數學教學教什么?除教材知識外，更主要的是教給學生數學思想．數學思想是能銘記在學生頭腦中起永恒作朋的觀念和文化，是數學教學的終極目標，足體現數學教育價值和區(qū)別于其他學科教學的關鍵所在．新課改以米，人們多聚焦在教學方式的改革上，單一的接受式教學已不多見，探究、合作等教學方式使課堂耳目一新．但是，對數學思想的教學，似乎關注不多，以數學思想立意的教學并不多見．這在某種程度上模糊了數學教學的終極目標，數學教學的深刻性被淡化，數學教學存在的意義和價值被削弱，數學教學的育人功能、文化內涵流失．為了加強數學思想的教學，本文以“反比例函數的圖象和性質”教學為例，就立意于數學思想的教學談些粗淺的認識．
一、內容分析。析出蘊涵的數學思想
數學思想具有隱喻性的特點，它隱于知識內部，需要精心挖捌才能發(fā)現．數學思想的教學，首先需要從對教學內容的分析入手，析出其中蘊涵的數學思想．
“反比例函數的圖象和性質”蘊涵著數形結合、變化與對應、類比、轉化、分類等豐富的數學思想．
第一，“反比例函數的圖象和性質”本身就是“數”與“形”的統(tǒng)一體，體現了數形結合的思想．反比例函數是自變量和因變量之間具有反比例關系的函數，無論從其概念，還是其性質(在某一象限內，y隨x的增大而增大(或減小))都體現了變化與對應的函數思想．研究反比例函數的圖象與性質時，由“解析式(確定自變量取值范圍)”到“作圖(列表、描點、連線)”再到“性質(觀察圖象探究性質)”，充分體現了由“數”到“形”，再由“形”到“數”的轉化過程，這種函數解析式及性質與函數圖象之間的聯(lián)系體現了兩者間的轉化對分析解決問題的特殊作用，是轉化思想的具體應用．反比例函數的圖象和性質在后≠0的條件下，分為．k>0、k<0兩種情況進行研究，這又體現了分類思想．
第二，從研究方法L來看，反比例函數的學習也體現了研究函數的一般套路和方法，研究反比例
函數的圖象和性質可以類比研究正比例函數的圖象和性質來進行．而兩者之間的類比不僅僅要關注“同”，也要關注“異”，“異”才是體現某一知識本質屬性的東西．例如，反比例函數圖象的不連續(xù)性是其與正比例函數圖象的一個不同點，它也是反比例函數需要在不同象限內分別討論增減性的原因，這也是本節(jié)課學生的認知難點．解決這一難點的辦法是要回到函數解析式上y=(k≠0)，而這正足從“形”到“數”，是數形結合思想的體現．
二、過程呈現，彰顯內隱的數學思想
1．重視引入環(huán)節(jié)
“反比例函數的圖象和性質”的引入，在類比思想的立意下，可從一次函數的復習人手，提出以
下問題：
問題1：在一次函數的學習中，我們研究哪些問題?
問題2：我們研究過哪些函數的圖象和性質，都研究了哪些內容?
問題3：我們是怎樣研究的?研究的方法足什么?
