大量的非確定性的相關(guān)關(guān)系，并利用散點(diǎn)圖直觀體會這種相關(guān)關(guān)系。
2、 通過TI技術(shù)探究用不同的估算描述兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系的過程，學(xué)會用的有關(guān)變量來描述現(xiàn)實(shí)關(guān)系。
3、知道最小二乘法思想，了解其公式的推導(dǎo)。會用TI圖形計(jì)算器來求回歸方程，相關(guān)系數(shù)。
[教學(xué)用具]：
每人一臺TI圖形計(jì)算器、多媒體展示臺、幻燈
[教學(xué)實(shí)踐情況]：
一、 問題引出：請同學(xué)們?nèi)鐚?shí)填寫下表（在空格中打“√” ）
好
中
差
你的數(shù)學(xué)成績
你的成績
然后回答如下問題：①“你的數(shù)學(xué)成績對你的物理成績有無影響？”②“ 如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理成績也不會太差，如果你的數(shù)學(xué)成績差，那么你的物理成績也不會太好。”對你來說，是這樣嗎？同意這種說法的同學(xué)請舉手。
根據(jù)同學(xué)們回答的結(jié)果，讓學(xué)生討論：我們可以發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)成績和物理成績存在某種關(guān)系。（似乎就是數(shù)學(xué)好的，物理也好；數(shù)學(xué)差的，物理也差，但又不全對。）總結(jié)如下：
物理成績和數(shù)學(xué)成績是兩個(gè)變量，從經(jīng)驗(yàn)看，由于物理要用到比較多的數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)成績的高低對物理成績的高低是有一定影響的。但決非唯一因素，還有其它因素，如圖所示（幻燈片給出）：
（影響你的物理成績的關(guān)系圖）
因此，不能通過一個(gè)人的數(shù)學(xué)成績是多少就準(zhǔn)確地?cái)喽ㄋ奈锢沓煽兡苓_(dá)到多少。但這兩個(gè)變量是有一定關(guān)系的，它們之間是一種不確定性的關(guān)系。如何通過數(shù)學(xué)成績的結(jié)果對物理成績進(jìn)行合理估計(jì)有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。
二、 引出相關(guān)關(guān)系的概念
教師提問：“像剛才這種情況在現(xiàn)實(shí)生活中是否還有？”
學(xué)生甲：糧食產(chǎn)量與施肥用量的關(guān)系；
學(xué)生乙：人的體重與食肉數(shù)量的關(guān)系。
……
從而得出：兩個(gè)變量之間的關(guān)系可能是確定的關(guān)系（如：函數(shù)關(guān)系），或非確定性關(guān)系。當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量也確定，則為確定關(guān)系；當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量帶有隨機(jī)性，這種變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。
三、探究線性相關(guān)關(guān)系和其他相關(guān)關(guān)系
問題：在一次對人體脂肪和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：
人體的脂肪百分比和年齡
年齡
23
27
39
41
45
49
50
脂肪
9．5
17．8
21．2
25．9
27．5
26．3
28．2
年齡
53
54
56
57
58
60
61
脂肪
29．6
30．2
31．4
30．8
33．5
35．2
34．6
針對于上述數(shù)據(jù)所提供的信息，你認(rèn)為人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？教師特別向?qū)W生強(qiáng)調(diào)在研究兩個(gè)變量之間是否存在某種關(guān)系時(shí)，必須從散點(diǎn)圖入手（向?qū)W生介紹什么是散點(diǎn)圖）。并且引導(dǎo)學(xué)生從散點(diǎn)圖上可以得出如下規(guī)律：（幻燈片給出）
1、如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，那么變量之間具有函數(shù)關(guān)系（確定性關(guān)系）；
2、如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線的附近，那么變量之間具有相關(guān)關(guān)系（不確定性關(guān)系）；
3、如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，那么變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系（不確定性關(guān)系）。
下面我們用TI圖形計(jì)算器作出這兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖。
學(xué)生實(shí)驗(yàn)：先把數(shù)據(jù)中成對出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)分別作為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，把數(shù)據(jù)輸入到表格當(dāng)中（第一列橫坐標(biāo)、第二列縱坐標(biāo)）得到圖1；然后，用TI圖形計(jì)算器作散點(diǎn)圖得圖2：
