談到做實驗,容易聯(lián)想到物理實驗、化學(xué)實驗、生物實驗等;談到學(xué)數(shù)學(xué),自然會聯(lián)想到做數(shù)學(xué)題.題海戰(zhàn)術(shù)幾乎成為數(shù)學(xué)學(xué)科的代名詞,難道做數(shù)學(xué)也可以做實驗?

　　我們不妨先看一道中考題:

　　例1如圖1,在平面直角坐標系xOy中,邊長為a(a為大于0的常數(shù))的正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點P,頂點A在x軸正半軸上運動,頂點B在y軸正半軸上運動(x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O),頂點C,D都在第一象限.

　　(1)當(dāng)∠BAO=45°時,求點P的坐標.

　　(2)求證:無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動,點P都在∠AOB的平分線上.

　　(3)設(shè)點P到x軸的距離為h,試確定h的取值范圍,并說明理由.

　　(1)(2)小題比較簡單,略去.

　　如上即是用數(shù)學(xué)實驗的方法解決了這道題.實際上,畫個草圖,通過觀察法就能確定線段的取值范圍.該方法形象直觀,是解決動態(tài)問題的好方法.

　　數(shù)學(xué)課程標準指出:“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的,這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動.”

　　數(shù)學(xué)實驗是為了探索數(shù)學(xué)知識、檢驗數(shù)學(xué)結(jié)論(或假設(shè))而進行的某種操作或思維活動,可以使學(xué)生逐步學(xué)會數(shù)學(xué)思維的物質(zhì)實踐方法,掌握數(shù)學(xué)研究的規(guī)律,培養(yǎng)理性思考問題的習(xí)慣,能夠解決學(xué)科的和實際生活的問題,并檢驗和論證問題的結(jié)果.這是新課標所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)的人文價值所在!因此,應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)實驗的解題功能.

　　一、用數(shù)學(xué)實驗解決一般與特殊的關(guān)系

　　有的人片面地認為數(shù)學(xué)抽象、枯燥無味.其實,正是數(shù)學(xué)的抽象才帶來其應(yīng)用的廣泛性.數(shù)學(xué)主要研究一般規(guī)律,我們不可用特殊來代替一般.另一方面,特例或舉例卻是我們常用的探索方法,用特例可以推翻一個結(jié)論,用舉例也能解題.

　　例2如圖7,在菱形ABCD中,∠B=60°,點E,F分別從點B,D出發(fā)以同樣的速度沿邊BC,DC向點C運動.給出以下四個結(jié)論:①AE=AF;②∠CEF=∠CFE;③當(dāng)點E,F分別為邊BC,DC的中點時,△AEF是等邊三角形;④當(dāng)點E,F分別為邊BC,DC的中點時,△AEF的面積最大.上述結(jié)論中正確的序號有_________.

　　分析①②③易證是正確的.我們通過實驗的方法來解決問題④.通過實驗的方法,發(fā)現(xiàn)當(dāng)E,F兩點沒有運動時,△AEF的面積為菱形面積的一半,當(dāng)E,F分別為邊BC,DC的中點時,△AEF的面積應(yīng)是菱形面積的一半減去△CEF的面積,所以,在E,F兩點運動到中點的過程中,△AEF的面積逐漸減小,故結(jié)論④錯誤.這時還應(yīng)通過建立函數(shù)關(guān)系式的方法來證明這個結(jié)論是錯誤的.

　　學(xué)生在解決動點問題時,經(jīng)常會因找不到突破口而困惑,此時可以引導(dǎo)學(xué)生通過做數(shù)學(xué)實驗獲得解題途徑.本題通過實驗,不僅簡潔解決了問題,重要的是引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、分析、猜想、推證等一系列思維活動,不斷探索,主動建構(gòu)了新知,體現(xiàn)了新課標強調(diào)學(xué)生對新知識的探求和創(chuàng)新的理念.重要的是“觀察—猜想—驗證—證明”,這正是數(shù)學(xué)家思維活動的濃縮.因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視非邏輯證明的教學(xué);適當(dāng)降低和減少邏輯演繹在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與時間,加強實驗、猜測、類比、歸納等合情推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與作用.

　　二、用數(shù)學(xué)實驗解決精確與毛估的關(guān)系

　　毛估是一種快速的近似估算,它的基本特點是對數(shù)值作擴大或縮小,從而對運算結(jié)果確定出一個范圍或作出一個估計,更本質(zhì)地看毛估,它應(yīng)該是一種數(shù)學(xué)實驗,是直覺基礎(chǔ)上的一種數(shù)學(xué)意識.數(shù)學(xué)要求精確,但毛估有時還真能解決問題.

　　分析直接計算很繁,若通過實驗—放縮法,可估算出S的取值范圍,問題就迎刃而解了.

　　毛估這種數(shù)學(xué)實驗通過具體性、經(jīng)驗性的實驗操作活動,能不斷地豐富學(xué)生的思維表象,促進學(xué)生思維由形象直觀到抽象論證的轉(zhuǎn)化,促進學(xué)生合情推理和演繹推理的和諧發(fā)展,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和實踐能力.

　　三、用數(shù)學(xué)實驗探究解題思路

　　學(xué)生在解決運動問題時,可以引導(dǎo)學(xué)生通過幾何畫板做數(shù)學(xué)實驗獲得解題途徑.

　　例5如圖8,一個長為10米的梯子沿著墻壁滑動,梯子中點經(jīng)過的路徑有多長?

　　對于此題,學(xué)生的難點在于判斷中點的軌跡是什么圖形.可通過多畫幾個位置,描出中點找到規(guī)律.但利用幾何畫板構(gòu)造圖形,用跟蹤點的研究就更直觀.通過實驗,學(xué)生可以得到其軌跡是以點C為圓心,梯子的一半長為半徑的圓,根據(jù)弧長公式,可以得出,梯子中點經(jīng)過的路徑是2.5π.

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