問題l是知識結構的類比．揭示教材中基本初等函數研究內容“函數概念——函數圖象和性質——函數的實際應用”整體結構的“同構”現象，指明在學習反比例函數概念后，相繼將要研究的問題，引出課題．
問題2是研究內容的類比．重點回顧正比例函數圖象和性質，列出下表：
在回顧正比例函數圖象和性質的基礎上，明確本節(jié)課的學習任務．隨著學習進程逐次完成表格．同時凸顯“正(正比例函數)”與“反(反比例函數)”相比“反”在何處，由“直”到“曲”，由“連續(xù)”到“間斷”，由與坐標軸“相交”到“漸近”，使學生對正比例函數、反比例函數的認識更加深刻．
問題3是研究方法的類比．一是數形結合地研究函數圖象和性質的“三部曲”；二是“數”與“形”
相互轉化的研究方法(圖象“特征”一函數“特性”)．通過問題3明確學習線索和方法．
2．組織探究活動
數學思想具有過程性的特點，必須有自己身體力行的實踐，從自己親身經歷的探索思考過程中獲得體驗，從自己不斷深入的概括活動中，獲得對數學思想的領悟．因此，教學中，在蘊涵有數學思想的地方組織探究活動，讓學生在探究過程中經歷數學思想的形成過程．
在“反比例函數的圖象和性質”教學中，立意于數形結合、變化與對應思想的教學，可組織如下
探究活動：
活動1：作反比例函數y=和y=-的圖象．
作反比例函數的圖象有三大認知難點，一是列表時確定自變量x的取值；二是連線時用平滑的曲線連接而不是連成折線；三是圖象的變化趨勢，越來越靠近x軸和y軸，而不是相交．突破這些難點，可進行以下探究：
探究l：列表時如何選取x的值?
探究2：連線時任意相鄰兩點應如何連接?用線段連接行嗎?
探究3：反比例函數圖象的趨勢特征是什么?你能從函數解析式加以解釋嗎?
根據現階段教學要求和本節(jié)課的教學任務以及學生實際，問題1給出提示：
探究1提示：提示1：首先確定自變量x的取值范圍；
提示2：根據x和y，的對應關系，考慮x所取值應利于y值計算和描點；
提示3：能整體反映函數圖象的輪廓．
探究2提示：選定相鄰兩點，如點A(1，6)和點B(2，3)，在l<x<2的范圍內，取x=，得到點C，判斷點C與線段AB的位置關系．在點A與點C和點C與點B之問再分別各取一點，驗證你的判斷．推而廣之，使學生認識為什么用向下凹的平滑曲線連接的道理．
探究1解決自變量取值能否整體反映圖象輪廓和利于計算、描點問題，能使學生領悟到數形結
合地思考問題和函數對應關系運用．探究2判斷點C與線段AB的位置關系和探究3由解析式中x≠0、y≠0得到圖象與x軸和)，軸不相交，都能使學生領悟到數形結合、數形轉化思想的運用．在作反比例函數圖象時，上述三個認知難點是客觀存在的．若回避難點，如列表時給出x的值；描點、連線時教師作出示范或雖由學生作圖，但對出現的問題(連成折線、與X軸相交等)不加解釋地給出評判，都不利于知識的深刻理解，不利于后繼二次函數乃至高中函數知識的學習，同時，也失去了領悟數學思想的機會．
活動2：歸納反比例函數的性質．
作完反比例函數y=和y=-的圖象以及練習中反比例函數y=和y=-的圖象后，觀察圖象歸納反比例函數性質．這種歸納采用的是不完全歸納法，盡管不完全歸納法在數學上是不嚴格的，但這種歸納方式是符合學生的認知水平的．歸納過程可采用類比的方法，類比一次函數圖象和性質完成引入問題2中的表格．突出圖象“特征”與函數“特性”問的數形轉化，特別是圖象位置以及變化趨勢與x、y取值以及，，和省間變化對應關系的相互解釋與印證．在立意于類比、轉化和分類思想的教學下，可進行如下探究：
探究1：觀察函數)，y=和y=-以及y=和y=-的圖象，你能發(fā)現它們的共同特征以及不同點嗎?
探究2：函數的圖象位于哪些象限?由什么因素決定?
探究3：在每個象限內，y隨x的變化如何變化?