（圖1）
（圖2）
引導(dǎo)學(xué)生觀察作出的散點(diǎn)圖，體會現(xiàn)實(shí)生活中兩個(gè)變量之間的關(guān)系存在著不確定性。散點(diǎn)圖中的散點(diǎn)并不在一條直線上，只是分布在一條直線的周圍，即為線性相關(guān)關(guān)系。
給出三組數(shù)據(jù)（表1-3），請學(xué)生作出散點(diǎn)圖，并觀察每組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。
表1：
-5
0
4
7
12
15
19
23
27
31
36
156
150
132
128
130
116
104
89
93
76
54
表2 ：
-12
-9
-5
-4
-3
-1
0
2
4
6
9
13
120
100
20
12
6
2
0
3.5
23
27
70
150
表3：
-9
-7
-5
-4
-2
-1
0
1
3
5
7
9
1/560
1/100
1/30
1/18
1/5
9/10
10/11
3
9
28
100
550
表4：
-13
-11
-9
-7
-5
-3
-2
-1
0
1
3
4
5
92
55
31
15
6
5
9
12
19
30
50
70
88
根據(jù)表1-4，學(xué)生作出如下散點(diǎn)圖，（圖3、圖4、圖5、圖6）：
（圖3） （圖4）
（圖5） （圖6）
通過學(xué)生討論、交流、用TI圖形計(jì)算器展示、對比自己作出的散點(diǎn)圖，我們引出線性相關(guān)關(guān)系，正負(fù)相關(guān)關(guān)系的概念。
四、引出回歸直線的概念，探索求回歸直線方程的方法
再看圖2，你能說說人在62、63、64歲時(shí)的脂肪含量大約是多少嗎？
通過用TI圖形計(jì)算器圖象，猜想：所有的點(diǎn)都大致分布在一條直線的附近，只要求出這條直線的方程，那么就可以知道人在62、63、64歲時(shí)的脂肪含量。如圖7，從整體上看，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布大致在一條直線附近，我們把這條直線叫做“回歸直線”。
（圖7）
注：“回歸”這個(gè)詞是有英國著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Francils Galton 提出來的。1889年，他在研究祖先與后代身高之間的關(guān)系時(shí)發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也較高，但這些孩子的平均身高并沒有他們的父母平均身高高；身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們的父母平均身高高。Galton把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢稱為“回歸現(xiàn)象”。后來，人們把由一個(gè)變量的變化去推測另一個(gè)變量的變化的方法稱為“回歸方法”。
那么如何求回歸直線方程呢？人們在思考這個(gè)問題的時(shí)候，常用以下3種方法：
1、采用測量的方法，先畫一條直線，測量出各點(diǎn)到它的距離，然后移動直線，到達(dá)一個(gè)使距離之和最小的位置，測量出此時(shí)直線的斜率和截距，就得到回歸方程。
2、在圖中選取兩點(diǎn)畫直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同。
3、在散點(diǎn)圖中多取幾個(gè)點(diǎn)，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。
上面的這些方法雖然有一定的道理，但總讓人感覺到可靠性不強(qiáng)。統(tǒng)計(jì)學(xué)中，科學(xué)家們經(jīng)過研究后于是得出了如下方法：求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看各點(diǎn)與此直線的距離和最小”。現(xiàn)在，我們來看一下數(shù)學(xué)家解決這個(gè)問題的過程吧。
設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的一組數(shù)據(jù)： ，所要求的回歸直線方程為： ，其中， 是待定的系數(shù)。當(dāng)變量 取 時(shí)，可以得到 。求 的最小值，其步驟為：
最后，指導(dǎo)學(xué)生直接利用TI圖形計(jì)算器，計(jì)算人的脂肪含量與年齡這一問題。得到圖8：
（圖8）
五、相關(guān)系數(shù)及其含義
從圖象和回歸方程可知：人的脂肪含量與人的年齡是正相關(guān)關(guān)系，那么人的年齡多大程度上決定人體的脂肪含量？這就是相關(guān)強(qiáng)弱的問題。如何解決這一問題，統(tǒng)計(jì)學(xué)家們引進(jìn)相關(guān)系數(shù)這一概念，用相關(guān)系數(shù) 來衡量兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱。若相應(yīng)于變量 的取值 ，變量 的觀測值為 ，
則兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為：
相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱給出具體的判斷標(biāo)準(zhǔn)：首先 的符號決定正、負(fù)相關(guān)關(guān)系；當(dāng) 時(shí)，相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)；當(dāng)時(shí)，相關(guān)關(guān)系一般；此外，相關(guān)關(guān)系很弱或者幾乎不能用線性相關(guān)來描述。TI圖形計(jì)算器結(jié)果中出現(xiàn)的 就是相關(guān)系數(shù) ， 就是 。
