旋轉(zhuǎn)體·內(nèi)容簡(jiǎn)析

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

1.在我們只研直圓柱、直圓錐和直圓臺(tái)。所以對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的旋轉(zhuǎn)定義、實(shí)際上是直圓柱、直圓錐、直圓臺(tái)的定義。

  這樣定義直觀形象,便于理解,而且對(duì)它們的性質(zhì)也易推導(dǎo)。

  對(duì)于球的定義中,要注意區(qū)分球和球面的概念,球是實(shí)心的。

  等邊圓柱和等邊圓錐是特殊圓柱和圓錐,它是由其軸截面來(lái)定義的,在實(shí)踐中運(yùn)用較廣,要注意與一般圓柱、圓錐的區(qū)分。

  2.圓柱、圓錐、圓和球的性質(zhì)

 。1)圓柱的性質(zhì),要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn):一是連心線垂直圓柱的底面;二是三個(gè)截面的性質(zhì)——平行于底面的截面是與底面全等的圓;軸截面是一個(gè)以上、下底面圓的直徑和母線所組成的矩形;平行于軸線的截面是一個(gè)以上、下底的圓的弦和母線組成的矩形。

  (2)圓錐的性質(zhì),要強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)

  ①平行于底面的截面圓的性質(zhì):

  截面圓面積和底面圓面積的比等于從頂點(diǎn)到截面和從頂點(diǎn)到底面距離的平方比。

 、谶^(guò)圓錐的頂點(diǎn),且與其底面相交的截面是一個(gè)由兩條母線和底面圓的弦組成的等腰三角形,其面積為:

  易知,截面三角形的頂角不大于軸截面的頂角(如圖10-20),事實(shí)上,由BC≥AB,VC=VB=VA可得∠AVB≤BVC.

  由于截面三角形的頂角不大于軸截面的頂角。

  所以,當(dāng)軸截面的頂角θ≤90°,有0°<α≤θ≤90°,即有

  當(dāng)軸截面的頂角θ>90°時(shí),軸截面的面積卻不是最大的,這是因?yàn),?0°≤α<θ<180°時(shí),1≥sinα>sinθ>0.

 、蹐A錐的母線l,高h(yuǎn)和底面圓的半徑組成一個(gè)直徑三角形,圓錐的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題,一般都要?dú)w結(jié)為解這個(gè)直角三角形,特別是關(guān)系式

l2=h2+R2

 。3)圓臺(tái)的性質(zhì),都是從“圓臺(tái)為截頭圓錐”這個(gè)事實(shí)推得的,但仍要強(qiáng)調(diào)下面幾點(diǎn):

 、賵A臺(tái)的母線共點(diǎn),所以任兩條母線確定的截面為一等腰梯形,但是,與上、下底面都相交的截面不一定是梯形,更不一定是等腰梯形。

 、谄叫杏诘酌娴慕孛嫒魧A臺(tái)的高分成距上、下兩底為兩段的截面面積為S,則

  其中S1和S2分別為上、下底面面積。

  的截面性質(zhì)的推廣。

 、蹐A臺(tái)的母線l,高h(yuǎn)和上、下兩底圓的半徑r、R,組成一個(gè)直角梯形,且有

l2=h2+(R-r)2

  圓臺(tái)的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題,常歸結(jié)為解這個(gè)直角梯形。

 。4)球的性質(zhì),著重掌握其截面的性質(zhì)。

 、儆萌我馄矫娼厍蛩玫慕孛媸且粋(gè)圓面,球心和截面圓圓心的連線與這個(gè)截面垂直。

 、谌绻肦和r分別表示球的半徑和截面圓的半徑,d表示球心到截面的距離,則

R2=r2+d2  

即,球的半徑,截面圓的半徑,和球心到截面的距離組成一個(gè)直角三角形,有關(guān)球的計(jì)算問(wèn)題,常歸結(jié)為解這個(gè)直角三角形。

  3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的表面積

 。1)圓柱、圓錐、圓臺(tái)和多面體一樣都是可以平面展開(kāi)的。

 、賵A柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖,是求其側(cè)面積的基本依據(jù)。

  圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖,是由底面圖的周長(zhǎng)和母線長(zhǎng)組成的一個(gè)矩形。

  ②圓錐和側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)由兩條母線長(zhǎng)和底面圓的周長(zhǎng)組成的扇形,其扇形的圓心角為

 、蹐A臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)由兩條母線長(zhǎng)和上、下底面周長(zhǎng)組成的扇環(huán),其扇環(huán)的圓心角為

  這個(gè)公式有利于空間幾何體和其側(cè)面展開(kāi)圖的互化

  顯然,當(dāng)r=0時(shí),這個(gè)公式就是圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角公式,所以,圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角公式是圓臺(tái)相關(guān)角的特例。

 。2)圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面公式為

  S側(cè)=π(r+R)l

  當(dāng)r=R時(shí),S側(cè)=2πRl,即圓柱的側(cè)面積公式。

  當(dāng)r=0時(shí),S側(cè)=rRl,即圓錐的面積公式。

  要重視,側(cè)面積間的這種關(guān)系。

  (3)球面是不能平面展開(kāi)的圖形,所以,求它的面積的與柱、錐、臺(tái)的完全不同。

  推導(dǎo)出來(lái),要用“微積分”等高等的,課本上不能算是一種證明。

  求不規(guī)則圓形的度量屬性的常用方法是“細(xì)分——求和——取極限”,這種方法,在學(xué)完“微積分”的相關(guān)內(nèi)容后,不證自明,這里從略。

  4.畫(huà)圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的直觀圖的方法——正等測(cè)

 。1)正等測(cè)畫(huà)直觀圖的要求:

 、佼(huà)正等測(cè)的X、Y、Z三個(gè)軸時(shí),z軸畫(huà)成鉛直方向,X 軸和Y軸各與Z軸成120°。

 、谠谕队皥D上取線段長(zhǎng)度的方法是:在三軸上或平行于三軸的線段都取實(shí)長(zhǎng)。

  這里與斜二測(cè)畫(huà)直觀圖的方法不同,要注意它們的區(qū)別。

 。2)正等測(cè)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的直觀圖的區(qū)別主要是水平放置的平面圖形。

  用正等測(cè)畫(huà)水平放置的平面圓形時(shí),將X軸畫(huà)成水平位置,Y軸畫(huà)成與X軸成120°,在投影圖上,X軸和Y軸上,或與X軸、Y軸平行的線段都取實(shí)長(zhǎng),在Z軸上或與Z軸平行的線段的畫(huà)法與斜二測(cè)相同,也都取實(shí)長(zhǎng)。

  5.關(guān)于幾何體表面內(nèi)兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題

  柱、錐、臺(tái)的表面都可以平面展開(kāi),這些幾何體表面內(nèi)兩點(diǎn)間最短距離,就是其平面內(nèi)展開(kāi)圖內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)。

  由于球面不能平面展開(kāi),所以求球面內(nèi)兩點(diǎn)間的球面距離是一個(gè)全新的方法,這個(gè)最短距離是過(guò)這兩點(diǎn)大圓的劣弧長(zhǎng)



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