在探究l中，其共同特征：圖象不過坐標原點，圖象為兩支曲線且與兩坐標軸無交點，可回歸到解析式(k≠0)，從x≠0，y≠0加以解釋，從而滲透數形結合、數形轉化的思想．其不同點：圖象分為在一、三象限和二、四象限兩類，轉化到解析式上分為k>0和k<0，滲透分類思想．
在探究2中，從“數”到“形”：由xy=k(k>0)，x、y，同號，反映到函數圖象上，圖象在一、三象限；xy=k(k<0)，x、y異號，反映到函數圖象上，圖象在二、四象限．反之，從“形”到“數”亦然．從而滲透數形結合和數形轉化的思想．
在探究3中，從“數”到“形”：由x與y的反比例關系，隨著的不斷增大(或減小)，不斷減小(或增大)，反映到函數圖象上，圖象越來越靠近x軸(或y軸)；圖象在一、三象限內逐漸下降，圖象在二、四象限內逐漸上升．反之，從“形”到“數”亦然．從而滲透數形結合、數形轉化和變化對應的思想．
圖象“特征(形)”是函數“特性(數)”的直觀表象，雙方可以相互解釋和印證．“數”抽象時，可
以用“形”說明，“形”難理解時，可以用“數”解釋．這種“數”與“形”的結合，既是一種思想，也是學習函數和解決有關函數問題的方法．揭示出反比例函數的圖象和性質中所蘊涵的思想方法，即抓住了內容的核心本質．突出核心本質的教學與“只講知識，機械記憶”相比，其教育價值有天壤之別．
3．關注應用訓練
數學思想不能機械記憶，也不能只喊“口號”，只有將數學思想內化為數學思維意識和習慣才有意義．數學思想內化為數學思維意識，需要“實踐——認識——再實踐——再認識”的過程．因此，在反比例函數圖象和性質教學中，設置體現數學思想的例題或練習是十分必要的．如：
題目1：如圖1是反比例函數y=圖象的一支，根據圖象回答下列問題：(1)常數m的取值范圍是什么?圖象的另一支位于哪個象限?
(2)在這個函數圖象的某一支上任取點A(a，b)和點B(c，d)，
如果a<c，那么b和d有怎樣的大小關系?
此題采用“數”與“形”相結合的呈現方式，這在呈現方式上就滲透著數形結合思想．特別是第
(2)問，相比它的代數呈現方式——當x變化時)，如何變化，數形結合的呈現方式更具抽象性和一般性．解題的思維過程“觀察圖象——確定解析式中m的取值范圍——根據圖象上點A、B的位置關系確定b和d的大小”，更是體現著數形結合和數形轉化思想的運用．通過此題，不僅能進一步加深學生對知識的理解，而且對數形結合思想和轉化思想也會有更加深刻的認識．
4．強調小結歸納
小結不僅要引導學生歸納知識，還要對思想方法進行概括總結．但在目前的數學教學中，小結往往“八股化”，教師往往會在小結時提出“本節(jié)課你有哪些收獲?”“本節(jié)課你學習了哪些知識?”“你又學習了哪些數學思想方法?”數學思想具有“隱喻性”“過程性”的特點，不是給它“貼上標簽”學生就能理解的．在教學過程中需要結合具體內容，在小結時也同樣需要結合具體內容．在“反比例函數的圖象和性質”教學中，蘊涵著數形結合、變化與對應、類比、轉化的數學思想，小結時可用下頁框圖進行概括總結．
這樣小結，將知識與思想融為一體，使得思想有載體，知識有靈魂．
三、教學反思，立意深遠的數學思想
1．把握數學思想的教學要求
本節(jié)課所涉及的數形結合、變化與對應、類比、轉化、分類思想的教學，充分體現了數學思想教學要求的三個層次：滲透、介紹和突出．滲透，就是要在具體的數學知識的教學中，融進某些抽象的數學思想，使學生對這些思想有一些初步的感覺或直覺．例如變化與對應的思想，它是在作反比例函數圖象(列表)和歸納函數增減性教學過程中進行滲透的．介紹，就是要把某些數學思想在適當的時候
