數(shù)學(xué)教學(xué)教什么?除教材知識(shí)外，更主要的是教給學(xué)生數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)學(xué)思想是能銘記在學(xué)生頭腦中起永恒作朋的觀念和文化，是數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)，足體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育價(jià)值和區(qū)別于其他學(xué)科教學(xué)的關(guān)鍵所在．新課改以米，人們多聚焦在教學(xué)方式的改革上，單一的接受式教學(xué)已不多見，探究、合作等教學(xué)方式使課堂耳目一新．但是，對(duì)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，似乎關(guān)注不多，以數(shù)學(xué)思想立意的教學(xué)并不多見．這在某種程度上模糊了數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)，數(shù)學(xué)教學(xué)的深刻性被淡化，數(shù)學(xué)教學(xué)存在的意義和價(jià)值被削弱，數(shù)學(xué)教學(xué)的育人功能、文化內(nèi)涵流失．為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，本文以“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學(xué)為例，就立意于數(shù)學(xué)思想的教學(xué)談些粗淺的認(rèn)識(shí)．
一、內(nèi)容分析。析出蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想
數(shù)學(xué)思想具有隱喻性的特點(diǎn)，它隱于知識(shí)內(nèi)部，需要精心挖捌才能發(fā)現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)思想的教學(xué)，首先需要從對(duì)教學(xué)內(nèi)容的分析入手，析出其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想．
“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”蘊(yùn)涵著數(shù)形結(jié)合、變化與對(duì)應(yīng)、類比、轉(zhuǎn)化、分類等豐富的數(shù)學(xué)思想．
第一，“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”本身就是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．反比例函數(shù)是自變量和因變量之間具有反比例關(guān)系的函數(shù)，無論從其概念，還是其性質(zhì)(在某一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大(或減小))都體現(xiàn)了變化與對(duì)應(yīng)的函數(shù)思想．研究反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)，由“解析式(確定自變量取值范圍)”到“作圖(列表、描點(diǎn)、連線)”再到“性質(zhì)(觀察圖象探究性質(zhì))”，充分體現(xiàn)了由“數(shù)”到“形”，再由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化過程，這種函數(shù)解析式及性質(zhì)與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系體現(xiàn)了兩者間的轉(zhuǎn)化對(duì)分析解決問題的特殊作用，是轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用．反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)在后≠0的條件下，分為．k>0、k<0兩種情況進(jìn)行研究，這又體現(xiàn)了分類思想．
第二，從研究方法L來看，反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)也體現(xiàn)了研究函數(shù)的一般套路和方法，研究反比例
函數(shù)的圖象和性質(zhì)可以類比研究正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)來進(jìn)行．而兩者之間的類比不僅僅要關(guān)注“同”，也要關(guān)注“異”，“異”才是體現(xiàn)某一知識(shí)本質(zhì)屬性的東西．例如，反比例函數(shù)圖象的不連續(xù)性是其與正比例函數(shù)圖象的一個(gè)不同點(diǎn)，它也是反比例函數(shù)需要在不同象限內(nèi)分別討論增減性的原因，這也是本節(jié)課學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)．解決這一難點(diǎn)的辦法是要回到函數(shù)解析式上y=(k≠0)，而這正足從“形”到“數(shù)”，是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)．
二、過程呈現(xiàn)，彰顯內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想
1．重視引入環(huán)節(jié)
“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的引入，在類比思想的立意下，可從一次函數(shù)的復(fù)習(xí)人手，提出以
下問題：
問題1：在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們研究哪些問題?
問題2：我們研究過哪些函數(shù)的圖象和性質(zhì)，都研究了哪些內(nèi)容?
問題3：我們是怎樣研究的?研究的方法足什么?
