一. 教學(xué)內(nèi)容：平面解析幾何部分：圓的方程

二. 教學(xué)目的

1、掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

2、掌握直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

3、掌握?qǐng)A的切線、弦及相關(guān)問題

三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1、重點(diǎn)：

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；（2）直線與圓的位置關(guān)系；（3）兩個(gè)圓的位置關(guān)系；（4）有關(guān)切線與弦的結(jié)論．

2、難點(diǎn)：

（1）因?yàn)閳A的特殊性，在解決有關(guān)直線與圓的問題時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用由圓的幾何性質(zhì)所產(chǎn)生的式子，如弦長、切線等，一般不列出它們的方程組去分析、討論。在判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，充分利用點(diǎn)到直線的距離公式 ）是圓心坐標(biāo)），然后再利用①代數(shù)法：設(shè)斜率為k的直線與圓相交于 和 兩點(diǎn)，則

。

②幾何法：設(shè)直線AB，若圓的半徑為l的距離為 ，則

。

（3）在解決有關(guān)圓的軌跡及綜合問題時(shí)，要注意合理運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)。

四. 分析

【知識(shí)梳理】

1、圓心為A（a，b），半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ）與圓 時(shí)，則點(diǎn)P（ 時(shí)，則點(diǎn)P（ 時(shí)，則點(diǎn)P（ 時(shí)，方程 叫做圓的一般方程．

4、直線與圓的位置關(guān)系有三種：相割、相切、相離。

5、直線 （r＞0）的位置關(guān)系的判斷有：

（1）幾何方法：

圓心（a，b）到直線

d＜r 直線與圓相交；

d＝r 直線與圓相切；

d＞r 直線與圓相離。

（2）代數(shù)方法：

由 消元，得到的一元二次方程的判別式為△，則

△＞0 直線與圓相交；

△＝0 直線與圓相切；

△＜0 直線與圓相離。

6、圓與圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含。

7、根據(jù)圓的方程，判斷兩圓位置關(guān)系的方法有：

（1）幾何方法：

兩圓

有兩組不同的實(shí)數(shù)解 兩圓相交；

有兩組相同的實(shí)數(shù)解 兩圓相切；

無實(shí)數(shù)解 兩圓相離或內(nèi)含。

【要點(diǎn)解析】

1、圓作為一種較特殊的曲線，它的方程來源于它軌跡的定義，這種根據(jù)曲線定義確定曲線方程的方法叫做軌跡法．

2、用二元二次方程表示的曲線也叫做“二次曲線”或“圓錐曲線”．圓是其中的特例，教材，只討論不含“xy”項(xiàng)的二次曲線．同時(shí)，在用方程表示曲線時(shí)，一定要注意其限制條件．

3、在討論含有字母參變量的圓方程的問題時(shí)，始終要把“方程表示圓的條件”作為首要條件，也可以理解為“定義域優(yōu)先原則”的拓展．

4、在討論直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，要養(yǎng)成作圖的習(xí)慣，即在解讀完題意之后，通過圖形（象）語言將其中的關(guān)系再展示出來，在觀察和分析時(shí)，既可用平面幾何知識(shí)，又可用代數(shù)方法解析，使解決問題的思路更寬．

5、求兩圓公共弦所在的直線方程的方法

求兩圓的公共弦所在的直線方程，只需把兩個(gè)圓的方程相減即可．而在求兩圓的公共弦長時(shí)，則應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活運(yùn)用．

6、解決直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系問題時(shí)，要注意分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合等思想和方法的熟練運(yùn)用．

【典型例題

命題角度1 求圓的方程

例1. 一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線 上截得的弦長為解法1：∵所求圓的圓心在直線 上截得的弦長為 的距離為 ，

∴有

故所求圓的方程為

或解法2：依題設(shè)所求圓的方程為

解方程組

可得

∵圓在直線 ，

即 解得

故所求圓的方程為

點(diǎn)評(píng)：確定一個(gè)圓需三個(gè)獨(dú)立條件，題中顯然給了三個(gè)條件：（1）圓與y軸相切；（2）圓心在直線 上；（3）在直線 ，但是依題圓與y軸左邊或在y軸右邊，圓心在直線 上，表明圓心的橫縱坐標(biāo)同號(hào)。

命題角度2 與圓有關(guān)的軌跡問題

例2. 如圖所示，已知P（4，0）是圓 內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB＝90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程。

有

因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng)。設(shè)Q（x，y），R（

代入方程

整理得 ，即點(diǎn)Q的軌跡方程為例3. 已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程 的最大值和最小值；

（3）求 的最大值和最小值。

，即 與圓相切時(shí)，斜率k取最大值和最小值，此時(shí) ，即 與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值和最小值，此時(shí) ，即 的最大值為 。

（3）<0" > 表示圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知它在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值。又圓心到原點(diǎn)的距離為2，

故

的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；②形如<4" > 的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；③形如 的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離平方的最值問題等。