融合于數學知識中，使學生對這些思想有初步的理解，有一定的理性認識．例如類比思想，反比例函數學習過程是類比正比例函數學習過程進行的，期間不僅有知識結構、學習內容的類比，更為突出的是研究方法的類比．通過類比使學生形成有序的知識鏈條，建立良好的認知結構；通過類比讓學生明確研究函數圖象和性質的基本套路．這才是對學生進行數學思維策略的引導，這才是數學理性精神的教學．不僅對學生領悟數學思想有作用，而且也有助于學生創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)．突出，就是要在介紹的基礎上經常性地予以強調，使學生能加以運用．例如數形結合和轉化思想，整個教學過程都是在數形結合和數形轉化思想統(tǒng)領下進行的，并且在應用訓練中進行了強化．
當然，對于同一種數學思想，其教學要求也有一個循序漸進的發(fā)展過程，不同時期、不同學段要
求不同．例如，對于變化與對應思想，在初中階段可以結合函數概念和三種基本初等函數(一次函數、
反比例函數和二次函數)的性質進行“滲透”，到了高中就要求是“介紹”甚至“突出”的層次了．
2．立足數學思想的知識載體
數學思想的教學需要以知識內容為載體，沒有載體，也就沒有思想．本節(jié)課寓數學思想于知識教學之中，充分體現了數學思想的三大特點：隱喻性、過程性和活動性．隱喻性，數學思想常常隱于知識內部，例如，反比例函數的圖象和性質本身就是“數”與“形”的統(tǒng)一體，這就需要教師對教學內容有較深層次的理解，善于析出教學內容中蘊涵的數學思想．另外，數學知識的形成過程也常常是承載數學思想的載體，例如，反比例函數性質的歸納過程，實際上就是不斷地進行“數”與“形”的轉化過程，這需要教師有很強的數學思想教學的意識，組織起立意于數學思想的教學．過程性，數學思想的形成需經歷“認識——實踐——再認識——再實踐”的過程，不會一蹴而就，不能搞突擊教學，需要在日常教學中不斷地、不失時機地寓數學思想于學科知識教學之中．活動性，數學思想的形成還重在體驗和領悟，教學中，在蘊涵有數學思想的地方組織探究活動是十分必要的．讓學生在親身經歷的探索思考過程中獲得對數學思想的體驗和領悟，進而形成運用這些思想進行思維的意識和習慣．
3．突出數學思想的精神實質
數學思想的教學不能拘泥于外在表現形式，不能“貼標簽”，要把數學思想的精神實質傳輸給學
生．例如，轉化思想按其轉化形式涉及的方面很多，如：將未知轉化為已知；將一般轉化為特殊；將高次轉化為低次；將多元轉化為一元；將陌生轉化為熟悉；將分散轉化為集中；將數轉化為形；將動轉化為靜；將部分轉化為整體；等等．但無論哪種形式，轉化的雙方既有“對立”的一面又有“統(tǒng)一”的一面，“對立”是形式，“統(tǒng)一”是實質，轉化是尋求問題解決的途徑和手段．在反比例函數的圖象和性質中涉及的轉化思想屬于數形轉化．“形(圖象特征)”是“數(函數特性)”的直觀表象，它們反映的是同一種事物，只是反映的角度、形式不同．揭示出數與形“統(tǒng)一”的一面，也就揭示出數形轉化思想的精神實質．如果只追求外在形式的轉化，簡單地將圖象特征用數學語言表述為性質，這從突出數學思想精神實質的角度看，教育價值似乎低了些．
參考文獻：
[1]李海東．重視數學思想方法的教學——“中學數學核心概念、思想方法結構體系及其教學設計的理論與實踐”初中第六次課題會議成果綜述[J]．中國數學教育(初中版)，20ll，(1／2)．
[2]章建躍．聚焦中學數學核心概念、思想方法的課題教學設計[J]．中學數學教學參考，2008，(1l上)．
【作者簡介】何志平，天津市靜�？h教育教學研究室；李海東，人民教育出版社．
【原文出處】摘自《中學數學教學參考》(西安)，2011．3中．2～5
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaozhong/594115.html
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