問題l是知識(shí)結(jié)構(gòu)的類比．揭示教材中基本初等函數(shù)研究?jī)?nèi)容“函數(shù)概念——函數(shù)圖象和性質(zhì)——函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用”整體結(jié)構(gòu)的“同構(gòu)”現(xiàn)象，指明在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)概念后，相繼將要研究的問題，引出課題．
問題2是研究?jī)?nèi)容的類比．重點(diǎn)回顧正比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，列出下表：
在回顧正比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)．隨著學(xué)習(xí)進(jìn)程逐次完成表格．同時(shí)凸顯“正(正比例函數(shù))”與“反(反比例函數(shù))”相比“反”在何處，由“直”到“曲”，由“連續(xù)”到“間斷”，由與坐標(biāo)軸“相交”到“漸近”，使學(xué)生對(duì)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的認(rèn)識(shí)更加深刻．
問題3是研究方法的類比．一是數(shù)形結(jié)合地研究函數(shù)圖象和性質(zhì)的“三部曲”；二是“數(shù)”與“形”
相互轉(zhuǎn)化的研究方法(圖象“特征”一函數(shù)“特性”)．通過問題3明確學(xué)習(xí)線索和方法．
2．組織探究活動(dòng)
數(shù)學(xué)思想具有過程性的特點(diǎn)，必須有自己身體力行的實(shí)踐，從自己親身經(jīng)歷的探索思考過程中獲得體驗(yàn)，從自己不斷深入的概括活動(dòng)中，獲得對(duì)數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟．因此，教學(xué)中，在蘊(yùn)涵有數(shù)學(xué)思想的地方組織探究活動(dòng)，讓學(xué)生在探究過程中經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想的形成過程．
在“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學(xué)中，立意于數(shù)形結(jié)合、變化與對(duì)應(yīng)思想的教學(xué)，可組織如下
探究活動(dòng)：
活動(dòng)1：作反比例函數(shù)y=和y=-的圖象．
作反比例函數(shù)的圖象有三大認(rèn)知難點(diǎn)，一是列表時(shí)確定自變量x的取值；二是連線時(shí)用平滑的曲線連接而不是連成折線；三是圖象的變化趨勢(shì)，越來越靠近x軸和y軸，而不是相交．突破這些難點(diǎn)，可進(jìn)行以下探究：
探究l：列表時(shí)如何選取x的值?
探究2：連線時(shí)任意相鄰兩點(diǎn)應(yīng)如何連接?用線段連接行嗎?
探究3：反比例函數(shù)圖象的趨勢(shì)特征是什么?你能從函數(shù)解析式加以解釋嗎?
根據(jù)現(xiàn)階段教學(xué)要求和本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)以及學(xué)生實(shí)際，問題1給出提示：
探究1提示：提示1：首先確定自變量x的取值范圍；
提示2：根據(jù)x和y，的對(duì)應(yīng)關(guān)系，考慮x所取值應(yīng)利于y值計(jì)算和描點(diǎn)；
提示3：能整體反映函數(shù)圖象的輪廓．
探究2提示：選定相鄰兩點(diǎn)，如點(diǎn)A(1，6)和點(diǎn)B(2，3)，在l<x<2的范圍內(nèi)，取x=，得到點(diǎn)C，判斷點(diǎn)C與線段AB的位置關(guān)系．在點(diǎn)A與點(diǎn)C和點(diǎn)C與點(diǎn)B之問再分別各取一點(diǎn)，驗(yàn)證你的判斷．推而廣之，使學(xué)生認(rèn)識(shí)為什么用向下凹的平滑曲線連接的道理．
探究1解決自變量取值能否整體反映圖象輪廓和利于計(jì)算、描點(diǎn)問題，能使學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)
合地思考問題和函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系運(yùn)用．探究2判斷點(diǎn)C與線段AB的位置關(guān)系和探究3由解析式中x≠0、y≠0得到圖象與x軸和)，軸不相交，都能使學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．在作反比例函數(shù)圖象時(shí)，上述三個(gè)認(rèn)知難點(diǎn)是客觀存在的．若回避難點(diǎn)，如列表時(shí)給出x的值；描點(diǎn)、連線時(shí)教師作出示范或雖由學(xué)生作圖，但對(duì)出現(xiàn)的問題(連成折線、與X軸相交等)不加解釋地給出評(píng)判，都不利于知識(shí)的深刻理解，不利于后繼二次函數(shù)乃至高中函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，同時(shí)，也失去了領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的機(jī)會(huì)．
活動(dòng)2：歸納反比例函數(shù)的性質(zhì)．
作完反比例函數(shù)y=和y=-的圖象以及練習(xí)中反比例函數(shù)y=和y=-的圖象后，觀察圖象歸納反比例函數(shù)性質(zhì)．這種歸納采用的是不完全歸納法，盡管不完全歸納法在數(shù)學(xué)上是不嚴(yán)格的，但這種歸納方式是符合學(xué)生的認(rèn)知水平的．歸納過程可采用類比的方法，類比一次函數(shù)圖象和性質(zhì)完成引入問題2中的表格．突出圖象“特征”與函數(shù)“特性”問的數(shù)形轉(zhuǎn)化，特別是圖象位置以及變化趨勢(shì)與x、y取值以及，，和省間變化對(duì)應(yīng)關(guān)系的相互解釋與印證．在立意于類比、轉(zhuǎn)化和分類思想的教學(xué)下，可進(jìn)行如下探究：
探究1：觀察函數(shù))，y=和y=-以及y=和y=-的圖象，你能發(fā)現(xiàn)它們的共同特征以及不同點(diǎn)嗎?