通過計(jì)算，我們得到探究問題中的 （如圖8所示），所以我們說人的脂肪含量與人的年齡正相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)。
最后，我們得到問題的主要結(jié)論：
1、 人體的脂肪與年齡之間是線性相關(guān)關(guān)系，而且正相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)（ ）。
2、這種相關(guān)關(guān)系可以用回歸方程： 來刻畫。
3、人在62、63、64歲時(shí)，人體的脂肪含量百分比大約為：35.26、35.84、36.42。
[效果與回收]：
一、課外實(shí)踐：（用TI圖形計(jì)算器等工具完成下列問題）
1、一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下：
零件(個(gè)數(shù))
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工時(shí)間（min）
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
(1)、畫出散點(diǎn)圖；
(2)、求回歸方程；
(3)、關(guān)于加工零件的個(gè)數(shù)與加工時(shí)間，你能得出什么結(jié)論？
2、某機(jī)構(gòu)曾研究對翻車魚的影響。在一定溫度下，經(jīng) 單位時(shí)間，翻車魚的存活的比例為 ，數(shù)據(jù)如下：
(0.10,1.00), (0.15,0.95), (0.20,0.95), (0.25,0.90), (0.30,0.85),
(0.35,0.70), (0.40,0.65), (0.45,0.60), (0.50,0.55), (0.55,0.40).
(1)、請作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
(2)、關(guān)于這兩個(gè)變量的關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？
3、經(jīng)過抽樣，我校的部分學(xué)生的第二次段考和數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢?br />語文
56
60
66
70
93
102
112
115
119
120
122
126
數(shù)學(xué)
99
55
49
124
138
100
86
91
70
110
99
82
(1)、請作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
(2)、關(guān)于學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文成績之間的關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？
二、學(xué)生完成情況綜述
（1）、正確的作圖與結(jié)論：
①第1題解答：
（圖9） （圖10）
結(jié)論：
1、散點(diǎn)圖如上圖9所示（已經(jīng)添加了回歸直線）。
2、回歸方程： 。
3、通過觀察圖9可知：加工零件的個(gè)數(shù)與加工時(shí)間之間是線性相關(guān)關(guān)系。因?yàn)椋嚓P(guān)系數(shù)是： ，所以，正相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)。
②第2題解答：
（圖11） （圖12）
結(jié)論：
1、散點(diǎn)圖如上圖11所示（已經(jīng)添加了回歸直線）。
2、回歸方程： 。
3、通過觀察圖11可知：翻車魚的存活的比例與單位時(shí)間之間是線性相關(guān)關(guān)系。因?yàn)�，相關(guān)系數(shù)是： ，所以，負(fù)相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)。
③第3題解答：
（圖13） （圖14）
結(jié)論：
1、散點(diǎn)圖如上圖13所示。
2、通過觀察圖13可知：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文成績之間的關(guān)系是不確定關(guān)系。因?yàn)�，相關(guān)系數(shù)是： ，所以，相關(guān)關(guān)系很弱，幾乎沒有線性相關(guān)關(guān)系。
（2）、作圖中存在的錯(cuò)誤與不足：
（圖15） （圖16）
（圖17） （圖18）
以上的兩個(gè)圖形的錯(cuò)誤或不足之處分別在于：
①出現(xiàn)圖15 的現(xiàn)象，是因?yàn)閳D象顯示的窗口沒有調(diào)整到最合適窗口。
②出現(xiàn)圖16的現(xiàn)象，是因?yàn)樵谇蠡貧w直線方程過程中，按錯(cuò)了鍵，以致求出的是中位數(shù)回歸方程。
③出現(xiàn)圖17、18的現(xiàn)象，是因?yàn)樵谇蠡貧w直線方程過程中，把數(shù)組中的 的順序顛倒了。雖然圖17與圖9很相近，但是，實(shí)質(zhì)上是錯(cuò)誤的作圖，這一點(diǎn)可以從求出的回歸方程（圖18）： 與正確的方程： 相比較得到證實(shí)。
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/53693.html
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