對稱問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考數(shù)學(xué)試題中常出現(xiàn)一些構(gòu)思新穎解法靈活的對稱問題，為使對稱問題的知識系統(tǒng)化，本文特作以下歸納。
一、點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線對稱點(diǎn)問題
1、設(shè)點(diǎn)P(x，y)關(guān)于點(diǎn)（a,b）對稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，
x′=2a-x
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：y′=2b-y
2、點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線L：Ax+By+C=O的對稱點(diǎn)為
x′=x-（Ax+By+C）
P′(x′，y′)則
y′=y-（AX+BY+C）
事實(shí)上：PP′⊥L及PP′的中點(diǎn)在直線L上，可得:Ax′+By′=-Ax-By-2C
解此方程組可得結(jié)論。
�。�-）=-1(B≠0)
特別地，點(diǎn)P(x，y)關(guān)于
1、x軸和y軸的對稱點(diǎn)分別為(x，-y)和(-x，y)
2、直線x=a和y=a的對標(biāo)點(diǎn)分別為(2a-x，y)和(x，2a-y)
3、直線y=x和y=-x的對稱點(diǎn)分別為(y，x)和(-y，-x)
例1光線從A(3,4)發(fā)出后經(jīng)過直線x-2y=0反射,再經(jīng)過y軸反射,反射光線經(jīng)過點(diǎn)B(1,5),求射入y軸后的反射線所在的直線方程。
解：如圖,由公式可求得A關(guān)于直線x-2y=0的對稱點(diǎn)
A′(5,0),B關(guān)于y軸對稱點(diǎn)B′為(-1,5),直線A′B′的方程為5x+6y-25=0
�。郈(0,)
�。嘀本�BC的方程為：5x-6y+25=0
二、曲線關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對稱曲線問題
求已知曲線F(x，y)=0關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對稱曲線方程時(shí)，只須將曲線F(x，y)=O上任意一點(diǎn)(x，y)關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)替換方程F(x，y)=0中相應(yīng)的作稱即得，由此我們得出以下結(jié)論。
1、曲線F(x，y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對稱曲線的方程是F(2a-x，2b-y)=0
2、曲線F(x，y)=0關(guān)于直線Ax+By+C=0對稱的曲線方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0
特別地，曲線F(x，y)=0關(guān)于
�。�1）x軸和y軸對稱的曲線方程分別是F（x，-y）和F（-x，y）=0
（2）關(guān)于直線x=a和y=a對稱的曲線方程分別是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0
�。�3）關(guān)于直線y=x和y=-x對稱的曲線方程分別是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0
除此以外還有以下兩個(gè)結(jié)論：對函數(shù)y=f(x)的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊的圖象，并作關(guān)于y軸的對稱圖象得到y(tǒng)=f(|x|)的圖象；保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y(tǒng)=|f(x)|的圖象。
例2（全國高考試題）設(shè)曲線C的方程是y=x3-x。將C沿x軸y軸正向分別平行移動t，s單位長度后得曲線C1：
1）寫出曲線C1的方程
2）證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A(,)對稱。
(1)解知C1的方程為y=(x-t)3-(x-t)+s
(2)證明在曲線C上任取一點(diǎn)B（a,b），設(shè)B1(a1,b1)是B關(guān)于A的對稱點(diǎn)，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：
s-b1=(t-a1)3-(t-a1)
�。郻1=(a1-t)3-(a1-t)+s
�。郆1(a1,b1)滿足C1的方程
｀B1在曲線C1上，反之易證在曲線C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)在曲線C上
�。嗲�C和C1關(guān)于a對稱
我們用前面的結(jié)論來證：點(diǎn)P(x,y)關(guān)于A的對稱點(diǎn)為P1(t-x,s-y)，為了求得C關(guān)于A的對稱曲線我們將其坐標(biāo)代入C的方程，得：s-y=(t-x)3-(t-x)
�。鄖=(x-t)3-(x-t)+s
此即為C1的方程，｀C關(guān)于A的對稱曲線即為C1。
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