探究2：函數(shù)的圖象位于哪些象限?由什么因素決定?
探究3：在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的變化如何變化?
在探究l中，其共同特征：圖象不過坐標(biāo)原點(diǎn)，圖象為兩支曲線且與兩坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，可回歸到解析式(k≠0)，從x≠0，y≠0加以解釋，從而滲透數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想．其不同點(diǎn)：圖象分為在一、三象限和二、四象限兩類，轉(zhuǎn)化到解析式上分為k>0和k<0，滲透分類思想．
在探究2中，從“數(shù)”到“形”：由xy=k(k>0)，x、y，同號(hào)，反映到函數(shù)圖象上，圖象在一、三象限；xy=k(k<0)，x、y異號(hào)，反映到函數(shù)圖象上，圖象在二、四象限．反之，從“形”到“數(shù)”亦然．從而滲透數(shù)形結(jié)合和數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想．
在探究3中，從“數(shù)”到“形”：由x與y的反比例關(guān)系，隨著的不斷增大(或減小)，不斷減小(或增大)，反映到函數(shù)圖象上，圖象越來越靠近x軸(或y軸)；圖象在一、三象限內(nèi)逐漸下降，圖象在二、四象限內(nèi)逐漸上升．反之，從“形”到“數(shù)”亦然．從而滲透數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化和變化對(duì)應(yīng)的思想．
圖象“特征(形)”是函數(shù)“特性(數(shù))”的直觀表象，雙方可以相互解釋和印證．“數(shù)”抽象時(shí)，可
以用“形”說明，“形”難理解時(shí)，可以用“數(shù)”解釋．這種“數(shù)”與“形”的結(jié)合，既是一種思想，也是學(xué)習(xí)函數(shù)和解決有關(guān)函數(shù)問題的方法．揭示出反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)中所蘊(yùn)涵的思想方法，即抓住了內(nèi)容的核心本質(zhì)．突出核心本質(zhì)的教學(xué)與“只講知識(shí)，機(jī)械記憶”相比，其教育價(jià)值有天壤之別．
3．關(guān)注應(yīng)用訓(xùn)練
數(shù)學(xué)思想不能機(jī)械記憶，也不能只喊“口號(hào)”，只有將數(shù)學(xué)思想內(nèi)化為數(shù)學(xué)思維意識(shí)和習(xí)慣才有意義．?dāng)?shù)學(xué)思想內(nèi)化為數(shù)學(xué)思維意識(shí)，需要“實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——再實(shí)踐——再認(rèn)識(shí)”的過程．因此，在反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)教學(xué)中，設(shè)置體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的例題或練習(xí)是十分必要的．如：
題目1：如圖1是反比例函數(shù)y=圖象的一支，根據(jù)圖象回答下列問題：(1)常數(shù)m的取值范圍是什么?圖象的另一支位于哪個(gè)象限?
(2)在這個(gè)函數(shù)圖象的某一支上任取點(diǎn)A(a，b)和點(diǎn)B(c，d)，
如果a<c，那么b和d有怎樣的大小關(guān)系?
