我們經(jīng)常會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中碰到這樣那樣的特殊情況，都說(shuō)一般包含特殊，但往往這些特殊情況卻成為我們的絆腳石，或許是因?yàn)樗麄兲^于特殊，以至于我們經(jīng)常忽略，也或許我們潛意識(shí)中認(rèn)為他們的地位無(wú)關(guān)緊要。學(xué)習(xí)考試的過程中就因?yàn)楹雎粤怂麄兌稿e(cuò)。在這一期的文章里，我將高中數(shù)學(xué)里那些“寵兒”總結(jié)總結(jié)，以便讓我們自己時(shí)刻注意。
1：集合
集合里的“寵兒”，自然就是空集，一個(gè)沒有任何元素的集合。作為從初中進(jìn)入高中的第一章，僅僅是這一點(diǎn)就足以讓很多學(xué)生暈頭轉(zhuǎn)向，怎么也想不通為何“空集是任何集合的子集”這一性質(zhì)。如果從子集的定義??如果對(duì)于任意的a∈A，都有a∈B，那么就稱A是B的子集??來(lái)說(shuō)的話，根本不可能存在一個(gè)元素a∈A，條件就不可能成立，那又怎么使得結(jié)論成立？我在《淺談“空集是任何集合的子集”》一文里已經(jīng)通過幾方面來(lái)解釋，詳情參考這篇文章。
2：函數(shù)
要說(shuō)“函數(shù)”一節(jié)內(nèi)容，其最容易忽視的當(dāng)是常數(shù)函數(shù)，這是連接常量和變量之間的橋梁。其函數(shù)圖象屬于直線方程的范疇，也恰好說(shuō)明一次函數(shù)是最基本的函數(shù)，一次函數(shù)里的y=x在函數(shù)領(lǐng)域里的位置，就好比數(shù)字1在實(shí)數(shù)乘法里的位置，反函數(shù)的符號(hào)之所以寫成原函數(shù)的“-1次方”，其實(shí)就包含著這么一點(diǎn)。而常數(shù)函數(shù)就應(yīng)當(dāng)是相當(dāng)于實(shí)數(shù)加法里的0、等比數(shù)列里的常數(shù)列了。
3：指數(shù)對(duì)數(shù)
指數(shù)里最特殊的，要數(shù)00，這在中學(xué)看來(lái)是沒有意義的，而在極限理論看來(lái)，他之所以沒有意義是因?yàn)閺牟煌慕嵌瓤此加胁煌娜≈担簭?的任何次方等于0來(lái)看，他應(yīng)該等于0，而從任何數(shù)的零次方都等于1來(lái)看，他又應(yīng)該等于1。這種不確定性，在極限里就叫極限不存在，自然也就沒有了意義。更多內(nèi)容請(qǐng)參考文章《0的0次方以及0/0》
同樣的道理，log11也是沒有意義的。
4：數(shù)列
數(shù)列這一部分重點(diǎn)介紹了等差和等比數(shù)列。等差數(shù)列的幾個(gè)公式當(dāng)中倒沒有什么例外，但是等比數(shù)列就有??其求和公式分成q=1和q≠1兩種情況。雖然我們?nèi)魪臉O限的角度，這兩種情況其實(shí)可以合二為一，但在中學(xué)階段，無(wú)疑需要大家分得很清楚。常數(shù)數(shù)列，實(shí)際上是等比數(shù)列和等差數(shù)列的橋梁，他包含了等差數(shù)列d=0的特殊情況，也包含了等比數(shù)列q=1的特殊情況，其地位很像函數(shù)里的常數(shù)函數(shù)和實(shí)數(shù)里的零，起著連接兩大不同領(lǐng)域的作用，卻也因此常被忽略。
5：向量