命題角度4 利用圓的方程解決實(shí)際問題

例4. 有一種大型商品，A、 B兩地都有出售，且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購得商品后運(yùn)回的費(fèi)用是：A地每公里的運(yùn)費(fèi)是B地每公里運(yùn)費(fèi)的3倍。已知A、B兩地距離為10公里，顧客選擇A地或B地購買這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低。求P地居民選擇A地或B地購貨總費(fèi)用相等時(shí)，點(diǎn)P所在曲線的形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購物地點(diǎn)？

化簡整理，得 為圓心、 為半徑的圓上時(shí)，居民到A地或B地購貨總費(fèi)用相等。

（2）當(dāng)P點(diǎn)在上述圓內(nèi)時(shí)，

故此時(shí)到A地購物合算。

（3）當(dāng)P點(diǎn)在上述圓外時(shí)，同理可知，此時(shí)到B地購物合算。

點(diǎn)評(píng)：在解決有關(guān)的實(shí)際問題時(shí)，關(guān)鍵要明確題意，掌握建立數(shù)學(xué)模型的基本方法．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用題，在多年來的中得到了重視，除了在選擇題、填空題中出現(xiàn)外，近幾年都有解答題出現(xiàn)，應(yīng)引起重視，平時(shí)多練習(xí)，以提高解決實(shí)際問題的．

命題角度5 直線與圓的位置關(guān)系

例5. 已知圓解：用配方法將圓的一般方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)，消去m就得關(guān)于圓心的坐標(biāo)間的關(guān)系，就是圓心的軌跡方程；判斷直線與圓相交、相切、相離，只需比較圓心到直線的距離d與圓半徑的大小即可；證明弦長相等時(shí)，可用幾何法計(jì)算弦長。

（1）配方得： 消去m得

則圓心到直線

因?yàn)閳A的半徑為 ，即 時(shí)，直線與圓相交；

當(dāng) 時(shí)，直線與圓相切；

當(dāng) 時(shí)，直線與圓相離。

（3）對(duì)于任一條平行于l且與圓相交的直線 的距離 ，弦長 且r和d均為常量。

∴任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等。

點(diǎn)評(píng)：判斷直線與圓的位置關(guān)系可以看成它們構(gòu)成的方程組有無實(shí)數(shù)解，也可以根據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關(guān)系進(jìn)行判斷．

求圓的弦長有多種方法：一是直接求出直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得出；二是不求交點(diǎn)坐標(biāo)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，即設(shè)直線的斜率為y后所得方程兩根為 ；三是利用圓中半弦長、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形來求．對(duì)于圓中的弦長問題，一般利用第三種方法比較簡捷．本題所用方法就是第三種方法．

命題角度6 直線與圓相交問題

例6. 已知圓設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ，則由 ，可得 ，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解。

即 ①

的實(shí)數(shù)解，即 的兩個(gè)根 ②

∵P、Q在直線 上，

將③④代入①，解得 成立，∴解法2：已知圓 ，過點(diǎn)C作 的垂線為由∵OP⊥OQ，在Rt△POQ中，斜邊PQ上的中線

，有

。

代入圓的方程有

故可得∴由 ，得 ，解得

為所求。

點(diǎn)評(píng)：此題解法一中將 轉(zhuǎn)化為 為直徑兩端點(diǎn)的圓過某定點(diǎn) ，均有例7. 自點(diǎn)A（－3，3）發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓解析：已知圓 ，如圖所示。

可設(shè)光線l所在直線方程為

解得 或

∴光線l所在直線的方程為

例8. 試求與圓 相切于點(diǎn)Q（3， ）的圓的方程。

相切于點(diǎn)Q（3， ），則CQ垂直于直線

即有

圓C的半徑

由于圓C與已知圓

對(duì)該式討論：

①當(dāng) 時(shí)，可得

∴圓的方程為

以上兩方程為所求圓的方程。

【模擬

1、過圓 外一點(diǎn)P（4，2）作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，則△ABP的外接圓方程為（ ）

A.

D. 相切，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）

A. B.

C. 與y軸交于A、B兩點(diǎn)，圓心為P，若∠APB＝90°，則C的值為（ ）

A. 8 B. 高中化學(xué) 3 C. D. －3

4、若過定點(diǎn)M（－1，0）且斜率為k的直線與圓 D. 的切線方程中有一個(gè)是（ ）

A. C. D.

6、過點(diǎn)（1， 與圓 P為△ABC的內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離平方和的最大值與最小值分別為_________，___________。

9、曲線C：

（1）求證：對(duì) ，直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）設(shè)l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若 ，求l的傾斜角；

（3）求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程；

（4）若定點(diǎn)P（1，1）分弦AB為 ，求此時(shí)直線l的方程。

【試題答案】

1、D 2、C 3、D 4、A 5、C

6、

10、

11、（1）k = 1時(shí)，方程為x = 1，表示過點(diǎn)（1，0）且平行于y軸的直線。

k≠1時(shí)，方程為 為半徑的圓。

（2） （3） 或

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