此題采用“數(shù)”與“形”相結(jié)合的呈現(xiàn)方式，這在呈現(xiàn)方式上就滲透著數(shù)形結(jié)合思想．特別是第
(2)問，相比它的代數(shù)呈現(xiàn)方式——當(dāng)x變化時(shí))，如何變化，數(shù)形結(jié)合的呈現(xiàn)方式更具抽象性和一般性．解題的思維過程“觀察圖象——確定解析式中m的取值范圍——根據(jù)圖象上點(diǎn)A、B的位置關(guān)系確定b和d的大小”，更是體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合和數(shù)形轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．通過此題，不僅能進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，而且對(duì)數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想也會(huì)有更加深刻的認(rèn)識(shí)．
4．強(qiáng)調(diào)小結(jié)歸納
小結(jié)不僅要引導(dǎo)學(xué)生歸納知識(shí)，還要對(duì)思想方法進(jìn)行概括總結(jié)．但在目前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，小結(jié)往往“八股化”，教師往往會(huì)在小結(jié)時(shí)提出“本節(jié)課你有哪些收獲?”“本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)?”“你又學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想方法?”數(shù)學(xué)思想具有“隱喻性”“過程性”的特點(diǎn)，不是給它“貼上標(biāo)簽”學(xué)生就能理解的．在教學(xué)過程中需要結(jié)合具體內(nèi)容，在小結(jié)時(shí)也同樣需要結(jié)合具體內(nèi)容．在“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學(xué)中，蘊(yùn)涵著數(shù)形結(jié)合、變化與對(duì)應(yīng)、類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，小結(jié)時(shí)可用下頁框圖進(jìn)行概括總結(jié)．
這樣小結(jié)，將知識(shí)與思想融為一體，使得思想有載體，知識(shí)有靈魂．
三、教學(xué)反思，立意深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)思想
1．把握數(shù)學(xué)思想的教學(xué)要求
本節(jié)課所涉及的數(shù)形結(jié)合、變化與對(duì)應(yīng)、類比、轉(zhuǎn)化、分類思想的教學(xué)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想教學(xué)要求的三個(gè)層次：滲透、介紹和突出．滲透，就是要在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，融進(jìn)某些抽象的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生對(duì)這些思想有一些初步的感覺或直覺．例如變化與對(duì)應(yīng)的思想，它是在作反比例函數(shù)圖象(列表)和歸納函數(shù)增減性教學(xué)過程中進(jìn)行滲透的．介紹，就是要把某些數(shù)學(xué)思想在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候
融合于數(shù)學(xué)知識(shí)中，使學(xué)生對(duì)這些思想有初步的理解，有一定的理性認(rèn)識(shí)．例如類比思想，反比例函數(shù)學(xué)習(xí)過程是類比正比例函數(shù)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行的，期間不僅有知識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)內(nèi)容的類比，更為突出的是研究方法的類比．通過類比使學(xué)生形成有序的知識(shí)鏈條，建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；通過類比讓學(xué)生明確研究函數(shù)圖象和性質(zhì)的基本套路．這才是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維策略的引導(dǎo)，這才是數(shù)學(xué)理性精神的教學(xué)．不僅對(duì)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想有作用，而且也有助于學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)．突出，就是要在介紹的基礎(chǔ)上經(jīng)常性地予以強(qiáng)調(diào)，使學(xué)生能加以運(yùn)用．例如數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想，整個(gè)教學(xué)過程都是在數(shù)形結(jié)合和數(shù)形轉(zhuǎn)化思想統(tǒng)領(lǐng)下進(jìn)行的，并且在應(yīng)用訓(xùn)練中進(jìn)行了強(qiáng)化．