不用說(shuō)，向量的“寵兒”，當(dāng)然應(yīng)該是零向量??一個(gè)沒有長(zhǎng)度的向量，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)其方向應(yīng)該是任意的，卻被規(guī)定與任意向量平行。這規(guī)定貌似和空集的規(guī)定很類似，那么又是為何要規(guī)定零向量與任意向量平行？一個(gè)簡(jiǎn)單的解釋是，這種規(guī)定使得零向量其自身平行，從感覺上，相比于一個(gè)向量與其自身垂直來(lái)說(shuō)，我們更樂意接受一個(gè)向量與其自身平行。當(dāng)然還可以從平面向量基本定理的角度來(lái)考慮，詳情可以參考《為何規(guī)定零向量與任意向量平行？》一文。
當(dāng)然，從更深層次的角度來(lái)說(shuō)，這種規(guī)定是為了保持向量?jī)?nèi)部運(yùn)算的封閉性。
6：三角函數(shù)
三角函數(shù)里要注意的，就是tanx，因?yàn)楫?dāng)x=90°+180°k時(shí)沒有意義。這也是我們經(jīng)常犯錯(cuò)的地方。
7：直線方程
直線方程的寵兒，本質(zhì)上來(lái)說(shuō)應(yīng)該來(lái)自于三角函數(shù)。那就是當(dāng)傾斜角等于90°的時(shí)候，順帶著傾斜角為0°的時(shí)候也跟著受寵。在解決任何有關(guān)斜率的問題時(shí)，都不要忘記斜率不存在的情況，就好像我們?cè)谘芯咳魏紊婕暗阶蛹膯栴}時(shí)，都不要忘記空集一樣。也正是因?yàn)樗拇嬖冢沟梦覀儽仨氁胫本�方程的一般式。這里有一個(gè)趣味問題問大家：既然y=kx+b不能表示所有的方程，為何在初中的時(shí)候卻沒有提出來(lái)？
8：圓的方程
圓的方程貌似沒有“寵兒”，如果非要說(shuō)的話，大概單位圓用得比較多。不過如果我們從射影幾何的角度來(lái)考慮，那么直線和點(diǎn)都會(huì)成為圓的寵兒??點(diǎn)可以看做半徑為零的圓，直線可以看做半徑為無(wú)窮大的圓。這種關(guān)系在更高級(jí)的幾何中將得到展現(xiàn)，比如著名的“對(duì)偶原理”。
9：圓錐曲線
橢圓的“寵兒”是圓，這個(gè)不用說(shuō)。雙曲線的“寵兒”，要數(shù)等軸雙曲線，因?yàn)樗徊恍⌒木秃头幢壤瘮?shù)扯上關(guān)系，具體可以參考文章《雙曲線和反比例函數(shù)》一文。若從圓錐曲線的最初起源??切割圓錐得到的截面來(lái)說(shuō)，三種圓錐曲線都有著相同的退化產(chǎn)品??直線和點(diǎn)。你只需要將截面經(jīng)過圓錐的頂點(diǎn)或是經(jīng)過母線即可。
10：排列組合
排列組合一章內(nèi)容，沒有什么特殊情況值得單獨(dú)提出。倒是里面引出的階乘概念值得一說(shuō)。按照定義來(lái)說(shuō)，n的階乘等于1×2×3×……×n，如果純粹是按照這個(gè)定義的話，0的階乘將是沒有意義的，但教材里面又再一次顯示出至高無(wú)上的本領(lǐng)??規(guī)定，他規(guī)定0的階乘等于1。我們的同學(xué)當(dāng)然就只有接受的份兒了,實(shí)際上數(shù)學(xué)上的任何規(guī)定都不是隨意的，之所以有這樣的規(guī)定，是因?yàn)槠渌胤蕉夹枰@招“規(guī)定”，可以參考文章《為何規(guī)定0！=1？》。據(jù)此有人提出，應(yīng)該將n!定義為n！=1×1×2×……×n，這樣就可以得到0！=1這個(gè)結(jié)論了。
大體來(lái)說(shuō)，上面這些就是數(shù)學(xué)里面的“寵兒”了，有些比較煩人。也許還有一些被我遺漏，若有的話還希望各位朋友提出以方便我補(bǔ)充。理清這些容易讓人犯錯(cuò)的盲點(diǎn)，以便自己隨時(shí)注意。（來(lái)源：學(xué)夫子數(shù)學(xué)博客）
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/613387.html
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