當(dāng)然，對(duì)于同一種數(shù)學(xué)思想，其教學(xué)要求也有一個(gè)循序漸進(jìn)的發(fā)展過程，不同時(shí)期、不同學(xué)段要
求不同．例如，對(duì)于變化與對(duì)應(yīng)思想，在初中階段可以結(jié)合函數(shù)概念和三種基本初等函數(shù)(一次函數(shù)、
反比例函數(shù)和二次函數(shù))的性質(zhì)進(jìn)行“滲透”，到了高中就要求是“介紹”甚至“突出”的層次了．
2．立足數(shù)學(xué)思想的知識(shí)載體
數(shù)學(xué)思想的教學(xué)需要以知識(shí)內(nèi)容為載體，沒有載體，也就沒有思想．本節(jié)課寓數(shù)學(xué)思想于知識(shí)教學(xué)之中，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的三大特點(diǎn)：隱喻性、過程性和活動(dòng)性．隱喻性，數(shù)學(xué)思想常常隱于知識(shí)內(nèi)部，例如，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)本身就是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體，這就需要教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容有較深層次的理解，善于析出教學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想．另外，數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程也常常是承載數(shù)學(xué)思想的載體，例如，反比例函數(shù)性質(zhì)的歸納過程，實(shí)際上就是不斷地進(jìn)行“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化過程，這需要教師有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想教學(xué)的意識(shí)，組織起立意于數(shù)學(xué)思想的教學(xué)．過程性，數(shù)學(xué)思想的形成需經(jīng)歷“認(rèn)識(shí)——實(shí)踐——再認(rèn)識(shí)——再實(shí)踐”的過程，不會(huì)一蹴而就，不能搞突擊教學(xué)，需要在日常教學(xué)中不斷地、不失時(shí)機(jī)地寓數(shù)學(xué)思想于學(xué)科知識(shí)教學(xué)之中．活動(dòng)性，數(shù)學(xué)思想的形成還重在體驗(yàn)和領(lǐng)悟，教學(xué)中，在蘊(yùn)涵有數(shù)學(xué)思想的地方組織探究活動(dòng)是十分必要的．讓學(xué)生在親身經(jīng)歷的探索思考過程中獲得對(duì)數(shù)學(xué)思想的體驗(yàn)和領(lǐng)悟，進(jìn)而形成運(yùn)用這些思想進(jìn)行思維的意識(shí)和習(xí)慣．
3．突出數(shù)學(xué)思想的精神實(shí)質(zhì)
數(shù)學(xué)思想的教學(xué)不能拘泥于外在表現(xiàn)形式，不能“貼標(biāo)簽”，要把數(shù)學(xué)思想的精神實(shí)質(zhì)傳輸給學(xué)
生．例如，轉(zhuǎn)化思想按其轉(zhuǎn)化形式涉及的方面很多，如：將未知轉(zhuǎn)化為已知；將一般轉(zhuǎn)化為特殊；將高次轉(zhuǎn)化為低次；將多元轉(zhuǎn)化為一元；將陌生轉(zhuǎn)化為熟悉；將分散轉(zhuǎn)化為集中；將數(shù)轉(zhuǎn)化為形；將動(dòng)轉(zhuǎn)化為靜；將部分轉(zhuǎn)化為整體；等等．但無論哪種形式，轉(zhuǎn)化的雙方既有“對(duì)立”的一面又有“統(tǒng)一”的一面，“對(duì)立”是形式，“統(tǒng)一”是實(shí)質(zhì)，轉(zhuǎn)化是尋求問題解決的途徑和手段．在反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)中涉及的轉(zhuǎn)化思想屬于數(shù)形轉(zhuǎn)化．“形(圖象特征)”是“數(shù)(函數(shù)特性)”的直觀表象，它們反映的是同一種事物，只是反映的角度、形式不同．揭示出數(shù)與形“統(tǒng)一”的一面，也就揭示出數(shù)形轉(zhuǎn)化思想的精神實(shí)質(zhì)．如果只追求外在形式的轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)單地將圖象特征用數(shù)學(xué)語言表述為性質(zhì)，這從突出數(shù)學(xué)思想精神實(shí)質(zhì)的角度看，教育價(jià)值似乎低了些．
參考文獻(xiàn)：
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【作者簡(jiǎn)介】何志平，天津市靜海縣教育教學(xué)研究室；李海東，人民教育出版社．
【原文出處】摘自《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》(西安)，2011．3中．2～5
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